ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
направлены в противоположные стороны (рис. 49,6). Из оп ределения динамы следует, что система сил, приложенных к твердому телу, может быть заменена эквивалентной ей
дннамой, |
если характеристическое |
произведение ее |
отлично |
|
от нуля, |
т. е. Н Ф 0. |
чертеж) |
действуют шесть |
|
Пример 9. По ребрам куба (см. |
||||
равных по величине сил, приложенных в |
вершинах |
Я ь Н2, |
||
Н3, На, I'h, Нв. Определить, к какой простейшей системе сил может быть приведена данная система сил, если Fi = F2= Fz= F4 = F5 = Fz= F и ребра куба а.
у
о
К примеру 9
Р е ш е н и е. Определяем характеристические величины данной системы сил в точке О. Главный вектор вычисляем по формуле
сG
Fo — ( 2 Fjx) /Jio + ( 2 Fjy) /220+ ( 2 FjZ) /г3о;
G
Fx = S Fjx, Fx= - F 3 + F6 = 0;
G
6
pi = 2 P jz. Ft=s- P l=s- F '
75
Получаем F0= — Fk20 — Fkw, т. е. F0 лежит р плоскости //Ог. Величина главного вектора F0= УFx2 + Fy2 + Fz2\ F0= F^2.
Угол а, образуемый главным вектором F0 с осью Оу, опре делится по
cos (Оу, F0) — |
cos (Оу, Р0)= — |
-F- |
= — |
а —135°. |
|
F |
|
|
F /2 |
|
Ъ |
Главный момент вычисляем по формуле |
|
|
|||
Z-o=[2 Mox(Fj) ]&ю + [S |
М0у (F.j) Jk2o + |
[S M0z (Fj) J k30; |
|||
;=0 |
j |
l |
/=1 |
|
|
|
6 |
_ |
|
|
L 0x = |
S |
M {)x(F j) ; |
L 0x = |
- F 2a = — Fa\ |
|
i~ i |
|
|
|
Loy — |
Ь M o „(/-,); |
L0v= |
— Fsu = — Fu; |
|
|
i |
i |
|
|
L0z = 2 M0z(Fj) ; L0z=F2a - F Aa - F Ga= -Fa.
H \
Следовательно, L0= — Fakl0 — Fak20 — Fakw.
Величина главного мо_мента L0 — 1 L20x+L20v+L20z или,
в данном случае, L0= aF^ 3.
Направление главного момента определится по косинусам
углов |
|
cos (Ox, Lv)= — |
; cos (Ox, L0) — ------— = |
J - o |
a h \ r Z |
=(Ox, Lq) = 125° 15';
cos (Oy, L0) = — 1- ; |
cos (Oy, L0 ) = |
----- — = — |
; |
||
Lo |
|
|
at- / 3 |
3 |
|
|
(Oy,T0) = |
125° 15'. |
|
|
|
Главный вектор F0 |
и |
главный |
момент |
La изображены < |
|
рисунке а к данному |
примеру. |
|
|
|
|
Вычисляем характеристическое произведение
Н — FxL0x+ FyLoy+ FzLqz.
Подставляя найденные алгебраические величины проекций главного вектора и главного момента системы сил, находим
/-/= 0- ( — Fa) + ( —F) • ( — Fa) + ( - F ) ■( — Fa) = 2F2-a.
7()
Так как Я^= 0, делаем вывод, что система сил приводится к дниаме, главный вектор которой FD=F0= —Fkw — FksD\
Fd= F ^ 2, а главный момент Ld= — . т. е. |
Lu= :—^-=ciF'\/ 2. |
t |
F |
Для того чтобы изобразить динаму, необходимо найтг центральную ось данной системы сил. Уравнение центральнойоси для любой системы сил (формула .(12)) имеет вид:
/-Од- - (yFz - zFy) |
|
L o y - (zFx - |
xFz) |
L 0z - (xFy - yFx) |
Fx |
~ |
Fy |
~ |
Fz |
Подставим сюда найденные Fx, Fv, Fz\ L0x, Lov, L0z:
— Fa — [y ( —F) —z - (-/•-)] _ |
— Fa — [z-0 — x-(—F)\ _ |
0 |
- F |
—— Fa — [x (—F ) — у ■О]
~- F
И Л И |
|
|
— Fa —xF |
— Fa -|- xF |
— Fa -l- yF — zF |
||||
|
О |
|
Ц р |
’ |
откуда a:= 0, |
y — z = a. |
Следовательно, |
центральная ось лежит |
|
в плоскости |
yOz и |
проходит через |
точки ЛДО, О, —а) |
|
и Лг(0, а, О). На рисунке б к данному примеру изображаем центральную ось и на ней найденные векторы FD и LD
(LDf f Fd, так как Н > 0).
Г Л А В А V
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Центр тяжести твердого тела является одним из важней ших. понятий в статике, которое впервые было введено в древней Греции Архимедом (ок. 287—212 гг. до н. э.).
§ 1. Основные определения
Все теЛа, расположенные вблизи поверхности Земли, находятся под действием силы тяжести. Для определения этой силы, а также центра тяжести твердого тела выбираем оси координат Oxyz так, чтобы они были неизменно связаны
с Землей, и ось Ох была направлена по вертикали-вниз.
77
Твердое тело разобьем на бесконечно большое число бесконечно малых элементов, сплошным образом заполняю щих его объем. Выделим некоторый элемент этого тела, объем которого Лад,-'(рис. 50), а вес Aqj. Сила тяжести рас сматриваемого малого элемента твердого тела может быть
изображена |
закрепленным |
вектором ■Д^-, |
имеющим начало |
з одной из точек данного элемента, направленным верти |
|||
кально вниз, |
и равным по |
величине весу |
рассматриваемого |
элемента. При указанном выборе |
осей |
координат |
силу |
|
__ |
тяжести |
выделенного |
||
элемента |
твердого |
тела |
||
у |
запишем |
|
|
|
|
|
&qj = Aqjku, |
|
|
|
где |
kij — единичный |
орт |
|
|
оси,проведенной из точки |
|||
|
/-го |
элемента твердого |
||
тела параллельно оси Ох. Центром тяжести твердого тела называется точка, неизменно связан
ная с твердым телом и обладающая следующим свойством: если твердое тело, находящееся под действием одной только силы тяжести, закреплено в этой точке и приведено в со стояние неподвижности относительно некоторой системы от счета, неизменно связанной с Землей, то оно будет сохра нять это состояние независимо от положения рассматривае мого твердого тела относительно вертикали.
Следует отметить, что центр тяжести твердого тела есть геометрическая точка, которая может находиться как в са мом теле, так и вне его.
Силой тяжести твердого тела называется равнодействую щая элементарных сил тяжести, приложенных к бесконечно малым элементам, на которое может быть разбито рассмат риваемое твердое тело
_ |
00 |
__ |
НшБ A |
= / J |
|
|
q = |
Игл 2 |
At/j |
d q \k lc= q k lc, |
|||
qjkij |
|
|||||
|
л<7,-0 ;=i |
1 |
l (?) / |
|||
|
п-►00 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
где k\c. — единичный |
вектор оси, |
проходящей через центр |
||||
тяжести, параллельный оси Ох.
78
Сила тяжести твердого тела представляет векторную физическую величину, изображаемую скользящим вектором, проходящим через центр тяжести С твердого тела, направ ленным вертикально вниз и равным по величине весу рас
сматриваемого тела: q= qklc.
§ 2. Определение положения центра тяжести твердого тела
Рассмотрим твердое тело, центр тяжести которого нахо дится в точке С. Для вывода формул, определяющих поло
жение |
центра |
тяжести, закрепим это тело в центре |
||||
тяжести |
С |
и |
приведем |
О |
||
его |
в |
состояние |
непод- |
|||
вижности |
относительно |
|
||||
системы отсчета, неиз |
|
|||||
менно связанной |
с Зем |
|
||||
лей. Будем |
считать, что |
|
||||
к телу кроме силы тяже |
|
|||||
сти и силы реакции за |
|
|||||
крепленной |
точки — силы |
|
||||
/?с — никаких других сил |
|
|||||
не |
приложено. |
|
систе |
|
||
мы |
Построим |
две |
|
|||
координат: |
главную |
|
||||
Oxijz так, чтобы она бы |
|
|||||
ла |
неизменно |
связана с |
|
|||
Землей, а ось Ох была направлена по вертикали вниз, и подчиненную систему коор
динат Р%riS, неизменно связанную с твердым телом. Начала обеих координатных систем (точки О и Р) могут бьпч выбраны произвольно (рис. 51).
Для того чтобы твердое тело, закрепленное в точке С и приведенное в состояние неподвижности относительно выбранной системы отсчета, сохранило это состояние непо движности, необходимо и достаточно, чтобы приложенная к нему система сил была уравновешенной. Условие равно весия системы сил, приложенной к твердому телу, закреп
ленному в одной точке, имеет вид: Lc=0, где Д. — главный момент относительно точки С всех сил, действующих на дан ное тело.
Для определения Lc разобьем твердое тело на бесконечно большое число бесконечно малых элементов, сплошным
79