Файл: Долгов, В. А. Температурные напряжения и перемещения в стержневых конструкциях [учебное пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 45

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Смысл каждого уравнения — отрицание реактивного усилия в введенной связи (заделке или дополнительном стержне).

Коэффициенты Гщ определяются либо способом «перемно­ жения» единичных эпюр по Верещагину, либо, чаще, стати­ ческим способом.

Свободные члены Rh, представляющие собой реактивные усилия в введенных связях основной системы метода переме­ щений от температурных воздействий, определяются стати­ ческим способом. Для этого необходимо рассмотреть элемен­ ты основной системы, загруженные «температурной» нагруз­ кой. В курсах строительной механики рассмотрены элементы основной системы с линейным распределением температуры по высоте стержня и постоянной по его длине. Получим рас­ четные формулы для элементов основной системы с произ­ вольным распределением температуры.

1. Стержень, шарнирно опертый с одной стороны и защем­ ленный с другой (рис. 29а).

Каноническое уравнение метода сил

единичный момент в основной системе М1=1-х, коэффициент бц при переменном сечении стержня (J^const)

оо

Заметим, что применение метода перемещений для рам с переменным сечением стержней . обычно нерационально. Однако для выяснения полной методики расчета, а также принимая во внимание, что определение силовых факторов, для стержней переменного сечения имеет самостоятельное значение, рассмотрим и этот случай.

При постоянном сечении стержня (J = const)

“1 У1

_

°п - EJnp

—ЗЕ J пр(г)

Момент в заделке

У

ори переменном сечении стержня

 

 

М =

X2

 

эШnp(z)

при постоянном сечении стержня

 

 

М = — 3EJnP ( z )

 

Аи.

Температурное перемещение

в основной системе (рис.

29в) при произвольной температуре по длине и высоте стерж-

6 8

ня и переменном сечении по его длине определяется по фор­ муле (16)

А п . = atmax Г

TStlz>

M i d x ,

.!

J n p ( Z )

 

о

 

 

или

г

A i t = — atmax i

------ x d x .

0

Jnp(z)

Если эпюра температур ty = const по x и сечение постоянно по длине (J = const), то на основании формулы (17) получим:

Stwl2

A i t — — a t m a x

2Jnp(z)

При линейной по высоте бруса температуре на основании формулы (18)

Ait----- atmax ( a — b) l2

2h

Тогда величина изгибающего момента в заделке будет: при произвольной температуре по высоте и длине стержня

и переменном сечении

стержня (txy^= const,

J== const)

 

 

St(«)

- xdx

 

 

 

Jn p (Z)

(24)

 

 

 

 

J

 

dx

 

Jnp(z)

 

 

 

 

при постоянной температуре по длине и постоянном сече­

нии стержня по длине

(txy =

const по х, J =

const)

М =

—

EatmaxSt(Z),

(25)

при постоянном сечении стержня и линейном распределении температуры по высоте

■М = — | — EJnp(z)atmax - ^ - E J n p a ( t t - t 2) (26)

(получается обычное выражение, приводимое в курсах строи­ тельной механики).

2. Стержень, защемленный с обеих сторон (рис. 30а).

69

i

70

Канонические уравнения

X i6n +

Х2612 +

A it = 0;

 

 

Х1621 +

Х2622 + A2t =

0.

Единичные моменты в основной системе (рис. 306, в)

 

 

Мг =

1 •

х ;

М2 =.

1.

 

const

Коэффициенты при переменном сечении стержня J

 

1

 

 

 

1

\

X

 

бп

¥

 

 

6 1 2

— Е

Jj пр(7.) d x ;

 

 

 

 

 

1

 

dx.

 

 

 

 

622 —

Е .

Jnp(z)

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

Температурные перемещения (рис. ЗОг) при произвольной

температуре и переменном сечении стержня по длине

(txy =/=

const, J ф const) — (16)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

All

= — cxtmax f—

---- xdx;

 

 

 

 

 

*

Jnp(z)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

A2t = —a t m a x

J np(z)

dx.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

После интегрирования определяются коэффициенты и тем­ пературные перемещения. После того, как будут найдены не­

известные X! и х2 из канонических уравнений

строится окон­

чательная эпюра моментов, показанная на рис. ЗОд

 

М = М1 Х1 + М2х2.

 

(27)

При постоянной температуре по длине стержня и постоян­

ном сечении поперечная сила Xi обращается в ноль, так

как

балка симметрична относительно опор. Это

справедливо и

для случая, когда температура переменна по длине (txy

ф

const), но симметрична относительно середины стержня при условии, что и сечение симметрично относительно середины

стержня.

Тогда при постоянном сечении по длине

коэффициент

6 22 —

EJ„ P(z)

 

71

температурное перемещение при произвольной температуре по высоте стержня (17)

A2t = — Cttmax 1

1>

Onp(z)

температурное перемещение при линейной температуре по высоте стержня

A2t = —atn

Изгибающий момент при постоянной температуре по дли­ не и постоянном сечении по длине (рис. ЗОе)

M= EatmaxSt(z),

(28)

изгибающий момент при линейной температуре

по высоте

стержня

 

 

М = Е Jn p (z)C ttm ax ---- g

— E Jn p (z)tt — ^ — ■— ,

(29)

т. е. получается обычное

выражение, приводимое

в курсах

строительной механики.

Полученные выше формулы (24) — (29) используются при определении реактивных усилий от температурных воз­ действий в основной системе метода перемещений.

Осевые перемещения элементов в основной системе мето­ да перемещений от температурных воздействий (введенные заделки не препятствуют линейным перемещениям) опреде­ ляются по формуле (15) при у = 0. Напомним, что определе­ ние осевых перемещений необходимо для нахождения реак­ тивных усилий, возникающих из-за изгиба стержней в ре­ зультате температурных продольных перемещений.

После вычисления коэффициентов и температурных реак­ тивных усилий и решения системы канонических уравнений строится окончательная эпюра моментов

Mt = Mt° + MiZi + M2Z2 + ... + Mnzn,

где M°t — «грузовая» температурная эпюра моментов в ос­ новной системе метода перемещений, построенная.

__ - по формулам (24) —(29); Mi — единичные эпюры моментов;

72

Zi — неизвестные перемещения от температурных воз­ действий, определенные из канонических уравне­ ний.

Деформационная проверка расчета рамы методом переме­ щений делается точно так же, как и по методу сил (23). Для этой проверки необходимо выбрать основную систему по ме­ тоду-сил и проверить равенство

 

Ап =

2 Г* MtMdx

+ 2

NtNdx

\

 

 

 

 

EJnp(Z)

) '

 

 

 

 

 

 

J EJnp(z)

 

 

 

 

где

Ли — температурное

«грузовое» перемещение

в

ос­

 

 

новной системе метода сил,

 

 

 

мо­

 

Mt.Nt — аналитическое выражение изгибающего

 

 

 

мента и нормальной силы в заданной статиче­

 

 

ски неопределимой раме, рассчитанной

мето­

 

 

дом перемещений,

 

 

 

 

 

 

Mi.Ni — аналитические выражения тех же усилий

от

 

Пример 12.

xi =

1 в основной системе метода сил.

 

 

 

Дано : 3-пролетная стальная рама,

ригель ко­

торой объединен с железобетонной плитой.

Эта рама

была

рассчитана ранее методом сил (пример 8).

Поперечные сече­

ния и размеры рамы приведены на рис. 12.

эпюру Mt

от за­

 

Т р е б у е т с я . Построить окончательную

данного температурного воздействия, рассчитав раму

мето­

дом перемещений.

Геометрические характеристики

(берутся

 

Р е ше н и е :

1.

по данным примера 6, рис. 12).

2. «Температурная» площадь и «температурный» статиче­

ский момент на ригеле (берутся по данным того же примера)

Ft = 295 см2;

Бед = 13200 см3.

 

Знак «температурного» статического момента изменен

с ми­

нуса на плюс, так

как

положительное направление

оси у

взято в противоположную сторону.

Число

3. Канонические

уравнения метода перемещений.

неизвестных метода перемещений п = пу + пл,

пу — число жестких узлов, пд — число линейных смещений. В данном случае пу = 2, пл = 1,

73

Смотрите также файлы