Файл: Васильев, С. П. Приближенные методы расчета сооружений на устойчивость и динамику с применением ЭВМ Наири (учебное пособие).pdf

III. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА «ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ»

ДЛЯ РАСЧЕТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ И ДИНАМИКУ

Для расчетов сложных рам на устойчивость и динамику вышеизложенный метод, являющийся совокупностью метода «малых возмущений» с методом сил, может оказаться весьма трудоемким в смысле формирования исходных матриц. Для расчета сложных многоконтурных рам более приемлем метод «обобщенных координат», предложенный В. В. Болотиным [5], в основе которого лежит метод перемещений.

Метод «обобщенных координат» заключается в следующем. Деформированный вид рамы в момент потери устойчивости или колебаний описывается рядом «обобщенных координат», то есть выбираются такие аппроксимирующие функции, кото­ рые достаточно характеризуют формы изгиба элементов рамы. В качестве таких функций принимаются уравнения, описыва­ ющие формы изгиба элементов рамы в основной системе ме­ тода перемещений. Пусть п0— число неизвестных при расчете рамы по методу перемещений (степень кинематической неоп­ ределимости). Тогда в качестве первых щ аппроксимирующих функций можно принять формы статического изгиба стержней

причем их число определяется необходимой точносшо расче-

время как уточняющее влияние координат Z4 и Z5 малосуще­ ственно и их можно не учитывать.

Количество обобщенных координат (Zb Z2, ..., Z„) дефор­ мированного состояния рамы и определяет число неизвестных в системе уравнений, составляемых при расчетах на устойчи­ вость и динамику по изложенной методике. Заметим, что чис­ ло этих координат п бывает обычно больше числа неизвест­ ных метода перемещений п0.

В работе Г5] произведен расчет элементарных стержней на воздействие единичных значений обобщенных координат и ре­ зультаты приводятся в виде таблиц. При расчетах на устойчи­ вость необходимо пользоваться табл. 2, а на динамику — табл. 3. Существенная особенность этих таблиц состоит в том, что параметры, определяющие критические нагрузки и собст­ венные частоты, входят в.реактивные усилия в явном виде,

40

Это приводит к тому, что отпадает надобность в решений трансцендентных уравнений, получающихся после раскрытия определителей. Данные табл. 2 и 3 можно получить и путем преобразования формул, реактивных усилий «классического» метода перемещений [1 ], разлагая их трансцендентные функ­ ции в ряды, удерживая при этом первые члены ряда. Это, ко­ нечно, снижает точность расчетов и делает невозможным по­ лучение полного спектра критических значений параметров. Однако, как было отмечено ранее, в инженерных расчетах не­ обходимо обычно знать лишь низшие члены спектра, которые по указанным методикам вычисляются достаточно точно.

Практическое применение метода «обобщенных коордиг мат» рассмотрим на примерах.

§ 6. Примеры расчета рам на устойчивость

Пример 1*. Подсчитать P Kp(mm) для рамы, показанной на рис. 11, а. Основная система и обобщенные координаты, кото­ рые приняты для описания деформированного вида этой рамы,

24-1,2

^12—^21— 2 - — ; Г23—г32—0;

Взят из книги [51.

44

N

/■34==-/'43==0.

Необходимая для определения Ркр система уравнений

z я

46

Здесь R — матрица единичных реакции от обобщенных пере­ мещений Zi= I, Z 2 = 1, Z„ = 1; S — матрица поправок к реакциям в связях по стержням, подвергаемым сжатию; Z матрица-столбец обобщенных координат.

В пашем случае

-Умножив равенство (19) слева на матрицу R~l и разделив на

которое представляет собой вековое уравнение

\А -к Е \= 0 ,

где A ^ R - 'S , ),= “ ..Чтобы получить amin, необходимо найти

Унах для матрицы А. Таким образом, решение задачи на ус­ тойчивость рам приведено к формированию матриц R и S, а затем — к отысканию лшвх для матрицы A=R~'S по програм­ ме, изложенной в Приложении. Тогда

Следует отметить, что для рам, имеющих линейную по­ движность узлов, нет надобности вводить обобщенные коор­ динаты, учитывающие изгибные деформации стоек (в нашем случае Z3) . Действительно, учитывая только три обобщенных координаты Zb Z2 и Z4, получим определитель из (б) путем вычеркивания третьего столбца и третьей строки, то есть

смотреть симметричную и обратно симметричную форму по­ тери устойчивости.

* Данные для примера и результаты взяты из [81.

47