Файл: Математическое моделирование нелинейных динамических систем Петров Лев Федорович.pdf

Второму уравнению этой системы удовлетворяет значение B
2
=0. Из первого уравнения следует, что при
(учитывая малость расстройки χ, это ограничение определяет область применимости метода).
Итак, решение в первом приближении имеет вид:
Видно, что первое приближение дает поправку к амплитуде нулевого приближения и добавляет в решение третью гармонику.
Итерации можно продолжать до получения требуемой точности.

Заметим, что первое условие означает, что решение системы мы ищем именно в таком виде – колебания с одной первой гармоникой с амплитудой, зависящей от времени. Но если мы ищем решение в таком виде, то никаких других решений мы этим методом не найдем.
Замена переменных должна быть непротиворечива, то есть должно выполняться:
. Запишем это условие непротиворечивости:
После очевидных преобразований получаем:
Из второго выражения замены переменных находим и учитываем первое соотношение замены переменных и второе из исходной системы:
Объединяя полученное выражение с условием непротиворечивости замены переменных, получаем систему относительно новых переменных A(t) и B(t):
Рассматривая эту систему как линейную алгебраическую систему относительно функций и
, выделим эти производные. Для решения этой линейной алгебраической системы удобно использовать метод Крамера.
( )
( )



+
−
=
+
=
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
t
t
B
t
t
A
t
y
t
t
B
t
t
A
t
x
ω
ω
ω
ω
ω
ω
)
(
)
(
t
y
dt
t
dx
=
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
t
t
B
t
t
A
t
t
B
t
dt
t
dB
t
t
A
t
dt
t
dA
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
=
+
+
−
0
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
=
+
t
dt
t
dB
t
dt
t
dA
ω
ω
dt
t
dy )
(
)}
]
[
3
]
[
sin
{
[
2
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)]
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
2 2
t
t
W
t
t
B
t
t
A
t
t
B
t
t
A
t
t
B
t
t
A
t
dt
t
dB
t
t
B
t
dt
t
dA
t
t
A
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
χ
γ
ω
µ
ω
+
+
+
=
+
−
−
−
−
+
+
−
=









+
+
=
+
−
=
+
−
+
=
]}
[
3
]
[
sin
{
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
0
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
t
t
B
t
t
A
t
t
B
t
t
A
t
dt
t
dB
t
dt
t
dA
t
dt
t
dB
t
dt
t
dA
t
W
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
χ
γ
ω
µ
dt
t
dA )
(
dt
t
dB )
(

Главный и вспомогательные определители системы имеют вид:
,
,
Отсюда получаем:
Отметим главную особенность этой системы. Мы ищем установившийся режим колебаний. Скорости изменения искомых функций и пропорциональны малому параметру μ. Система в такой форме записи называется системой в стандартной форме. Основная идея метода осреднения заключается в том, что медленно меняющиеся функции (ведь скорость изменения пропорциональна малому параметру) заменяются их средним значением. Иными словами, для медленно меняющихся T- периодических функций вводится оператор осреднения, действующий по закону:
Черточка над символом означает осредненную величину.
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
−
=
∆
)
cos(
)
sin(
)
sin(
)
cos(
t
t
t
t
]}
[
3
]
[
sin
){
sin(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
t
t
B
t
t
A
t
t
B
t
t
A
t
W
t
dt
dA
ω
ω
ω
ω
χ
γ
ω
ω
µ
+
+
−
=
∆
−
+
]}
[
3
]
[
sin
){
cos(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
t
t
B
t
t
A
t
t
B
t
t
A
t
W
t
dt
dB
ω
ω
ω
ω
χ
γ
ω
ω
µ
+
+
=
∆
−
+






+
−
+
+
=
+
−
+
+
−
=
)]}
sin(
)
(
)
cos(
)
(
[
3
)]
sin(
)
(
)
cos(
)
(
[
sin
){
cos(
)
(
)]}
sin(
)
(
)
cos(
)
(
[
3
)]
sin(
)
(
)
cos(
)
(
[
sin
){
sin(
)
(
t
t
B
t
t
A
t
t
B
t
t
A
t
W
t
dt
t
dB
t
t
B
t
t
A
t
t
B
t
t
A
t
W
t
dt
t
dA
ω
ω
χ
ω
ω
γ
ω
ω
ω
µ
ω
ω
χ
ω
ω
γ
ω
ω
ω
µ
dt
t
dA )
(
dt
t
dB )
(
∫
=
T
dt
t
A
T
A
0
)
(
1

Рис. Действие оператора осреднения.
Смысл этого оператора иллюстрируется рисунком. Площадь фигуры под кривой A(t) равна площади прямоугольника, верхняя сторона которого является прямой, соответствующей среднему значению.
Применим оператор осреднения к системе в стандартной форме. Учтем, что мы ищем периодическое установившееся движение и что после осреднения и замены медленно меняющихся функций на константы производная от константы равна нулю. После вычисления интегралов получим:
Сопоставим полученную систему с системой, полученной в первом приближении резонансного варианта метода малого параметра. Сравнение показывает, что эти системы совпадают с точностью до постоянного множителя, то есть они эквивалентны. Таким образом, с помощью метода осреднения мы получили тот же результат, что и в первом приближении резонансного варианта метода малого параметра. Результаты решения уже рассмотрены при анализе колебаний с помощью резонансного варианта метода малого параметра.






−
+
=
−
+
+
−
=
}
2 1
2 8
3 3
8 3
{
0
}
2 2
8 3
3 8
3 2
1
{
0
A
A
B
A
B
B
A
B
W
χ
γ
γ
ω
µ
χ
γ
γ
ω
µ

2.5. Новые нелинейные динамические эффекты в квазилинейных
моделях.
Отметим принципиально новые по сравнению с линейными моделями динамические эффекты, полученные при анализе квазилинейных систем.
1. При исследовании колебаний квазилинейной системы нерезонансным вариантом метода малого параметра выяснилось, что в рассматриваемой нелинейной системе существуют дополнительные резонансы на высших гармониках, найдены резонансные частоты. Выяснилось также, что периодическое решение содержит счетное число гармоник.
2. С помощью резонансного варианта метода малого параметра обнаружены следующие нелинейные эффекты в анализируемой системе: принципиально иной, нежели в линейной системе, вид амплитудно- частотной характеристики; возможность скачкообразных переходов системы из одного состояния в другое при малом изменении частоты внешнего воздействия; возможность существования нескольких различных динамических режимов при одинаковых параметрах системы и внешнего воздействия.
3. Часть результатов, поученных при использовании метода осреднения и резонансного варианта метода малого параметра, совпадают, несмотря на принципиальное различие этих двух методов анализа квазилинейных систем.
3.1. Построение периодических решений существенно нелинейных
неавтономных динамических систем.
Исходя из того факта, что для автономной системы период решения Т заранее неизвестен, а для неавтономной системы период решения связан с периодом системы, рассмотрим отдельно вопросы построения периодических решений для автономных и неавтономных систем. Начнем с неавтономной системы с известным периодом T.

Рассматривается система неавтономных дифференциальных уравнений вида
)
,
,...
(
1
t
x
x
X
dt
dx
n
i
i
=
, где
)
,
,...
(
)
,
,...
(
1 1
T
t
x
x
X
t
x
x
X
n
i
n
i
+
=
- заданные
T
- периодические функции,
n
- размерность системы,
T
- известный период,
n
i
,...,
2
,
1
=
Ставится задача отыскания
kT
- периодического решения рассматриваемой системы , где
k
- фиксированное положительное ограниченное целое число.
При
1
=
k
исследуются периодические решения с периодом системы
T
. При
1
>
k
рассматриваются субгармонические решения, то есть периодические решения с периодом, кратным периоду системы
T
. В рамках используемого подхода ультрагармонические и субультрагармонические решения естественным образом попадают в рассматриваемый набор периодических решений.
Первые попытки построения периодических решений систем существенно нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений были предприняты на основе отыскания искомого решения в виде отрезка ряда Фурье. Процедура Галеркина позволяла сводить задачу к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ряда Фурье. Отыскание решений такой системы является весьма трудоемкой вычислительной процедурой. Для достижения требуемой точности даже при исследовании системы дифференциальных уравнений второго порядка (нелинейный осциллятор Дюффинга) приходилось удерживать в разложении решения до сотен гармоник ряда Фурье.
Альтернативным подходом к решению рассматриваемой задачи является отыскание начальных условий, соответствующих
kT
- периодическому решению рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.
Основная идея этого подхода может быть связана с отысканием неподвижной точки и иллюстрируется рисунком.

Рис. Отыскание начальных условий, соответствующих kT-периодическому решению.
При этом число неизвестных будет равно порядку системы
n
, что кардинально снижает число искомых переменных. Для задачи Дюффинга число искомых переменных равно двум.
При постановке задачи в предлагаемом варианте будем предполагается использование стандартного математического обеспечения решения задачи
Коши для рассматриваемой системы на отрезке
]
,
0
[ kT
с требуемой точностью. Отметим, что численное решение задачи Коши проводится только на одном периоде искомого решения
]
,
0
[ kT
, что облегчает программную реализацию. Так как рассматривается периодическое решение, стыковка траекторий происходит естественным образом: начальная точка следующего периода решения совпадает с конечной точкой предыдущего периода.
Для отыскания начальных условий
n
i
x
Y
i
i
,...,
2
,
1
),
0
(
=
=
, соответствующих периодическому решению, имеем систему нелинейных алгебраических уравнений вида
)
(kT
x
Y
i
i
=
,
n
i
,...,
2
,
1
=

Величины
i
Y
являются искомыми, а
)
(kT
x
i
определяются численно при решении задачи Коши на одном периоде искомого решения. Система алгебраических уравнений не распадается на отдельные уравнения. Отметим, что мы не можем записать в явном виде определяемые численно правые части этой системы, но это и не требуется для реализации предлагаемого алгоритма.
Для отыскания решений системы нелинейных алгебраических уравнений использован метод Ньютона. Так как для нелинейных систем нет гарантий существования и единственности решений, алгоритма Ньютона программно реализован в интерактивной форме когда пользователь может вмешиваться в ход вычислительного процесса и выводить его к одному из искомых решений.
Второй вариант реализации идеи об отыскании начальных условий, соответствующих периодическому решению, состоит в формировании функции невязки
)
,...,
,
(
2 1
n
Y
Y
Y
F
, характеризующей отличие текущего приближения от периодического решения:
[
]
∑
=
−
=
n
i
i
i
n
kT
x
Y
Y
Y
Y
F
1 2
2 1
)
(
)
,...,
,
(
Эта функция соответствует расстоянию в фазовом пространстве между началом и концом траектории решения на одном периоде. Для определения искомых начальных условий
n
Y
Y
Y
,...,
,
2 1
, соответствующих периодическому решению, можно использовать оптимизационные алгоритмы для целевой функции
)
,...,
,
(
2 1
n
Y
Y
Y
F
при очевидном условии
0
)
,...,
,
(
2 1
=
n
Y
Y
Y
F
для периодического решения (см. рисунок, иллюстрирующий отыскание начальных условий, соответствующих периодическому решению).
3.2. Построение периодических решений существенно
нелинейных автономных динамических систем.