Файл: Учебное пособие соответствует рабочей программе дисциплины Строительная механика.docx

П ример 1. Исследовать расчетную схему.

1-й этап кинематического анализа

Поскольку РС без замкнутых контуров, то для определения степени свободы используем формулу

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, определяем число дисков: D = 4 (плоские диски: АВ – D₁; ВD – D₂; KN – D₃; прямолинейный стержень: BL – D₄).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведенных к простым, Ш = 4 (простые шарниры в точках К и L; двукратные шарниры в точке В; Ш = 1 · 2 + 2 · 1 = 4).

1.3. Число опорных стержней С_оп = 5 (шарнирно-подвижные опоры – А, D и М – по одному стержню; шарнирно-неподвижная опора С – два стержня).

1.4. W = 3 · 4 – 2 · 4 – 5 = 12 – 13 = –1.

1.5. Вывод. Заданная РС может быть геометрически неизменяемой, имеет одну избыточную связь, т. е. один раз статически неопределима, так как W = –1.

2-й этап кинематического анализа

2.1. Анализ геометрической структуры РС показывает, что система имеет один диск – D₂, с достаточным (не менее трёх) числом связей с диском «земля» (ШПО – D и ШНО – С).

1-й шаг сборки РС. Диск D₂ в виде плоского тела ВСD прикрепляется к диску «земля» с помощью трёх линейных связей 1-го типа (ШНО – С – две связи; ШПО – D – одна связь); соединение соответствует типовому правилу 2 (табл. 2.1), причём требование к связям выполняется: оси трёх линейных связей не пересекаются в одной точке и не параллельны; результат сборки – диск D1 = D₂ + диск «земля», образованный с помощью только необходимых связей и включающий в себя диск «земля», следовательно, полученная на 1-м шаге сборки система – геометрически неизменяемая и не имеющая избыточных связей.

Сокращенная запись 1-го шага сборки: диск «земля» + D₂ = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС, только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью трёх связей 1-го типа в форме ШНО – С и ШПО – D; оси связей не пересекаются в одной точке и не параллельны).

2.2. 2-й шаг сборки РС. К геометрически неизменяемой системе –

D1 присоединяется диск D₁ с помощью цилиндрического шарнира в точке В и вертикальной линейной связи ШПО – А; соединение соответствует типовому правилу 3 (табл. 2.1), причём требование к связям выполняется: направление оси линейной связи не проходит через шарнир В; результат сборки – диск D2 = D1 + D₁, образованный с помощью только необходимых связей и включающий в себя диск «земля», следовательно, полученная на этом шаге сборки система – геометрически неизменяемая и не имеющая избыточных связей.

Сокращенная запись 2-го шага сборки: D2 = D1 + D₁ по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями.

2.3. 3-й шаг сборки РС. К геометрически неизменяемой системе – диску D2 – присоединяется диск D₃ c помощью цилиндрического шарнира в точке К и двух линейных связей (стержень ВL и опорный стержень ШПО М), что эквивалентно четырём линейным связям, из которых одна избыточная, так как типовые приёмы соединения двух дисков по правилу 3 (табл. 2.1) требуют только трёх связей. в качестве избыточной может рассматриваться, например стержень BL или опорный стержень ШПО М, причём требование к этим связям выполняется: направление осей линейных связей не проходит через шарнир К; результат сборки – диск D3 = D2 + D₃ – геометрически неизменяемая система с одной избыточной связью.

Сокращенная запись 3-го шага сборки. D3 = D2 + D₃ – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС с одной избыточной (лишней) связью.

3. Окончательный вывод. Заданная РС – геометрически неизменяемая, с простой структурой, с одной лишней связью, т. е. статически неопределимая.
П ример 2. Произвести кинематический анализ системы.

1-й этап кинематического анализа

Поскольку РС без замкнутых контуров, для определения её степени свободы используем формулу

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, определяем число дисков: D = 5 (плоские тела: АК

– D₁; ABC – D₂; CD – D₃; прямолинейные стержни: KL – D₄; LM – D₅).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведённое к простым, Ш = 6 (простые шарниры в точках А, С, К и М; двукратный шарнир в точке L).

1.3. Число опорных стержней С_оп = 4 (в ШПО – А, В, С и D по одному стержню).

1.4. W = 3 · 5 – 2 · 6 – 4 = 15 – 16 = –1.

1.5. Вывод. Заданная РС может быть геометрически неизменяемой, имеет одну избыточную связь, т. е. один раз статически неопределима.

2-й этап кинематического анализа

2.1. 1-й шаг сборки РС: D₂ + диск «земля» = D1 – по правилу 2
(табл. 2.1) образована мгновенно изменяемая РС (соединение двух дисков с помощью трёх линейных связей: ШПО – А, В и С, оси которых параллельны друг другу).

На примере рассмотренной РС можно убедиться в необходимости внимательной проверки выполнения требований к расположению связей. Так, если изменить углы наклона осей опорных стержней, то оси не будут параллельны и система будет ГНРС только с необходимыми связями и тогда можно продолжить кинематический анализ.

2.2. 2-й шаг сборки РС: D1 + D₁ = D2 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью шарнира в точке А и линейной связи 1-го типа KL; ось связи не проходит через центр шарнира).

2.3. 3-й шаг сборки РС: D2 + D₃ = D3 – соединением двух дисков с помощью шарнира в точке С и двумя линейными связями: LM и опорный стержень ШПО D, оси которых не проходят через центр шарнира С, образована ГНРС по правилу 3 (табл. 2.1) с одной избыточной связью.

3. Окончательный вывод. Заданная РС – мгновенно изменяемая.

Если изменить углы наклона осей опорных стержней, то РС будет ГНРС, с простой структурой, с одной лишней связью, т. е. статически неопределимой.
П ример 3. Исследовать расчетную схему.

D

К

N

M

L

А
1-й этап кинематического анализа

Определяем степень свободы заданной РС по формуле

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, определяем число дисков: D = 6 (плоские диски АD – D₁, DС – D₂ и ВЕ – D₃; стержни МК – D₄, МL – D₅ и MN – D₆).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведённых к простым: Ш = 8 (простые шарниры – D, К, L, Е и N; шарнир М – трехкратный (4 – 1 = 3). Итого Ш = 5 · 1 + 1 · 3 = 8).

1.3. Определяем число внешних связей: С_оп = 4 (шарнирно-неподвиж-ная опора А – две связи; шарнирно-подвижные опоры В и С – по одной связи. Итого С_оп = 1 · 2 + 2 · 1 = 4).

1.4. Определяем степень свободы заданной РС:

W = 3 · 6 – 2 · 8 – 4 = 18 – 20 = –2.

1.5. Вывод. Заданная РСможет быть структурно неизменяемой и дважды статически неопределимой, так как имеет две лишние (избыточные) связи (W = –2).

2-й этап кинематического анализа

2.1. Анализ РСпоказывает, что в системе нет диска с достаточным числом связей с землей, поэтому рассмотрим укрупнение структуры системы путем соединения исходных дисков по типовым правилам.

2.1.1. D₅ + D₂ + D₆ = D1 – по правилу 4 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение трех дисков тремя шарнирами М, L и К; шарниры не лежат на одной прямой).

2.1.2. D1 + D₁ = D2 – соединением двух дисков с помощью двух цилиндрических шарниров D и М (эквивалентны четырём простым связям; одна связь – избыточная) образована ГНРС с одной избыточной связью.

2.1.3. D2 + D₃ = D3 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью шарнира Е и линейной связи MN; ось связи не проходит через центр шарнира).

2.2. D3 + диск «земля» = D4 – соединением двух дисков с помощью четырех линейных связей; (оси четырёх связей не сходятся в одной точке и не параллельны; одна связь – избыточная) образована ГНРС с одной избыточной связью.

3. Окончательный вывод. заданная расчетная схема геометрически неизменяемая, статически неопределимая, так как имеет две избыточные связи (W = –2)с простой структурой.
П ример 4. Произвести кинематический анализ РС.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы РСпо формуле

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что РСсостоит из пяти дисков, т. е. D = 5 (плоские диски АВ – D₁, ВС – D₂, DЕ – D₃; стержни MN – D₄, КL – D₅).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведенных к простым, Ш = 6 (простые шарниры в точках B, C, K, L, M и N).

1.3. Число опорных стержней С_оп = 6 (ШНО А и Е по два стержня, ШПО М и D по одному стержню).

1.4. Определяем степень свободы W = 3 · 5 – 2 · 6 – 6 = 15 – 18 = –3.

1.5. Вывод. Заданная РСможет быть структурно неизменяемой и трижды статически неопределима, так как имеет три лишние связи (W = –3).

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. Анализ РСпоказывает, что в системе есть два диска с достаточным числом связей с землей – D₁ и D₃.

2.2. диск «земля» + D₁ = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью трёх связей 1-го типа, оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу).

2.3. D1 + D₂ = D2 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью шарнира В и линейной связи MN; ось связи не проходит через центр шарнира).

2.4. D2 + D₃ = D3 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью шарнира С и линейной связи KL; ось связи не проходит через центр шарнира).

2.5. D3 + «три линейные связи в точках Е и D» – образована ГНРС с тремя избыточными связями.

3. Окончательный вывод. Заданная РСгеометрически неизменяемая, статически неопределимая, так как имеет три избыточные связи (W = –3), с простой структурой.
Пример 5. Исследовать систему.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определим степень свободы РСпо формуле

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что система состоит из четырёх дисков, т. е. D = 4 (АС – D₁, СЕ – D₂, ЕF – D₃ и FH – D₃).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведённых к простым, Ш = 3 (простые шарниры С, Е и F).

1.3. Число опорных стержней С_оп = 6 (ШНО – А, четыре ШПО – В, D, G и H).

1.4. Определяем степень свободы W = 3 · 4 – 2 · 3 – 6 = 12 – 12 = 0.

1.5. Вывод. Заданная РСможет быть геометрически неизменяемой и статически определимой (W = 0).

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. Анализ РСпоказывает, что в системе есть диск с достаточным числом связей с землей – D₁.

2.2. диск «земля» + D₁ = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью трёх связей 1-го типа, оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу).

2.3. D1 + D₂ = D2 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью шарнира С и линейной связи (ШПО – D); ось связи не проходит через центр шарнира).

2.4. D2 + D₄ = D3 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью трех связей 1-го типа – ЕF, ШПО – G и H; оси которых не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке).

3. Окончательный вывод. Заданная РСгеометрически неизменяемая и статически определимая (W = 0).

П ример 6. Произвести кинематический анализ системы.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы РСпо формуле

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что РСсостоит из пяти дисков, т. е. D = 5 (стержни АВ – D₁, ВD – D₂, ВС – D₃, АС – D₄, СD – D₅).

1.2. Отбросив все опорные стержни определяем число шарниров, приведенных к простым, Ш = 6 (простые шарниры в точках А и D, двукратные в точках В и С).

1.3. Число опорных стержней (линейных связей 1-го типа) С_оп = 3 (ШНО – А – два стержня; ШПО – D – один стержень).

1.4. Определяем степень свободы

W = 3 · 5 – 2 · 6 – 3 = 15 – 15 = 0.

1.5. Вывод. Заданная РСможет быть структурно неизменяемой и статически определимой (W = 0).

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. D₁ + D₃ + D₄ = D1 – по правилу 4 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение трех дисков с помощью трёх цилиндрических шарниров; шарниры А, В и С не лежат на одной прямой).

2.2. D1 + D₂= D2 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью шарнира В и линейной связи СD; ось связи не проходит через центр шарнира).

2.3. D2 + диск «земля» = D3 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью тех связей 1-го типа, оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу).

3. Окончательный вывод. Заданная РСгеометрически неизменяема и статически определима, с простой структурой.
П ример 7. Исследовать расчетную схему.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы РСпо формуле

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что РСсостоит из двух дисков, т.е. D = 2 (ломаный стержень АВСК – D₁, прямолинейный стержень СD – D₂).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведенных к простым, Ш = 2 (простые шарниры в точках В и С).

1.3. Число опорных стержней С_оп = 6 (ШНО А, D и К – по два стержня).

1.4. Определяем степень свободы РС:W = 3 · 2 – 2 · 2 – 6 = 6 – 10 = –4.

1.5. Вывод. Заданная РСможет быть структурно неизменяемой и четырежды статически неопределима, так как имеет четыре избыточных связи.

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. диск «земля» + D₁ = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС с одной избыточной связью (горизонтальный стержень в ШНО А или К, соединение двух дисков с помощью трёх связей 1-го типа, оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу).

2.2. D1 + D₂= D2 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС с одной избыточной связью (вертикальный опорный стержень ШНО D, соединение двух дисков с помощью шарнира С и горизонтального опорного стержня ШНО D; ось опорного стержня не проходит через центр шарнира).

2.3. Простой шарнир В, эквивалентный двум связям 1-го типа, лишний, так как и без него РСнеизменяема.

3. Окончательный вывод. заданная РСгеометрически неизменяемая, трижды статически неопределимая (W = –3), с простой структурой.
П ример 8. Произвести кинематический анализ расчетной схемы.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы

W = 3 · 4 – 2 · 5 – 6 = 12 – 16 = –4.

1.1. Вывод. заданная РСможет быть структурно неизменяемой и четырежды статически неопределима, так как имеет четыре избыточные связи (W = –4).

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. Анализ расчетной схемы позволяет сделать вывод, что есть два диска D₁ – ANOB и D₂ – BPRC, которые соединены с землей достаточным (не менее трёх) числом связей. Начнем сборку системы с D₁.

2.2. D₁+ диск «земля» = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью трёх связей 1-го типа (ШНО А и ШПО В), оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу).

2.3. D1 + D₂ = D2 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС с двумя избыточными связями (соединение двух дисков с помощью шарнира В и жесткой заделки С, что эквивалентно пяти линейным связям 1-го типа; для образования неизменяемой системы достаточно трёх связей).

2.4. Стержни DK и LM – избыточные, так как и без этих связей исследованная система геометрически неизменяема и неподвижна.

3. Окончательный вывод. Заданная РСгеометрически неизменяемая, четырежды статически неопределима (W = –4), с простой структурой.

П ример 9. Произвести кинематический анализ системы.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы. Поскольку система имеет замкнутый контур EFIK, то для определения её степени свободы используем универсальную формулу

W = 3D – 3П – 2Ш – С – С_оп.

1.1. В качестве дисков примем стержни AB – D₁, BC – D₂, CD – D₃,
GI – D₄, IK – D₅, KH – D₆, EL – D₇, FM – D₈ (стержни EL и FM приняты сплошными), т.е. D = 8.

1.2. Шарниры G и H – простые. Ш = 2.

1.3. Жесткие узлы (припайки) B, E, F и C простые, каждый из жестких узлов (припаек) I и К – двукратный, так как соединяет по три стержня (к стержню ЕL в узле I жестко присоединены стержни GI и KI, а к стержню FM в узле К – стержни IK и HK); суммарное число жестких прикреплений (припаек)

П = 1 · 4 + 2 · 2 = 8.

1.4. Число опорных стержней С_оп = 5 (ШНО А – две связи 1-го типа, ШПО L, M и D – три связи 1-го типа).

1.5. Число внутренних связей 1-го типа С = 0.

1.6. Степень свободы системы

W = 3 · 8 – 3 · 8 – 2 · 2 – 0 – 5 = 24 – 33 = –9.

1.7. Вывод. Заданная система может быть неизменяемой и имеет девять избыточных связей.

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. Анализ геометрической структуры показывает, что внешний контур ABCD представляет укрупненный супердиск D₁.

2.2. D₁ + диск «земля» = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью трёх связей 1-го типа (ШНО А – две связи, ШПО D – одна связь).

2.3. D1 + укрупненный супердиск CEFIKHLM = D2 (соединение двух дисков шарнирами G и H (четыре связи), припайками Е и F (шесть связей), двумя опорными стержнями (ШПО L и М). В общей сложности
укрупненный супердиск прикреплен к первому диску D1 двенадцатью связями, а для геометрической неизменяемости и неподвижности его достаточно трёх связей, следовательно, девять связей с точки зрения неизменяемости являются лишними.

3. Окончательный вывод. в результате произведённого кинематического анализа заключаем, что рассмотренная РСнеизменяема, неподвижна, девять раз статически неопределима (W = –9) и с простой структурой.
П ример 10. Произвести кинематический анализ системы.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы системы. Поскольку РСявляется шарнирно-стержневой (фермой), для определения её степени свободы используем формулу

W = 2У – С_ф – С_оп.

1.1. Определяем число узлов системы У = 6.

1.2. Число стержней фермы С_ф = 8.

1.3. Число опорных стержней С_оп = 3.

1.4. Степень свободы

W = 2 · 6 – 8 – 3 = 12 – 11 = 1.

1.4. Вывод. Заданная РСимеет одну степень свободы, т. е. является механизмом и не может быть использована в качестве строительной конструкции.
П ример 11. Исследовать систему.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы по формуле

W = 2У – С_ф – С_оп.

1.1. Число узлов У = 7.

1.2. Число стержней фермы С_ф = 11.

1.3. Число опорных стержней С_оп = 3.

1.4. W = 2 · 7 – 11 – 3 = 14 – 14 = 0.

1.5. Вывод: система имеет необходимое количество связей, чтобы быть неизменяемой и статически определимой (W = 0).

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. Диск D₁ (стержень АВ) + диск «земля» = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью трех связей 1-го типа (ШНО А и ШПО В), оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу).

2.2. D1 + супердиск D₂ (неизменяемый треугольник СDЕ) + супердиск D₃ (неизменяемый треугольник EFG) = D2 – по правилу 5 (табл. 2.1) (три диска попарно соединены с помощью трёх пар линейных связей – D₁ c D₂ – двумя стержнями АС и ВD; D₁ с D₃ – двумя стержнями АF и ВG; D₂ с D₃ – шарниром в точке Е). Шарнир Е является мгновенным центром вращения дисков D₂ и D₃, а также дисков D₁ и D₂, так как здесь находится фиктивный шарнир, заменяющий стержни АС и ВD, соединяющие эти два диска. Следовательно, система мгновенно изменяемая, так как где бы ни находился мгновенный центр О вращения дисков D₁ и D₃, через него и точку Е можно всегда провести прямую, на которой будут лежать все три мгновенных центра вращения.

3. Окончательный вывод. заданная система – мгновенно изменяемая.
П ример 12. Исследовать систему.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень изменяемости системы по формуле

V = 3D – 2Ш – 3.

1.1. Отбросив все шарниры, находим, что РС состоит из семи дисков, т. е. D = 7 (стержни АВС – D₁; СDE – D₂; AK – D₃; BK – D₄; KL – D₅; DL – D₆; EL – D₇).

1.2. Число шарниров, приведенных к простым, Ш = 9 (простые шарниры – А, В, С, D и Е; двукратные шарниры – К и L; Ш = 1 · 5 + 2 · 2 = 9).

1.3. V = 3 · 7 – 2 · 9 – 3 = 21 – 21 = 0.

1.4. Вывод. Заданная РСимеет необходимое количество связей, чтобы быть неизменяемой и статически определимой.

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. D₁ + D₃ + D₄ = D1 – по правилу 4 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (три диска соединены с помощью трёх шарниров А, В и К; которые не лежат на одной прямой).

2.2. D₂ + D₆ + D₇ = D2 – по правилу 4 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями.

2.3. D1 + D2 = D3 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (два диска соединены с помощью шарнира С и линейной связи КL; ось связи не проходит через центр шарнира).

3. Окончательный вывод. Заданная РСгеометрически неизменяема, неподвижна и статически определима.
П ример 13. Произвести кинематический анализ РС.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень изменяемости РСпо формуле

V = 2У – С_ф – 3.

1.1. Число узлов в ферме У = 6.

1.2. Число стержней фермы С_ф = 8.

1.3. V = 2 · 6 – 8 – 3 = 12 – 11 = 1.

1.4. Вывод. Заданная РСимеет одну степень свободы, т. е. является механизмом и не может быть использована в качестве строительной конструкции.
П ример 14. Исследовать систему.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы РС по формуле

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что РСсостоит из шести дисков, т. е. D = 6 (стержни АВС – D₁, СDE – D₂, FG – D₃, GIL – D₄, IK – D₅,
LM – D₆).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведённых к простым, Ш = 6 (простые шарниры C, F, G, I, K, L).

1.3. Число опорных стержней (связей 1-го типа) С_оп = 6 (ШНО А, М и Е).

1.4. W = 3 · 6 – 2 · 6 – 6 = 18 – 18 = 0.

1.5. Вывод. Заданная РСможет быть структурно неизменяемой и статически определимой.

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. D₁ + D₂ + диск «земля» = D1 – по правилу 4 (табл. 2.1) образована ГНРС (три диска соединены с помощью трёх цилиндрических шарниров, которые не лежат на одной прямой).

2.2. D1 + D₄ = D2 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована МИРС (два диска соединены при помощи трех линейных связей – стержней FG, IK и LM; оси которых пересекаются в одной точке H, являющейся мгновенным центром вращения).

3. Окончательный вывод: заданная РСмгновенно изменяемая.
П ример 15. Произвести кинематический анализ системы.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы РСпо формуле

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что РС состоит из четырёх дисков, т. е. D = 4 (плоские диски АК – D₁ и ВL – D₂; стержни CD – D₃, KL – D₄).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведённых к простым, Ш = 4 (простые шарниры C, D, K, L).

1.3. Число опорных стержней С_оп = 4 (ШНО А и В).

1.4. W = 3 · 4 – 2 · 4 – 4 = 12 – 12 = 0.

1.5. Вывод. РС может быть структурно неизменяемой и статически
определимой.

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. D₁ + D₂ + диск «земля» = D1 – по правилу 5 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (три диска соединены попарно с помощью трёх пар линейных связей – ШНО А, В и стержни СD, KL; точки пересечения каждой пары линейных связей не лежат на одной прямой и линейные связи не параллельны между собой).

3. Окончательный вывод: заданная РС геометрически неизменяемая и статически определимая.
П ример 16. Исследовать систему.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень изменяемости РС по формуле

V = 3D – 2Ш – 3.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что система состоит из семи дисков, т. е. D = 7 (плоские диски АК – D₁, AB – D₂, BN – D₃; стержни KL – D₄, LN – D₅, CL – D₆, CD – D₇).

1.2. Отбросив все опорные связи, определяем число шарниров, приведённых к простым, Ш = 9 (простые шарниры А, В, К, D, N; двукратные шарниры L и С; Ш = 1 · 5 + 2 · 2 = 9).

1.3. V = 3 · 7 – 2 · 9 – 3 = 21 – 21 = 0.

1.4. Вывод. Заданная РС может быть структурно неизменяемой и статически определимой.

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. D₂ + D₃ + D₇ = D1 – по правилу 4 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (три диска соединены с помощью трёх цилиндрических шарниров, которые не лежат на одной прямой).

2.2. D1 + узел L = D2 – по правилу 1 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (узел L прикреплен к неизменяемому диску D1 двумя линейными связями, не лежащими на одной прямой).

2.3. D2 + D₁ = D3 – по правилу 3 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (два диска соединены с помощью шарнира А и линейной связи КL; продольная ось которой не проходит через центр шарнира).

3. Окончательный вывод. Заданная РС геометрически неизменяемая и статически определима.
П ример 17. Произвести кинематический анализ системы.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы РС по формуле

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что РС состоит из трех дисков, т. е. D = 3 (стержни АС – D₁, CDKL – D₂, BDK – D₃).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведённых к простым, Ш = 4 (простые шарниры в точках В, С, К, D).

1.3. Число опорных стержней С_оп = 5 (ЖЗ А – три стержня; ШНО L – два стержня).

1.4. W = 3 · 3 – 2 · 4 – 5 = 9 – 13 = –4.

1.5. Вывод. Заданная РС может быть структурно неизменяемой и четырежды статически неопределимой, т. е. имеет четыре избыточных связи.

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. D₁ + диск «земля» = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (два диска соединены при помощи трёх линейных связей (стержней) – ЖЗ А).

2.2. D1 + D₂ = D2 – образована ГНРС с одной избыточной связью соединением двух дисков с помощью двух цилиндрических шарниров (четырёх эквивалентных простых связей; одна связь – избыточная).

2.3. D2 + D₃ = D3 – образована ГНРС с тремя избыточными связями (соединение двух дисков с помощью трёх цилиндрических шарниров (шесть эквивалентных простых связей; три связи – избыточные)).

3. Окончательный вывод. заданная РС геометрически неизменяемая, с простой структурой, с четырьмя избыточными (лишними) связями,
т. е. статически неопределимая.
Пример 18. Исследовать систему.

1-й этап кинематического анализа

Поскольку РС является шарнирно-стержневой, для определения её степени свободы используем формулу

W = 2У – С_ф – С_оп.

1.1. Число узлов системы У = 12.

1.2. Число стержней фермы С_ф = 20.

1.3. Число опорных стержней С_оп = 4.

1.4. W = 2 · 12 – 20 – 4 = 24 – 24 = 0.

1.5. Вывод. Необходимое условие геометрической неизменяемости соблюдено, следовательно, РС может быть неизменяемой и статически опре-делимой (W = 0).

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. Производя структурный анализ, нетрудно доказать неизменяемость двух частей системы АВС – D₁ и ВСD – D₂, состоящих из простых шарнирных треугольников (триад).

2.2. D₁ + диск «земля» = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков с помощью трёх связей 1-го типа в форме ШНО – А и ШПО – В).

2.3. D1 + D₂= D2 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована МИРС (два диска соединены при помощи трёх линейных связей 10–11, 4–5 и опорного стержня ШПО – D, оси которых пересекаются в одной точке D, являющейся мгновенным центром вращения).

3. Окончательный вывод. Заданная РС является мгновенно изменяемой.
П ример 19. Произвести кинематический анализ системы.

1-й этап кинематического анализа

Аналитическим методом определяем степень свободы РС по формуле

W = 3D – 2Ш – С_оп.

1.1. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что РС состоит из семи дисков, т. е. D = 7 (стержни BL – D₁, AM – D₂, AB – D₃, CD – D₄, LM – D₅, BC – D₆, DM – D₇).

1.2. Отбросив все опорные стержни, определяем число шарниров, приведённых к простым, Ш = 10 (простые шарниры – L и А; двукратные шарниры – В, С, D, М; Ш = 1 · 2 + 2 · 4 = 10).

1.3. Число опорных стержней С_оп = 3.

1.4. W = 3 · 7 – 2 · 10 – 3 = 21 – 23 = –2.

1.5. Вывод. Заданная РС может быть структурно неизменяемой и два раза статически неопределимой.

2-й этап кинематического анализа: структурный анализ РС.

2.1. D₂ + диск «земля» = D1 – по правилу 2 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (соединение двух дисков при помощи трех связей 1-го типа – ШНО А, ШПО К, оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу).

2.2. «Узел В» + D1 = D2 – по правилу 1 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями (узел прикреплён к неизменяемому диску двумя линейными связями ВС и АВ, не лежащими на одной прямой).

2.3. «Узел D» + D2 = D3 – по правилу 1 (табл. 2.1) образована ГНРС только с необходимыми связями.

2.4. Диски ВL и LM – избыточные связи.

3. Окончательный вывод. Заданная РС геометрически неизменяемая, с простой структурой с двумя лишними связями, т.е. статически неопределимая.