Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Поскольку мы совместили направление оси X с направлением первой главной оси скорости деформации, ось У с направлением второй главной оси и ось Z с направлением третьей главной оси

скорости деформации, то кх — ех; гу = е2; е2 = е3. Следовательно, подставляя выражения (1.45) главных компо­

нентов скорости деформации в равенства (1.43), получим

Если удовлетворено не только первое, но и второе условие монотонности протекания деформации тела, то v не зависит от t, и равенства (1.46) можно проинтегрировать. В результате интегри­

или, поскольку в начальный момент деформации текущие коорди­ наты любой материальной точки равны ее начальным координатам, и следовательно, в силу равенств (1.44):

При принятых нами направлениях координатных осей функ­ циональная связь текущих координат с начальными в окрестно­ сти материальной точки М определяется равенствами (1.44), в силу которых уравнение эллипсоида, преобразованного дефор­ мацией из начальной элементарной сферы с центром в точке М, принимает вид

Полуоси этого эллипсоида определятся равенствами: р х =

= Pofi (t); р2 = р</2 (0; Рз = Р«/з (0-

Таким образом, равенства (1.47) можно привести к следую­

части тела логарифмы отношений полуосей эллипсоида (преобра­ зованного из начальной элементарной сферы) к радиусу этой сферы пропорциональны главным компонентам скорости дефор­ мации.

8.Степень конечной деформации

иее главные компоненты

Впрактике расч< та процессов холодной обработки давлением термины «степень деформации» и «степень наклепа» до самого последнего времени не имели научно обоснованного определения. Поэтому разные авторы зачастую вычисляли значения этих вели­ чин, пользуясь разными формулами.

Вработе [31 ] А. А. Ильюшин предложил приписывать поня­ тию степень деформации et конкретный смысл определенной ска­ лярной характеристики деформации, чем и заполнил указанный пробел в современной теории конечной (значительной) деформа­ ции физических тел. Он рекомендовал называть степенью дефор­ мации такую переменную величину, полная производная которой по времени равна интенсивности скорости деформации.

Здесь применено выражение «полная», а не «частная» производ­ ная по времени, поскольку речь идет об отношении приращения интенсивности результативной деформации к соответствующему приращению времени в данной материальной, а не в данной гео­

мации в данной материальной точке и -^f- dt — в данной геоме­ трической точке.

В чем же состоит различие этих двух обозначений? Допустим, что переменная по объему деформируемого тела и времени степень деформации задана в виде функции текущих координат и времени

Тогда приращение степени деформации в геометрической точке (х, у, z) за короткий промежуток времени dt определилось бы равенством

^ d t = F{x,y,z, t + d t)- F (x , у, г, t) = -^-dt.

Однако совпадающая в данный момент t с геометрической точ­ кой (х, у, г) материальная точка успеет по прошествии малого промежутка времени dt несколько переместиться и будет совпадать уже с некоторой другой, хотя и близкой, геометрической точкой,

в материальной точке, заданной для данного момента ее текущими координатами (х, у, z), определилось бы равенством