Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Впервой строке этой матрицы помещаются проекции на три координатные оси вектора напряжения, соответствующего поло­ жительному направлению оси ОХ. Во второй строке приводятся проекции на те же оси вектора напряжения, соответствующего положительному направлению оси ОУ. В третьей строке — проек­ ции вектора напряжения, соответствующего положительному направлению оси OZ.

Впервом столбце матрицы располагаются проекции на ось ОХ трех векторов напряжения, соответствующих положительным на-

Рис. 8. Схема сил, приложенных к элементарному объему

правлениям трех взаимно перпендикулярных координатных осей. Проекции эти, естественно, считаются положительными, если они совпадают с положительным направлением оси ОХ, и отрицатель­ ными в противном случае. Во втором столбце располагаются про­ екции тех же трех векторов на ось ОУ, а в третьем — на ось 0Z.

В каждый момент процесса деформации любому малому объему (расположенному в рассматриваемый момент времени в пределах габаритов тела) соответствует определенное напряженное состоя­ ние, которое может быть задано матрицей, составленной из девяти численных значений ее компонентов. Эти значения не зависят от геометрической формы данной малой (по сравнению с объемом всего тела) частицы объема, однако в общем случае они зависят от расположения этой частицы в рассматриваемом теле.

Если бы оказалось, что значения всех компонентов напряжен­ ного состояния одинаковы во всех частях тела, то это означало бы, что его напряженное состояние однородно по всему объему. На практике обычно имеет место неоднородное напряженное состоя­

ние деформируемых тел, но, как правило, весь объем тела можно мысленно разделить на достаточно большое число малых частиц так, чтобы в пределах одной частицы напряженное состояние было бы приближенно однородным. Во всяком случае, всегда весь объем деформируемого тела можно разделить на достаточно боль­ шое число малых частиц так, чтобы суммарный объем всех тех частиц, в пределах которых напряженное состояние нельзя счи­ тать однородным, был сколь угодно мал.

Если в данный момент времени некоторая геометрическая точка расположена внутри тела, то всегда можно мысленно выде­ лить такую малую частицу произвольной формы, которая вклю­ чала бы эту точку и в пределах которой напряженное состояние было бы однородным. Допустим, что такая частица имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Эта частица должна находиться в равновесии под действием сил, приложенных к ее граничной поверхности, поскольку силами инерции и массы мы пренебре­ гаем. Сумма проекций на любое направление всех сил, действую­ щих на граничную поверхность частицы, должна быть равна нулю. Тем не менее равновесие такой частицы не имело бы места, если бы все девять чисел матрицы (2.1) были бы выбраны произ­ вольно.

В самом деле, как легко убедиться из элементарного построе­ ния (рис. 8), на такую частицу могли бы действовать вращающие силовые моменты.

При произвольных значениях чисел матрицы (2.1) на рассма­ триваемую частицу действовали бы вращающие моменты:

Мг = xXbbybzbx — ту1ЬхЬгЬу\ Мх = тугЬгЬхЬу — хгуЬуЬхЬг\

Му= х!Xbxôybz — ххгЬгЬуЬх.

Поскольку частица должна находиться в равновесии, эти моменты должны быть равны нулю, а все девять чисел матрицы (2.1) не могут быть произвольными и должны удовлетворять усло­ виям: тху — хух\ хуг = хгу; хгх = ххг. Это значит, что напряжен­ ное состояние определяется не девятью, а только шестью компо­ нентами и может быть задано матрицей вида:

(2.2)

Вектор напряжения на произвольно направленной площадке всегда можно определить из условия равновесия некоторой мы­ сленно выделенной частицы напряженного тела, ограниченной элементом этой площадки и тремя гранями, параллельными коор­ динатным плоскостям.

11.Уравнения равновесия

Вобщем случае все шесть компонентов напряженного состоя­ ния переменны по объему деформируемого тела. Тем не менее закон изменения шести компонентов напряженного состояния непроизволен, и переменные значения этих компонентов должны удовлетворять некоторой системе дифференциальных уравнений, которую называют системой уравнений равновесия. Выведем эти уравнения. Выделим из объема деформируемого тела некоторую

Рис. 9. Напряженное состояние элементарного объема

частицу с геометрическим центром в точке М, в которой известны значения . всех шести компонентов напряженного состояния (рис. 9). Допустим также, что эта частица имеет форму прямоуголь­ ного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям, и что она относительно мала, но все же не настолько, чтобы в пределах ее объема напряженное состояние можно было бы счи­ тать однородным.

Пусть Ьх, Ьу, Ôz — длины ребер рассматриваемого паралле­ лепипеда. Пусть компоненты напряженного состояния переменны по объему тела и могут быть заданы как непрерывные функции от координат любой геометрической точки в теле и, в частности, точки М. В таком случае в геометрическом центре той грани параллелепипеда, внешняя нормаль к которой совпадает с поло­ жительным направлением оси ОХ, компоненты напряженного

координаты материальных точек (т. е. переменные Эйлера). Эти координаты для напряженного состояния тела являются прямо­ угольными координатами (декартовыми).

Уравнения равновесия в этих координатах имеют простой вид (2.3), такой же, что и в теории малых пластических деформаций. Поэтому при выводе выражений компонентов конечной деформации

впредшествующей главе нам пришлось принимать за независимые аргументы текущие или окончательные координаты материальных точек, а не их исходные координаты, как это обычно принималось

втрудах авторов, занимавшихся вопросами конечной деформации.

Необходимо отметить, что при решении ряда задач практически оказывается неудобно определять геометрическое положение неко­ торой точки в деформируемом напряженном теле ее прямоуголь­ ными (декартовыми) координатами, поскольку имеется возможность путем перехода к криволинейной ортогональной системе координат привести задачу трехмерную (пространственную) к задаче дву­ мерной.

Характерным примером является использование так называе­ мой цилиндрической системы координат при изучении осесим­ метричного напряженного состояния некоторого физического тела.

Мы будем говорить, что используем цилиндрическую систему координат в том случае, если будем определять геометрическое положение любой точки М в деформируемом напряженном теле не тремя ее прямоугольными координатами, т. е. не расстояниями ее до координатных плоскостей, а следующими тремя величинами:

1) расстоянием r = \fx * + y 2 от рассматриваемой точки М до координатной оси OZ; 2) углом 0, образуемым некоторой плоско­ стью, проведенной через точку М и ось 0Z, с координатной пло­ скостью XOZ-, 3) расстоянием г точки М до плоскости XOY.

Величины г, 0, г называют цилиндрическими координатами точки М. Понятно, что цилиндрические координаты определяют геометрическое положение любой точки М, поскольку, зная их, легко вычислить ее прямоугольные координаты: х = г cos 0;

у = г sin 0; г — г.

Если выделить в деформируемом теле частицу, внутри которой располагается точка М, ограниченную поверхностями постоянных значений цилиндрических координат, то окажется, что грани такой частицы пересекаются друг с другом под прямыми углами (это и означает, что цилиндрическая система координат является ортогональной координатной системой). Если обозначить гм, 0м* zM— цилиндрические координаты точки М, то гранями такой мысленно выделенной частицы будут следующие.

1. Две плоские площадки постоянных значений координаты 0:

2. Две параллельные плоские площадки постоянных значений координаты г: г = zM+ ôz/2, z — z„ — ôz/2;