Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

точек одной из деталей рабочего инструмента, а именно гибоч­ ного пуансона I (рис. 2). Ось OY совмещена с направлением движения пуансона, а ось OZ (перпендикулярная чертежу) совме­ щена с линией центра кривизны рабочей цилиндрической поверх­ ности пуансона. Понятно, что ось ОХ должна быть перпенди­ кулярна осям OY и 0Z и, так как пуансон не деформируется,

она также будет неизменно совмещена с одной и той же совокупностью материаль­ ных элементов пуансона.

Изгибаемый лист в своем исходном положении Па еще не деформирован: обе его по­ верхности совпадают с пло­ скостями, >. параллельными плоскости OXZ условно-не­ подвижной системы коорди­ нат. Координаты исходного положения (до деформации) некоторой произвольно вы­ бранной в листе материаль­ ной точки относительно при­ нятой координатной системы

точка М будет перемещаться. Координаты этой точки отно­ сительно принятой нами ус­ ловно-неподвижной коорди­ натной системы в рассматри­ ваемой стадии процесса из­ гиба Пб обозначим малыми

буквами х, у, z и назовем текущими координатами. В механике сплошных сред эти величины называют переменными Эйлера.

Вместе с тем и самому деформируемому телу могут принадле­ жать две какие-либо совокупности материальных точек, которые неизменно располагаются на двух взаимно перпендикулярных прямых. Они могут быть приняты нами при изучении деформации какой-либо отдельно взятой части тела за систему прямоуголь­ ных координат, определяемую направлениями этих двух прямых и третьим направлением, им обоим перпендикулярным. В отличие от условно-неподвижной, назовем эту систему прямоугольных координат — переносной (подвижной).

Так, при изучении деформации в окрестности материальной точки С, расположенной на поверхности изгибаемого листа (см. рис. 2), одна из осей переносной координатной системы могла

быть совмещена с нормалью к поверхности, восстановленной из точки С (ось CY'). Вторая ось СХ' должна быть при этом направ­ лена по касательной к сечению поверхности листа плоскостью, перпендикулярной ребру изгиба. Исходные координаты точки М относительно переносной системы координат Х'СУ' обозначены на рисунке большими буквами X', У', а текущие координаты этой точки — малыми буквами х', у'.

Итак, любая материальная точка деформируемого тела, коор­ динаты которой в исходном состоянии этого тела были X, Y, Z, после деформации примет некоторое новое положение относи­ тельно выбранной координатной системы (условно-неподвижной или переносной). При этом координаты рассматриваемой точки примут новые значения х, у, z, которые мы называем текущими координатами.

Принимая во внимание,’ что процесс деформации происходит во времени, полагаем, что текущие координаты суть координаты геометрической точки, с которой совмещается в данный момент рассматриваемая нами материальная точка.

Понятие о текущих координатах по существу тождественно понятию о переменных Эйлера в механике сплошных сред, а по­ нятие о начальных координатах может быть отождествлено с по­ нятием о переменных Лагранжа. Любому заданному положению материальной точки в теле до деформации соответствует вполне определенное положение ее в деформируемом теле в данной ста­ дии процесса его деформации.

Следовательно, любой совокупности значений исходных коор­ динат X, У, Z (удовлетворяющих неравенствам, ограничивающим начальные габариты данного тела) в данный момент времени (например, в конечный момент протекания деформации) соответ­ ствует вполне определенная совокупность значений текущих координат х, у, z.

Таким образом, должна существовать однозначная функцио­ нальная зависимость текущих координат от координат начальных

г= ф8(Х, У, Z, t).

Всвою очередь, каждая материальная точка в деформируемом теле имеет определенное положение до деформации, и, следова­ тельно, исходные координаты зависят функционально от текущих координат и времени:

где х, у, г ограничены некоторыми неравенствами, определя­ ющими форму поверхности деформируемого тела в данный момент времени t.

Функциональные зависимости (1.1) и (1.2) не независимы. Во-первых, зависимости эти взаимно однозначны в определенных границах изменения своих аргументов. Во-вторых, в результате подстановки выражений (1.2) в равенства (1.1) мы должны полу­ чить тождества. В-третьих, функции эти непрерывны и имеют ко­ нечные значения частных производных по своим аргументам, если мы имеем в виду изучение деформации, не сопровождающейся разрушением. При отсутствии разрушения, т. е. нарушения сплошности, две материальные точки, которые были расположены до деформации на малом расстоянии друг от друга, и в деформиро­ ванном теле окажутся также на малом расстоянии друг от друга, хотя и отличном от первоначального.

При этом отношение расстояния между заданной парой сосед­ них материальных точек в деформированном теле к первоначаль­ ному между ними расстоянию, будучи в общем случае отличным от единицы, все же должно быть конечным (не бесконечно боль­ шим и не бесконечно малым). В частном случае малых деформа­ ций отношение это предполагается отличающимся от единицы на величину, малую по сравнению с единицей, во всяком случае достаточно малую, чтобы в пределах требуемой точности можно было пренебречь ее квадратом.

3. Малая деформация

Деформацию называют малой, если предполагается практи­ чески безразличным, отнести ли приращение расстояния I—/0 между заданной парой материальных точек к первоначальному расстоянию /ф между ними или же к значению / этого расстояния после деформации.

Это значит, что можно написать приближенное равенство

l - h - J - h

h

Так, если мы рассчитываем на получение размеров деформи­ руемого тела с точностью до 1%, то можем считать малой де­

формацию в том случае, когда относительное приращение расстоя­ ния между любой парой материальных точек не превосходит при­ мерно 10%, т. е.

- Ц ^ < 0 ,1 0 и ( i z ^ ) 2 < o ,o i « 1 % ) .

Если же мы претендуем на большую точность, например хотим вычислить размеры деформируемого тела с точностью до 0,2%, то приходится считать малой деформацию в том случае, когда изменения расстояний между соседними материальными точками не превышают 4%, т. е.

Выберем в некоторой частице деформируемого тела на пря­ мой заданного направления две материальные точки М и М и расположенные друг от друга на небольшом расстоянии /, и до­ пустим, что до деформации расстояние между этими точками было /0. В зависимости от выбранного направления величина относительной деформации

будет меняться. Заметим, что если рассматриваемая частица формоизменяемого тела претерпевает за счет деформации только малые относительные изменения линейных размеров в любом направлении, то и угловые размеры такой частицы могут только незначительно меняться.

Пусть направление прямой, соединяющей в деформируемом теле материальные точки М и М х, задано косинусами углов, составляемых этим направлением с осями принятой (условно­ неподвижной) системы координат, и пусть апх, апу, ап2 — эти косинусы. В таком случае при значениях х, у, г текущих коорди­