Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Для того чтобы в этом убедиться, выделим мысленно в рас­ сматриваемом теле в его исходном, еще не деформированном, состоянии в окрестности заданной материальной точки М не­ которую малую частицу, в пределах которой можно считать де­ формацию однородной. Форму этой частицы выберем так, чтобы можно было написать уравнение ее поверхности вне зависимости от ориентации осей выбранной нами координатной системы.

Такому условию может удовлетворить только частица сфе­ рической формы. Пусть р0 — малый радиус мысленно выделен­ ной нами сферы. Начальные координаты материальных точек, расположенных на поверхности такой частицы, должны удовле­ творять уравнению

В деформированном теле в рассматриваемой стадии его де­ формации текущие координаты материальной точки М опреде­ лятся равенствами:

Перемещения произвольной материальной точки (х, у, г), расположенной в окрестности точки М, определятся равен­ ствами:

Следовательно, начальные координаты точки (х, у, г) должны быть:

-- § - ( * - 4 ) ;

-l £ ( x - x » ) - - ^ - ( У - У ы) ~

(z — *-)•

В силу этих равенств и равенств (1.9) получим после преобразо­ ваний:

X - X „ = ( x - x M)(l - * £ ) - ( у - у ы) * Ь - ( г - г ы) - ?£-;

Z - Z „ = - (x - x M) - ^ - - ( y - y M) - ^ + ( z - z u)( 1

( 1. 10)

Мы получили выражения (1.10) начальных координат (X, Y, Z) произвольной материальной точки в окрестности заданной ма­ териальной точки М в зависимости от ее текущих координат (z, у> z).

Подставляя выражения (1.10) в левую часть равенства (1.8), получим уравнение геометрического места материальных точек в деформируемом теле, располагавшихся до деформации на по­ верхности сферы малого радиуса р0. Это уравнение, после неко­ торых преобразований и отбрасывания пренебрежимо малых слагаемых можно привести к следующему виду:

парой материальных точек, расположенных на одной из главных

Обозначим р длину вектора, соединяющего центр эллипсоида (1.11) с произвольной точкой на его поверхности. Пусть ос*, ау, <*г — направляющие косинусы этого вектора. Тогда составля­ ющие вектора, т. е. разности х — хм, у — у„ и z — zM, опреде­ лятся равенствами:

х — хи= рос*; у — уы = (Kty, z — z„ = рос*.

При этих обозначениях, принимая во внимание равенства (1.7), приводим равенство (1.11) к виду

Главным осям эллипсоида соответствуют экстремальные (мини­ мальные или максимальные) значения левой части равенства (1.12) при условии

Определение этих экстремальных значений приводит к решению следующей системы алгебраических уравнений:

на аг, затем сложим почленно полученные три равенства и примем во внимание равенства (1.12) и (1.13). В результате мы убедимся,

что А, = ро/р2, т. е. равняется одному из экстремальных значений этого отношения.

Замечаем, что при малой деформации с точностью до малых

величин высшего порядка ро/р2 = 1—2ет , где еот = (р — р0)/Ро — искомое экстремальное относительное изменение расстояний между материальными точками, расположенными на главной оси эллип­ соида (1.11), и приводим систему уравнений (1.14) к общеизвест­ ному виду:

Условие совместности этих трех равенств приводит к куби­ ческому уравнению относительно неизвестной гт

(ех* em) {&уу ет) (ezz ®т) — (едсдг — ет) "J'YÿZ

— (е„„ — ет) ^ у** — (е22 — ет) -j-Yw + - | Y*»Yi«Y» = 0. (1.16)

Три корня этого уравнения, т. е. три возможных значения ет , удовлетворяющие уравнению (1.16), называют г л а в н ы м и к о м п о н е н т а м и м а л о й д е ф о р м а ц и и рассматри­ ваемой частицы тела (т. е. материальной частицы тела, располо­ женной в окрестности материальной точки М) и обозначают elt е2, е3, полагая

^ 82 ^ 83. (1.17)

При малой деформации главными компонентами называют относительную деформацию в! наиболее удлинившегося матери­ ального волокна частицы, е3 наиболее укоротившегося ее волокна

ие2 в направлении, перпендикулярном данным двум. Значения главных компонентов малой деформации всегда

можно вычислить, если известны значения шести компонентов этой деформации относительно принятой координатной системы. Для этого следует сначала определить три величины, которые так же, как и главные компоненты, зависят только от изменения формы частицы и не зависят от ее ориентации и называются тремя инвариантами деформации.

Первым инвариантом деформации называется относительное изменение объема частицы

где W, Wо — соответственно объем и исходный объем данной частицы в деформированном состоянии тела. Эта величина выра­ жается в зависимости от значения компонентов деформации из­ вестными в теории пластичности равенствами;

Вторым инвариантом деформации называется ее интенсив­ ность г{, которая количественно характеризует степень изменения формы рассматриваемой частицы и выражается в зависимости от компонентов деформации: