Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

переменны по объему деформируемого тела, т. е. различны для различных его материальных точек, не только удаленных друг от друга, но и соседних, расположенных в пределах некоторой достаточно малой части или частицы тела, деформацию которой

Zx = Z + l*nz - 1( 4g- a„, + *L ) .

Когда изменения формы всего тела малы, то условно-непо­ движная система координат может быть выбрана так, чтобы со­ ставляющие их, иу, и2 вектора перемещения любой материальной точки были малы по сравнению с размерами самого тела, а про­ изводные этих составляющих по координатам были малы по сравнению с единицей.

В таком случае, определяя выражение квадрата исходного расстояния между точками М и М х и пользуясь при этом равен­ ствами (1.5) можно пренебречь квадратами малых величин и по­

ИЛИ

Значение относительного удлинения е„ определяется в зави­ симости от производных перемещений по координатам равенством

(1.6)

Пользуясь этим-равенством, можно вычислить относительные удлинения (или укорочения) различно направленных волокон рассматриваемой частицы деформируемого тела. Так, если вы­ бранное направление оси ОХ параллельно принятой условно-

Малую деформацию любой данной частицы тела можно опре­ делить значением шести величин:

Выражения (1.7) называют компонентами малой деформации по отношению к принятой системе координат. Выражения ехх, еуу, е22 служат мерой относительных изменений за счет деформа­ ции длин отрезков, соединяющих пару материальных точек рас­ сматриваемой частицы, в том случае, когда эти отрезки направ­ лены параллельно (или приближенно параллельно) координатным осям. Эти выражения положительны, если точки удаляются друг от друга и отрицательны, если приближаются.

Выражения уху, ууг и угх служат мерой изменения углов между двумя параллельными отрезками, соединяющими пары материальных точек рассматриваемой частицы, в том случае, когда эти два отрезка совпадают (точно или приближенно) с двумя прямыми, параллельными двум координатным осям.

Поясним сказанное на простейших примерах. Разделим мыс­ ленно деформируемое тело на мелкие кубики плоскостями, про­ веденными на равных друг от друга расстояниях параллельно координатным плоскостям. Предположим при этом, что размеры каждого отдельного кубика достаточно малы, чтобы можно было

полагать такой кубик целиком расположенным внутри некоторой части тела (или частицы), деформация которой в пределах прак­ тической точности однородна. В таком случае все параллельные ребра кубика и его параллельные грани должны были быть друг другу параллельны и до деформации.

рассматриваемой частицы в направлении оси ОХ зависит от координаты х не нуль^. Итак, если точка А переместилась

за счет деформации в направлении оси ОХ на величину их1, то точка Б должна была переместиться на другую величину, а именно на величину

. ди*

UX2= Uxi -j gj- й .

Начальные координаты материальной точки А (т. е. координаты

аа= Х л- Х 1 = а - ^ - а ^ о ( 1 - ^ ) .

Относительное удлинение материального отрезка АБ, направлен­

[см. (1.7)].

Переходя ко второму частному случаю, допустим, что пере­ мещения материальных точек рассматриваемой частицы (внутри которой расположился выделенный нами в деформированном теле кубик) в направлении оси OZ не зависят от координат х и у, т. е.

В таком случае грань выделенного нами кубика, параллельная плоскости X0Y, и до деформации должна была быть параллель­ ной той же координатной плоскости.

Посмотрим, как изменилась бы форма контура такой грани, если предположить, что составляющая перемещения в направле­ нии оси ОХ не зависит от координаты х, а составляющая переме­ щения в направлении оси ОУ не зависит от координаты у.

Пусть хг, у и гх — текущие координаты (рис. 4) материальной точки А в деформированном теле. Координаты точек Б, В, Г

ной точки А. До деформации эта точка занимала положение гео­ метрической точки А о, определяемой начальными координатами

~ x i — ихи К х = Ух — иух", Zx — Zx — и,|.