ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.02.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 1
тов n,(i= 1, 2, 3,...), зависящая, вообще говоря, от времени и простран ственных координат. Каждый тип дефекта представляет собой элемент процесса разрушения [1].являясь составной частьюактивной кинетической системы,которую образует рассматриваемое твердое тело.Втакой системе ее элементы обладают способностью к рождению,уничтожению,перераспре
делению и переносу в пространстве. Сучетом этих процессов уравнения эволюции для концентраций дефектов вплоть до третьего порядка по их
плотностям могут быть записаны в следующем виде (см., например, [6]):
—^ = Л0/+ oiijU+$ijknjnk + 4ijicinjnkni+ - \щ п ~~ |
Kuni I ♦ |
||
06 |
отm\ |
отп |
) |
(1)* Здесь деформация е(г, t) взята в виде скалярной величины. При записи в тензорной форме, когда вместо е следует использовать est, соответствую
щие индексы появятся у коэффициентов уравнений (например, коэффи
циент OLfj примет вид оф. Индексы /,/, к,I пробегают значения от 1доМ - максимального числа типов различных дефектов, принимающих участие в процессе разрушения, а индексы s, t (m,n) - значения 1—3- по числу
пространственных координат.
Форма записи уравнений эволюции в представленном виде (1) предпо лагает отсутствие у коэффициентов уравнения и плотностей л,- явной зави симости от времени. Это важное положение объясняется тем обстоятель- 'ством, что концентрация дефектов сама по себе во времени не меняется,
азависит от состояния материала,изменяясь вместе с ним.
Вкачестве характеристики, однозначно соответствующей состоянию материала, следуя [6], принята деформация тела е=е(г, t), так что кон центрация дефектов варьируется во времени только вместе с деформацией,
т.е. Л/=Л/(г, e(f)). Врамках такого подхода возникает необходимость в ещ одном уравнении, устанавливающем связь деформации с внешним
воздействием и параметрами материала. Вобщем виде оно выглядит сле дующим образом:
де |
(2) |
— =Ф(л/,д,о,Г), |
где о —напряжение, которое, как и деформацию, следует считать тензо |
||
ром ast. |
(2), исходную систему уравнений |
(1) можно переписать |
Используя |
||
в следующем виде: |
|
|
Эл, |
Г |
(3) |
— = Ф(льа,а,Г)|Л0|. + аип, +$цкп}пк + |
||
*Обоснование вывода уравнений типа (1) на основе кинетических уравнений для функции распределения в фазовом пространстве приведено, например, в рабо тах [7,8].
140
При этом даннуюсистему уравнений можно свести к обычному виду, используемому в континуальной теории дефектов [9],если переименовать коэффициенты, например, hoiФЛ01- и т.д. Пусть концентрации дефектов щпронумерованы в соответствии с возрастанием уровня сложности де фектной структуры материала, связанной с вовлечением в процесс новых, более высокого уровня типов дефектов. Возможность такого разделения уровней определяется свойством /-го типа дефектов включаться в процесс разрушения при превышении деформацией е соответствующего крити
ческого значения е'кр. Критерием выполнения требуемого порядка нумера
ции является выполнение условия |
При этом ста |
дийность процесса заключается в том, что при достижении деформацией очередного критического значения теряетсяустойчивостьсоответствующего квазистационарного состояния и происходит экспоненциально быстрое нарастание в общем случае всех элементов процесса разрушения,имеющих более низкие критические значения деформации,чем рассматриваемое.
Для более подробного анализа стадийности процесса разрушения рас смотрим q-e квазистационарное состояние, которое возникает, когда возбуждены q первых элементов процесса разрушения. Стационарное значение концентрации п( в состоянии q-го перехода обозначим че
рез Nj4}Значение этих величин определяется из решения системы урав
нений,в которых |
= 0 при I >q: |
|
А0(+ в^«)+Р(/*ЛГ/»,ЛГ^) т#«л/’ОД,Ч<’,+ |
(4) |
|
3 f тп bNj |
= 0. |
|
|
|
|
Следует отметить, что Nf4*не обязательно >n£u\ где и <q. Характер
изменения n£4^ с увеличением q определяется соотношениями между коэффициентами а, (3, 7,А, т.е. между скоростями генерации и регенерации в уравнении (1). Равенство в соотношении (4) возможно в том случае, если во всех предшествующих нарушениях квазистационарного состояния не происходило возбуждения л-го элемента,т.е. его возмущение плотности
равно нулю приданных изменениях квазистационарных состояний.
Как отмечалось, переход от одного состояния к другому происходит
в том случае,когда деформация превышает значение е —пороговое для дестабилизации существующего квазистационарного состояния и возбуждения плотностей элементов процесса разрушения вплоть до q+1. Вэтом случае нарастание возмущений плотностей 5л,- (1 </ + 1) проис ходит экспоненциально быстро. Линеаризуя исходные уравнения по малым отклонениям от квазистационарных значений, когда плотность дефектов представима в виде
л,= Л^+1) + бл,-, |
(5) |
и записывая возмущение плотности в виде |
(6) |
бл/= бл/сехр 1- \t + /кгJ , |
получим в предположении малости длины волны возмущений по сравнению с минимальным масштабом неоднородности L, а значит, и с характерным
141
размером пространственного изменения плотностей в квазистационарных
состояниях NiQ\kL > 1) следующее дисперсионное уравнение, устанавли вающее связь между Xи волновым числом к:
det Ц/+ |
+ |
+ |
(7) |
|
+ yiWNiq)NFUymlNi')N^-l% nkmkn+ikmKtl 1= 0, |
|
|||
где |
= Ф(М/9*, а, а,t). |
|
|
|
Следует отметить, что в общем случае величины {Хр}, где р = 1, 2, ...,М являются комплексными. Это означает наличие волнового процесса рас пространения возмущений концентрации дефектов. Определяя из (2.7) инкременты нарастания плотности Хр = ReXp как функцию волнового
числа к, можно найти значение к^х,для которого Х'р принимает макси
мальное значение. Величина 1/АгЙх Дает пространственный масштаб наибо лее быстро распространяющихся возмущений, играющих важную роль в установлении нового квазистационарного состояния. Равенство нулю
инкремента определяет пороговое значение |
которое является реше |
нием уравнения |
(8) |
Хр = 0. |
Зависимость от деформации скрыта в явной связи с ней коэффициентов уравнения (7). Не останавливаясь на подробном анализе системы (1), в том числе на методах ее редукции [10, 11], изучим на конкретном при мере особенности поведения материала в процессе его деформирования и разрушения.
Анализ стадийности процессов разрушения в трехуровневой системе. Рассмотрим процесс разрушения как последовательность переходов между квазистационарными состояниями, характеризующихся дефектами раз личного уровня, выделив при этом, к примеру, три основных элемента разрушения: 1- подвижные (активные) дислокации, 2 —"сидячие” (маг лоподвижные) дислокации, 3 - микротрещины. Обозначим их элементы через dx, d2, р соответственно. Используя методы исследования активных кинетических систем [4] и исходя из имеющихся экспериментальных дан
ных |
[2,12], |
запишем следующие наиболее общие реакции |
(основные |
|
их типы) между рассматриваемыми элементами разрушения: |
|
|||
|
di —*-►di + di, |
(9) |
||
di+ dx-^+ d2 + d2, |
(10) |
|||
d, + di — |
-)r->0, |
(11) |
||
(12) |
||||
|
di |
^ |
dlt |
(13) |
di + |
|
p, |
(14) |
|
J |
j P |
|
|
(15) |
d\ + d2 —*■p, |
||||
|
p—^p+di. |
(16) |
||
142
Реакция (9) соответствует процессу размножения подвижных дислока ций путем двойного поперечного скольжения,а также характеризует работу источников типа Франка-Рида, реакция (10) - превращениюдвух подвиж ных дислокаций в две ’’сидячие” (образование петель Lommer-Cottrell), реакции (11) и (12) - аннигиляции дислокаций, а реакция (13) - атермической активации (срыву) ’’сидячих” дислокаций [13]. Реакции (14) и (15) определяют процессы образования микротрещин [14], например, по механизму Котрелла (как результат взаимодействия двух’плоских скоплений дислокаций) или по механизму Стро [2], причем обратная реакция (14) соответствует схлопываниюмикротрещин с образованием дислокаций, а реакция (16) характеризует эмиссиюдислокаций трещиной.
Рассмотренные реакции хорош изучены и обоснованы как экспери ментально, так и теоретически. Хотя предложенная система является доста точно упрощенной и не включает многие другие типы реакций, однако основные черты процессов деформирования и разрушения она позволит продемонстрировать.
Следует также отметить, что данная схема аналогична системам с автока тализом, когда исходный элемент разрушения (в нашем случае активные дислокации) в процессе цепной генерации и регенерации, проходя через сериюпревращений, индуцирует появление самого себя. Поставим эле ментам в соответствие их плотности пх, п2, и3. Последовательность смены состояний материала происходит с ростом деформации е следующим об разом: при превышении деформацией некоторого порогового значения
начинается экспоненциально быстрый рост плотности подвижных
(активных) дислокаций пх, заканчивающийся за счет действия нелиней ных механизмов установлением квазистационарного состояния. Это со стояние сохраняется до тех пор, пока величина деформации не превышает значение , критическое для дестабилизации данного состояния и харак теризующееся быстрым ростом плотности ’’сидячих” дислокаций л2.
Врезультате устанавливается новое квазистационарное состояние, со храняющееся вплоть до значения деформации е^, при достижении кото рого начинается процесс резкого увеличения плотности микротрещин и3и соответственно устанавливается очередное квазистационарное состоя ние. Этой схеме соответствует следующая система нелинейных дифферен циальных уравнений:
— =и10 +к1п11п\ - п хп2 +к2п2+ (кэ +Аг4)л3 +Фь Эе
Эя2 |
\iln\- гп\П2к2п2 + Ф2, |
|
э7 |
|
(17) |
— = vln\ - къпг +trnxn2+ *э, |
||
Эе |
|
Эи,- Jfyw J ®//>К22 =^зэ = 0>i>/~ |
|
Эг |
|
где kSJ Р,/х,/, |
г - скоростиреакции (s = 1,2,3,4),/)^ - коэффициент ’’диф |
|
фузии”, Kjj —коэффициент, в котором может быть учтено либо течение,
143