Файл: Синергетика и усталостное разрушение металлов..pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.02.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

либо также упругое взаимодействие между дефектами, пхо - параметр, характеризующий процессы генерации дефектов (играющих основную роль в деформации), например, дислокаций в местах концентрации напряже­

ний (тройные стыки зерен, их границы, включения и т. д.), Детальное рассмотрение этих явлений необходимо проводить с использованием пред­ ставлений о сильно возбужденных состояниях в кристалле [1,15].

Особенностьюсистемы уравнений (17) является то, что кинетика про­ цесса рассматривается в представлении, когда в понятие ’’времени” вложен вполне определенный физический смысл. При этом деформация однознач­ но определяет состояние материала в данный момент времени. Рассмотре­ ние кинетики процесса по мере изменения деформации предполагает введе­ ние дополнительного уравнения, связывающего деформацию и время. Вобщем виде это уравнение можно записать в виде (2), Его конкретный вид в данном случае не важен, однако необходимо учитывать, что функ­

ция Ф(л/,о,о,г) должна быть более медленно изменяющейся во времени по сравнениюс правой частьюуравнения (1) или (17). Необходимо также отметить, что форма записи (1) и (17) уменьшает число степеней свободы в данных системах и,кроме того,исключает необходимость записи в явном виде уравнений типа (2).

Замыкая уравнением (2) предложенную систему (17), продемонстри­ руем особенности предлагаемого подхода. Используя общее соотноше­ ние (3),запишем (17) в болееудобном виде:

— Лю +kxtix1п\ -гпхп2 + к2п2 + (к3 +Л4)п3 + Ф11 • Ф, bt

Ъп%

(18)

— = {ц1п\ - гпхп2 —к2п2 - Ф21Ф.

bt

 

— = {vln\ - к3п3 + trnxn2 + Ф31Ф.

На начальном этапе процесса разрушения при достижении критического уровня деформации концентрация активных дислокаций пх растет экспоненциально. Этот рост прекращается либо за счет действия нелиней­ ных механизмов, либо за счет выноса элементов разрушения из области неустойчивости (конвективный и диффузионный члены уравнения (18)).

Стабилизация произойдет на уровне М1*. величина которого в условиях преобладающего действия нелинейного механизма определяется соглас­ но (4) и (18) из уравнения

-М}1}2 + kxNil>+ пхо +

= 0.

 

Полагая также Ф/^ч = 0,получим

 

 

^ ,)=F I*1+vt‘+4,n„]'

 

(19)

Представляя плотность дислокаций »i в виде

=N(l*+*«j, под-

ставляя ее в (18) и линеаризуя полученное уравнение, в результате соглас­ но (7) имеем дисперсионное уравнение первого уровня, связывающее

144


инкремент нарастания плотности дефектов Лс волновым числом к:

 

Ы- |(*. - 2W/‘>)-*’/>, +/ЛА, I Ф„(,> *0.

(20)

При дальнейшем увеличении деформации квазистационарное состояние, характеризуемое значением jVf1,сохраняется до тех пор,пока значе­

ние деформации не превышает значения еЩпорогового для развития

неустойчивости относительно экспоненциального роста ’’сидячих” дислока­ ций. При этом стабилизация осуществляется на уровнях TVf2*и Щ1^, для которых согласно (4) получим следующуюсистему уравнений:

«10

-ш р?-rN^Nl') +k2N$'> =0,

 

lilNp)1

-кгК}‘} = 0,

 

из которой,полагая для простоты в (14) к2 =0,имеем

 

М3)= *

. U, +зДТ+4и1„/(1+д)'|,

 

2/(1 +ц)

(22)

Л2(,) =nlNi2>fr.

 

Представляя плотность активных и ’’сидячих” дислокаций вблизиквазистационаряого решения в виде пi =N$2^ + $ni, n2=N^ + $и2>получим следующие линеаризованные уравнения относительно возмущений &п1и Ьп2:

^ 1=*N<.*)Nl')\(kl -2lNi2) -rNil))*nx-rNi2)6n2+*№SnA ,

at

-~ * W )

1(2Mlrt2) -тЛ^°)6Л1 -rNphm + *A‘)+S„l| .

Выбрав решение в виде (6), получим согласно (7) дисперсионное урав­

нение,соответствующее второму уровню:

 

 

0/Флг<2М> >)2+

+D2)+ikKj +

 

+ кг -г^^-КМ^+М0)] +[-(^2 +гМ2))(-Л2£>1+ikKl +

+кх- 2Wp>- /Д#>) +rN?)(2m/^{2}- гЛ/{а})] = 0.

(24)

Вобщем случае имеются два корня уравнения (24). Деформация яв­ ляется параметром, направляющим процесс разрушения. Следует отме­ тить, что данным параметром может быть любой другой физический пара­ метр или группа параметров |£/}, определяющих процессы, которые из­

меняют свойства материала так, что при достижении своего порогового

значения

осуществляется запуск неустойчивости относительно экспо­

ненциального роста соответствующего элемента разрушения. После пре­ вышения третьего критического значения деформации происходит переход на следующий этап развития, сопровождающийся резким увели­ чением плотности микротрещин пъ. Стабилизация происходит на уровнях

Nf3\ N$2),

для определения которых согласно (4) можно запи-

10.Зек. 1067

145


сать следующие уравнения:

 

л10 + fciM3) -

- rN[3)Nl2) + (къ +*4)^ J) = О,

 

цш{3)2 - М?Щ2) = О,

(25)

vlN\3) -

М^° + trNi3)Ni2) = О.

 

Решение системы (25) выглядит следующим образом:

 

(3)

+alv)± \!(кх+alv)2 -4n10l [n(at- 1)- if

(26)

Nl =

 

2l[ti(at—1)—1]

 

 

N?}= iilN\3)lr,

N?}=(IN?)tki)(v + tuN?})> гдед = 1+(k4{k3).

Полагая плотностидефектовввиде л! = TVj3^ + 8п1г п2 = N?2^ + 6л2, п3= N?} + 5лз, получим следующую линеаризованную систему уравне­ ний относительно возмущений плотностей блi,бл2,6л3:

— = Фw<•>Wl<2>w<,}к*1 - 2W,(3)-r/kf >)5и, - dVp’fiii, +

+(*э +fc4)5«3 +

+s»,l •

 

 

 

M.)|(2l.W,(3)-rA'P»)5«1-гЛГ<3)6Яз

 

Э5л3=

 

 

(27)

)Nu)((гглур*+mv2<2))an2 +?м'р)ги2 -*3^°5л3+

9f

 

 

 

Выбрав решение системы уравнений (27) в виде

(6), получим дис­

персионное уравнение третьего уровня

 

(28)

Xs + S*2 + ГХ +р = 0,

 

где s, г,р определяются из условия (7) для системы (27):

 

\ -k*Dt+ikK1+fc,- 2IN®-rN, - гЛ^,

 

 

 

'k-k'D^-rN®}

0

=0,

 

trN®,

K-k'Ds-k,

 

где X= Х/Ф^(з )nG)дг(з) .

 

 

Вобщем случае имеется одно вещественное идва комплексно-сопряжен­ ных корня характеристического уравнения (28). Квазистационарное сос­ тояние, реализующееся в данных условиях, будет характеризоваться нали­ чием неоднородных скоплений дефектов (в том числе и микротрещин),

из которых способна образоваться

магистральная

трещина. Условие, при

котором Re}X/q)} в уравнениях

(20), (24), (28) становится равным

нулю,определяет пороговое значениедеформации е

.

146


Не вдаваясь в подробный анализ полученных уравнений, следует отме­ тить, что квазистационарные значения плотностей дефектов одного типа уменьшаются по мере увеличения уровня сложностидефектнойструктуры. Это достаточно четко видно из формул (19), (22) и (26) на примере

плотностей активных дислокаций

, однако характерно и для других

типов дефектов.

 

Количественное исследование некоторых частных случаев (отдельных уровней) систем уравнений типа (17) проведено в работах [13, 16, 17], где рассмотрены различные динамические режимы, в том числе рас­ считаны параметры автоколебаний [16, 17], характерные типы дисло­ кационных структур (ячеистая, лабиринтная, веноподобная, полосовая и т.д.) [18, 19], а также проанализированы динамические структуры типа странного аттрактора [20]. Поэтому отметим лишь качественные особен­ ности полученных решений.

Иерархия квазистационарных состояний, реализующихся в данных условиях, возникает в результате вовлечения в процессе все новых, более высоких уровненийдефектности структуры.Учет конвективныхслагаемых в уравнениях (17) (диффузии, течения, а в общем случае и упругого взаимодействия между элементами разрушения) приводит к возникнове­ ниюпериодических по волновому числу к возмущений плотностей элемен­ тов разрушения, характеризующихся наличием неоднородного их распреде­ ления по объему материала. При этом каждому кваэистационарному состоянию соответствует свой тип распределения с определенным масшта­ бом неоднородности 1/fcmox> гДе кmax ~ максимально возможное волно­ вое число, соответствующее данному кваэистационарному состоянию (данному уровню дефектности),реализующемуся придостижении крити­ ческого значения деформации е(я)

Кроме того, данные слагаемые могут приводить к тому, что инкремент нарастания плотностей элементов разрушения становится мнимой вели­ чиной, т.е.1т{\е)Ф 0,что говорит в возможности протекания в материале процессов волновой природы, например волн плотностей дефектов (типа волн Белоусова-Жаботинского в химической кинетике [11]). На приме­ ре простейшей трехуровневой модели продемонстрированы особенности стадийности процесса пластической деформации и разрушения материала под внешним силовым воздействием. Однако смена квазистационарного состояния может произойти и без вовлечения в процесс новых типов де­ фектов, на неизменном уровне сложности дефектной структуры, если существует несколько возможных квазистационарных состояний, напри­ мер, при наличии в исходных уравнениях кубической нелинейности (взаимодействия между отдельными дислокациями и дислокационными диполями), особенно на более высоких уровнях. Пример подобного рас­

смотрения приведен ниже.

Овозможности смены квазистационарных состояний при неизменном уровнесложностидефектнойструктуры.Усложнениедефектной структуры материалов, т.е. появление новых типов элементов разрушения в процессе эволюции состояния материала, не является единственной причиной смены

ееквазистационарных состояний.

Другой такой причиной может быть переход из одного квазистационар­

ного состояния в другое, энергетически более выгодное, в случае, когда 147


рассматриваемому уровню сложности дефектной структуры отвечают несколько комбинаций стационарных значений концентраций дефектов.

Рассмотрим это явление на примере только одного типа дефекта - микротрещин, применив для этого статистико-термодинамический под­ ход, который дает возможность получить феноменологические уравнения с некоторым числом экспериментально определяемых констант для опи­

сания процесса разрушения. Сэтой цельюпредставим часть свободной энергии, зависящую от дефектности структуры, в форме разложения Ландау [21] по параметру плотности микротрещин 0. Следует отметить, что параметр плотности микротрещин является тензорной величиной [22], что необходимо учитывать путем введения соответствующих индексов, в том числе и в коэффициентах разложения. Такой подход обычно при­ меняется в теории фазовых переходов, к которым относится и измене­ ние0 при структурных изменениях в процессе деформации.

Для одноосного действия внешних сил представим свободную энергию F(e,0) в виде следующего разложения постепеням параметра 0:

F(e,0) = F0(e)+ае0 + \b02 + j c03+-^d04,

(29)

где F0 (е ) - часть свободной энергии, описывающая поведение материала в отсутствие повреждений (упругая деформация),a, b,с, d—феноменоло­ гические коэффициенты,зависящие от температуры Т.

Вравновесном состоянии свободная энергия, как известно [21], ми­ нимальна,так что условие

9F/30 = 0

(30)

позволяет определить связь между коэффициентами a, b,c,d,при которых реализуется устойчивое состояние для фиксированных значений ей Т.

Предполагая, что в равновесном состоянии слагаемые в (29), ответствен­

ные за фазовый переход, не участвуют в формировании структуры, полу­ чим,во-первых,уравнение,связывающее коэффициенты Ъи с

J 4#

=0,

(31)

а во-вторых,следующее простое выражениедля свободной энергии:

F = F„ + еДО, + 7

^ £ •

(32)

4

е2

 

Здесь символ 0е - значение плотности микротрещин 0 в равновесном состоянии. Коэффициент d0 связан с d соотношением d - d0/e2, обеспе­ чивающим явный вид квадратичного по деформации значения энергии

при небольших деформациях, При этом условие дF/d0= 0

приводит к

соотношению

 

do

,

(33)

ае +—

/3? = °.

Из требования минимальности свободной энергии b2F(Ъ02 >0 вытекает условие d > 0, а поскольку 0е,по определению, положительная величина,

то из (33) следует, что а < 0, т.е., вводя новое обозначение А = - а, где 148