ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.02.2024
Просмотров: 183
Скачиваний: 1
либо также упругое взаимодействие между дефектами, пхо - параметр, характеризующий процессы генерации дефектов (играющих основную роль в деформации), например, дислокаций в местах концентрации напряже
ний (тройные стыки зерен, их границы, включения и т. д.), Детальное рассмотрение этих явлений необходимо проводить с использованием пред ставлений о сильно возбужденных состояниях в кристалле [1,15].
Особенностьюсистемы уравнений (17) является то, что кинетика про цесса рассматривается в представлении, когда в понятие ’’времени” вложен вполне определенный физический смысл. При этом деформация однознач но определяет состояние материала в данный момент времени. Рассмотре ние кинетики процесса по мере изменения деформации предполагает введе ние дополнительного уравнения, связывающего деформацию и время. Вобщем виде это уравнение можно записать в виде (2), Его конкретный вид в данном случае не важен, однако необходимо учитывать, что функ
ция Ф(л/,о,о,г) должна быть более медленно изменяющейся во времени по сравнениюс правой частьюуравнения (1) или (17). Необходимо также отметить, что форма записи (1) и (17) уменьшает число степеней свободы в данных системах и,кроме того,исключает необходимость записи в явном виде уравнений типа (2).
Замыкая уравнением (2) предложенную систему (17), продемонстри руем особенности предлагаемого подхода. Используя общее соотноше ние (3),запишем (17) в болееудобном виде:
— Лю +kxtix1п\ -гпхп2 + к2п2 + (к3 +Л4)п3 + Ф11 • Ф, bt
Ъп% |
(18) |
— = {ц1п\ - гпхп2 —к2п2 - Ф21Ф. |
|
bt |
|
— = {vln\ - к3п3 + trnxn2 + Ф31Ф.
На начальном этапе процесса разрушения при достижении критического уровня деформации концентрация активных дислокаций пх растет экспоненциально. Этот рост прекращается либо за счет действия нелиней ных механизмов, либо за счет выноса элементов разрушения из области неустойчивости (конвективный и диффузионный члены уравнения (18)).
Стабилизация произойдет на уровне М1*. величина которого в условиях преобладающего действия нелинейного механизма определяется соглас но (4) и (18) из уравнения
-М}1}2 + kxNil>+ пхо + |
= 0. |
|
Полагая также Ф/^ч = 0,получим |
|
|
^ ,)=F I*1+vt‘+4,n„]' |
|
(19) |
Представляя плотность дислокаций »i в виде |
=N(l*+*«j, под- |
|
ставляя ее в (18) и линеаризуя полученное уравнение, в результате соглас но (7) имеем дисперсионное уравнение первого уровня, связывающее
144
инкремент нарастания плотности дефектов Лс волновым числом к: |
|
Ы- |(*. - 2W/‘>)-*’/>, +/ЛА, I Ф„(,> *0. |
(20) |
При дальнейшем увеличении деформации квазистационарное состояние, характеризуемое значением jVf1,сохраняется до тех пор,пока значе
ние деформации не превышает значения еЩпорогового для развития
неустойчивости относительно экспоненциального роста ’’сидячих” дислока ций. При этом стабилизация осуществляется на уровнях TVf2*и Щ1^, для которых согласно (4) получим следующуюсистему уравнений:
«10 |
-ш р?-rN^Nl') +k2N$'> =0, |
|
|
lilNp)1 |
-кгК}‘} = 0, |
|
|
из которой,полагая для простоты в (14) к2 =0,имеем |
|
||
М3)= * |
. U, +зДТ+4и1„/(1+д)'|, |
|
|
2/(1 +ц) |
(22) |
||
Л2(,) =nlNi2>fr. |
|||
|
|||
Представляя плотность активных и ’’сидячих” дислокаций вблизиквазистационаряого решения в виде пi =N$2^ + $ni, n2=N^ + $и2>получим следующие линеаризованные уравнения относительно возмущений &п1и Ьп2:
^ 1=*N<.*)Nl')\(kl -2lNi2) -rNil))*nx-rNi2)6n2+*№SnA , |
|
at |
■ |
-~ * W ) |
1(2Mlrt2) -тЛ^°)6Л1 -rNphm + *A‘)+S„l| . |
Выбрав решение в виде (6), получим согласно (7) дисперсионное урав
нение,соответствующее второму уровню: |
|
|
0/Флг<2М> >)2+ |
+D2)+ikKj + |
|
+ кг -г^^-КМ^+М0)] +[-(^2 +гМ2))(-Л2£>1+ikKl + |
||
+кх- 2Wp>- /Д#>) +rN?)(2m/^{2}- гЛ/{а})] = 0. |
(24) |
|
Вобщем случае имеются два корня уравнения (24). Деформация яв ляется параметром, направляющим процесс разрушения. Следует отме тить, что данным параметром может быть любой другой физический пара метр или группа параметров |£/}, определяющих процессы, которые из
меняют свойства материала так, что при достижении своего порогового |
|
значения |
осуществляется запуск неустойчивости относительно экспо |
ненциального роста соответствующего элемента разрушения. После пре вышения третьего критического значения деформации происходит переход на следующий этап развития, сопровождающийся резким увели чением плотности микротрещин пъ. Стабилизация происходит на уровнях
Nf3\ N$2), |
для определения которых согласно (4) можно запи- |
10.Зек. 1067 |
145 |
сать следующие уравнения: |
|
||
л10 + fciM3) - |
- rN[3)Nl2) + (къ +*4)^ J) = О, |
|
|
цш{3)2 - М?Щ2) = О, |
(25) |
||
vlN\3) - |
М^° + trNi3)Ni2) = О. |
|
|
Решение системы (25) выглядит следующим образом: |
|
||
(3) |
+alv)± \!(кх+alv)2 -4n10l [n(at- 1)- if |
(26) |
|
Nl = |
|
2l[ti(at—1)—1] |
|
|
|
||
N?}= iilN\3)lr,
N?}=(IN?)tki)(v + tuN?})> гдед = 1+(k4{k3).
Полагая плотностидефектовввиде л! = TVj3^ + 8п1г п2 = N?2^ + 6л2, п3= N?} + 5лз, получим следующую линеаризованную систему уравне ний относительно возмущений плотностей блi,бл2,6л3:
— = Фw<•>Wl<2>w<,}к*1 - 2W,(3)-r/kf >)5и, - dVp’fiii, +
+(*э +fc4)5«3 + |
+s»,l • |
|
|
|
M.)|(2l.W,(3)-rA'P»)5«1-гЛГ<3)6Яз |
|
|
Э5л3= |
|
|
(27) |
)Nu)((гглур*+mv2<2))an2 +?м'р)ги2 -*3^°5л3+ |
|||
9f |
|
|
|
Выбрав решение системы уравнений (27) в виде |
(6), получим дис |
||
персионное уравнение третьего уровня |
|
(28) |
|
Xs + S*2 + ГХ +р = 0, |
|
||
где s, г,р определяются из условия (7) для системы (27): |
|
||
\ -k*Dt+ikK1+fc,- 2IN®-rN, - гЛ^, |
|
|
|
|
'k-k'D^-rN®} |
0 |
=0, |
|
trN®, |
K-k'Ds-k, |
|
где X= Х/Ф^(з )nG)дг(з) . |
|
|
|
Вобщем случае имеется одно вещественное идва комплексно-сопряжен ных корня характеристического уравнения (28). Квазистационарное сос тояние, реализующееся в данных условиях, будет характеризоваться нали чием неоднородных скоплений дефектов (в том числе и микротрещин),
из которых способна образоваться |
магистральная |
трещина. Условие, при |
котором Re}X/q)} в уравнениях |
(20), (24), (28) становится равным |
|
нулю,определяет пороговое значениедеформации е |
. |
|
146
Не вдаваясь в подробный анализ полученных уравнений, следует отме тить, что квазистационарные значения плотностей дефектов одного типа уменьшаются по мере увеличения уровня сложностидефектнойструктуры. Это достаточно четко видно из формул (19), (22) и (26) на примере
плотностей активных дислокаций |
, однако характерно и для других |
типов дефектов. |
|
Количественное исследование некоторых частных случаев (отдельных уровней) систем уравнений типа (17) проведено в работах [13, 16, 17], где рассмотрены различные динамические режимы, в том числе рас считаны параметры автоколебаний [16, 17], характерные типы дисло кационных структур (ячеистая, лабиринтная, веноподобная, полосовая и т.д.) [18, 19], а также проанализированы динамические структуры типа странного аттрактора [20]. Поэтому отметим лишь качественные особен ности полученных решений.
Иерархия квазистационарных состояний, реализующихся в данных условиях, возникает в результате вовлечения в процессе все новых, более высоких уровненийдефектности структуры.Учет конвективныхслагаемых в уравнениях (17) (диффузии, течения, а в общем случае и упругого взаимодействия между элементами разрушения) приводит к возникнове ниюпериодических по волновому числу к возмущений плотностей элемен тов разрушения, характеризующихся наличием неоднородного их распреде ления по объему материала. При этом каждому кваэистационарному состоянию соответствует свой тип распределения с определенным масшта бом неоднородности 1/fcmox> гДе кmax ~ максимально возможное волно вое число, соответствующее данному кваэистационарному состоянию (данному уровню дефектности),реализующемуся придостижении крити ческого значения деформации е(я)
Кроме того, данные слагаемые могут приводить к тому, что инкремент нарастания плотностей элементов разрушения становится мнимой вели чиной, т.е.1т{\е)Ф 0,что говорит в возможности протекания в материале процессов волновой природы, например волн плотностей дефектов (типа волн Белоусова-Жаботинского в химической кинетике [11]). На приме ре простейшей трехуровневой модели продемонстрированы особенности стадийности процесса пластической деформации и разрушения материала под внешним силовым воздействием. Однако смена квазистационарного состояния может произойти и без вовлечения в процесс новых типов де фектов, на неизменном уровне сложности дефектной структуры, если существует несколько возможных квазистационарных состояний, напри мер, при наличии в исходных уравнениях кубической нелинейности (взаимодействия между отдельными дислокациями и дислокационными диполями), особенно на более высоких уровнях. Пример подобного рас
смотрения приведен ниже.
Овозможности смены квазистационарных состояний при неизменном уровнесложностидефектнойструктуры.Усложнениедефектной структуры материалов, т.е. появление новых типов элементов разрушения в процессе эволюции состояния материала, не является единственной причиной смены
ееквазистационарных состояний.
Другой такой причиной может быть переход из одного квазистационар
ного состояния в другое, энергетически более выгодное, в случае, когда 147
рассматриваемому уровню сложности дефектной структуры отвечают несколько комбинаций стационарных значений концентраций дефектов.
Рассмотрим это явление на примере только одного типа дефекта - микротрещин, применив для этого статистико-термодинамический под ход, который дает возможность получить феноменологические уравнения с некоторым числом экспериментально определяемых констант для опи
сания процесса разрушения. Сэтой цельюпредставим часть свободной энергии, зависящую от дефектности структуры, в форме разложения Ландау [21] по параметру плотности микротрещин 0. Следует отметить, что параметр плотности микротрещин является тензорной величиной [22], что необходимо учитывать путем введения соответствующих индексов, в том числе и в коэффициентах разложения. Такой подход обычно при меняется в теории фазовых переходов, к которым относится и измене ние0 при структурных изменениях в процессе деформации.
Для одноосного действия внешних сил представим свободную энергию F(e,0) в виде следующего разложения постепеням параметра 0:
F(e,0) = F0(e)+ае0 + \b02 + j c03+-^d04, |
(29) |
где F0 (е ) - часть свободной энергии, описывающая поведение материала в отсутствие повреждений (упругая деформация),a, b,с, d—феноменоло гические коэффициенты,зависящие от температуры Т.
Вравновесном состоянии свободная энергия, как известно [21], ми нимальна,так что условие
9F/30 = 0 |
(30) |
позволяет определить связь между коэффициентами a, b,c,d,при которых реализуется устойчивое состояние для фиксированных значений ей Т.
Предполагая, что в равновесном состоянии слагаемые в (29), ответствен
ные за фазовый переход, не участвуют в формировании структуры, полу чим,во-первых,уравнение,связывающее коэффициенты Ъи с
J 4# |
=0, |
(31) |
а во-вторых,следующее простое выражениедля свободной энергии:
F = F„ + еДО, + 7 |
^ £ • |
(32) |
4 |
е2 |
|
Здесь символ 0е - значение плотности микротрещин 0 в равновесном состоянии. Коэффициент d0 связан с d соотношением d - d0/e2, обеспе чивающим явный вид квадратичного по деформации значения энергии
при небольших деформациях, При этом условие дF/d0= 0 |
приводит к |
|
соотношению |
|
|
do |
, |
(33) |
ае +— |
/3? = °. |
|
Из требования минимальности свободной энергии b2F(Ъ02 >0 вытекает условие d > 0, а поскольку 0е,по определению, положительная величина,
то из (33) следует, что а < 0, т.е., вводя новое обозначение А = - а, где 148