Файл: Синергетика и усталостное разрушение металлов..pdf

циальной энергии "пробного атома” в момент времени t. Если атомы взаимодействуют между собой посредством п частичных потенциалов Vn (т1гг2...г„), то потенциальный рельеф м(г, г) связан с ними равен­

положениям атомов [г* (Г)} в данный момент времени.

Поскольку мы интересуемся макроскопическим поведением системы атомов,то в соответствии с изменениемнабора ихкоординат{Г/ (Г)}мож­ но разбить величину и (г, Г) на две части. Первая из них U(г) меняется на макроскопических временах, намного превышающих дебаевское т,.

Вторая часть и (г,г) быстро флуктуирует за времена t < ту. Если при сла­ бом возбуждении системы Т, о< Ттос этими флуктуациями можно пре­ небречь, то при Т, а ~ Ттос имеем 17/(г)| /г, t) и детерминирован­

ное описание системы атомов теряет смысл. При этом становится воз­ можным только макроскопическое представление величин, усредненных на отрезке времени . Следуя [14], полагаем, что выполняются ус­ ловия применимости эргодической гипотезы и от средних по времени можно перейти к средним по ансамблю[[/(г)} нефлуктуирующих по­ тенциальных рельефов. Согласно [14, 32], в стационарном состоянии распределение по этому ансамблюзадается функционалом

где V\IT(t)\ —синергетический потенциал, параметр Q задается интен­

сивностьюфлуктуацийи (г,t).

Параметр перестройки вязкоупругого поведения среды задается

где SU(г) = f/(r)-( U(г)>,угловые скобки —усреднение по распределе­ нию (12). Вслучае 0(г) = 0 потенциальный рельеф <С/(г) >случайным

образом флуктуирует около среднего значения <С/(г) >с характерным

отклонением |ы(г, f)| ~y/QTf. При ф(г) Ф0 распределение U(г) коге­ рентным образом перестраивается на макроскопических расстояних. В пределе возможны два типа такой перестройки: 1)с изменением внеш­

них условий дисперсия <(и(г, f))2>меняется слабо, тогда как вид са­ мой зависимости и(г, Г) —существенно, например, уменьшаются харак­ терные значения ее амплитуды и кривизны; 2) среднее значение <м(г, О

почти не меняется, но растет дисперсия <(и(г, г)2). Первый случай от­ вечает изменению упругих свойств среды, например размягчению мо­ дулей, величина которых пропорциональна кривизне рельефа. Расширение

ансамбля рельефов fu(г,t) I до значений <(iT(r,f))2 >~<u(r, f)">2 во вто­

206

ром случае означает переход к безактивационному перемещению ато­ мов,характерномудля текучего состояния.

На рис. 2 представлена схема, иллюстрирующая даннуюкартину пе­ рестройки рельефа. Нетрудно заметить, что обеим указанным ситуациям отвечает разрыв межатомных связей.

В рамках представленной схемы параметризация вязкоупругой сре­ ды достигается использованием пространственно-временных зависимос­ тей параметра среды ф(г, t), играющего роль параметра порядка в обыч­

ной схеме фазовых превращений, и упругой составляющей скорости те­ чения среды и(г, г), представляющей пространственные компоненты векторного потенциала калибровочного поля, сопряженного с парамет­ ром ф (14). Используя стандартную теоретико-полевую схему, для ука­ занных зависимостей в стационарном случае получаем уравнение

где величины ф, v отнесены к своим максимальным значениям, расстоя­ ния измерены в единицах длины X,f - корреляционная длина,указываю­ щая масштаб изменения величины ф(т) в пространстве.

Всоответствии с качественной картиной, изложенной выше, в отсут­ ствие перестройки среды (ф= 0) уравнение (146) дает тривиальное ре­

ношением величин Xи f. Вхрупких материалах, к которым относится большинство используемых в практических приложениях, глубина про­

представленные на рис. 3. Они отвечают сосредоточенным в одной крис­ таллографической плоскости дискообразным областям, обладающим центральным провалом параметра порядка ф в радиусе ~£. Всвоюоче­ редь, каждая такая область погружена в гораздо больший участок ра­ диусом ~ X, в котором локализовано пластическое течение кристалла. Поскольку уменьшение параметра ф(т) означает ослабление межатом­ ных связей, а область пластического течения всегда локализована вблизи очага разрушения [1—5], то естественно идентифицировать найденное решение как элементарный носитель хрупкого разрушения. Имея в виду, нарушение межатомных связей, назовем такое образование фрустроном.

Для материалов, удовлетворяющих условию X> ?, область сущест­ вования фрустронов отвечает внешним нагрузкам о, заключенным меж­ ду значениями

(15)

где критическое значение ас определено в параграфе 1 (см., например,

207

Рис.2. Схемятичныйвидпотенциального рельефав различныхслучаях упруговяэкой среды

а —идеально упругий кристалл: 1—мягкий, 2 —жесткий; б - текучая среда

Рис.3. Радиальное распределение потенциального рельефа (а), параметра его пере­ стройкин полятечения (5)и модельфрустрона (в)

Рис.4.Схемацепочечного объединения фрустронов

[5]). При а < aCi фрустроны нестабильны, в случае а> oCi они слива­ ются в гомогенную ’’фазу”,т.е.происходит разрушение.

Разумеется, в реальном кристалле фрустроны не являются единст­ венными носителями процесса разрушения. Всвязи с тем что они хоро­ шо выражены как таковые лишь в хрупких телах, где велико отноше­ ние определяемое сдвиговой вязкостью jj, фрустронный меха­

низм превалирует при хрупком или квазихрупком разрушении. При этом следует иметь в виду, что действие данного механизма важно толь­ ко на микроскопическом уровне, где также следует учитывать наличие

208

объединяются попарно, затем с той же вероятностью пары ооразуют чет­ верки и тд. (рис.4).

Нетрудно видеть, что если при образовании TV-кластера, реализующем­ ся в случае небольших tj, малость отношения Ppf/Pi ~Р\ связана с пе­ ремножением единичных вероятностей Рх, то цепочечный процесс харак­ теризуется их суперпозицией и дает гораздо большее значениеР^/Рх Это приводит к изменениюкинетики процесса разрушения: если вероят­

ность отсутствия за время t флуктуационного образования TV-кластера характеризуется дебаевской зависимостью P1(f)~exp(—Т/г0), где г0 - микроскопическое время, то для соизмеримости отвечающего ему вре­ мени зарождения кластера tN= —То\пР„ ~TVlnPf1 с характерным вре­ менем цепочечного процесса ~t0/Pn требуется положить, что кинетика последнего задается совершенно отличной от дебаевской зависимостью Pn{t) ~ T0lt. Использование фрактальной теории позволит полу­ чить этот результат и его обобщения последовательным образом.

Для количественного описания эволюции ансамбля фрустронов вве­ дем гипотетическую координату х, значения которой отвечаю различ­ ным кластерам фрустронов в течение времени t. Как следует из рис, 4, в рамках предложенной схемы объединение (удвоение) кластеров про­ исходит в дискретные моменты времени tj, интервалы At/ = t/—t/_i между которыми увеличиваются. Будем характеризовать кластеры в промежутке At/ набором координат \Х/\. Тогда каждый элементар­ ный акт удвоения задается отображением x/+l = f (х/) координаты X/ в xy+i, причем, как видно на рис. 4, обратное ему X/ = / _1(ху+1) явля­ ется неоднозначным. По аналогии с теорией турбулентности [25, 34] аппроксимируем данное отображение зависимостью

характеризуемой единственным параметром. Его нижнее критическое значение Ах, отвечающее образованию самого крупного кластера, опре­ деляется условиями X/ =f(x/), dx/+l/dx/-l, взятыми в момент обра­ зования этого кластера.Используя (16),получаем Ах=314.

Для определения следующих значений параметра Апроведем отобра­ жение (16) дважды. Нетрудно видеть [34, 35], что с точностьюдо квад­ ратичных членов по х/ получающемуся отображениюxJ+2 =/ (х/) можно придать вид (16),если провести масштабное преобразование

Неподвижные точки этих отображений отвечаю объединению 2й клас­

210