Файл: Синергетика и усталостное разрушение металлов..pdf

Простота и универсальность полученных решений (18), (20) являют­ ся отражением автомодельности поведения системы кластеров, нагляд­

ным образом представленной на рис. 4 соответствующим ’’деревом Кей­ ли”. Такое ’’дерево” представляет геометрический образ гипотетического пространства с ультраметрической топологией.

Приведенное рассмотрение простейшего сценария попарного объеди­ нения ансамбля кластеров показывает, что его эволюция наиболее адек­

ватно представляется не в реальном физическом пространстве, а в ультраметрическом. Разумеется, реальный процесс цепочечной кластеризации может протекать не так просто, как это показано на рис. 4. Вчастности, не исключена возможность одновременного объединения не двух, а про­ извольного числа т кластеров, при этом в соответствующей точке ’’де­

рева Кейли” ветвимость равна не 2, а т. Кроме того, точки бифуркаций на разных ветвях ’’дерева” не обязаны сгруппировываться по вертика­ ли tt = const,какэто показано на рис.4.

Наконец, в действительности процесс кластеризации протекает в соот­ ветствии не с одним определенным ’’деревом Кейли”, а вероятным об­

стве задается наименьшим числом бифуркаций на ’’дереве Кейли”, при­ водящих к слиянию двух точек, между которыми измеряется е. Как вид­ но на рис. 4, величина е пропорциональна числу шагов п. Врамках пред­ ложенной картины все характерные параметры процесса эволюции системы фрустронов становятся функциями расстояния е. Так, элемен­ тарный акт слияния кластеров характеризуется дебаевской зависимостью

'Ре (f)= ехр Ы/т (е)]

схарактерным временем т(е) = т0 exp [Q(e)/T\,

где т0 - микроскопическое время, Q(e) - высота барьера для флуктуационного объединения кластеров, разделенных расстоянием е, Т —тем­

пература в энергетических единицах. Тогда, принимая, что процесс клас­ теризации распределен по ансамблю ’’деревьев Кейли” в соответствии с законом w(e), / w(e)de = 1, для вероятности отсутствия усталостного

разрушения за время получаем

Первая из характеристик, задающих величину P(t) (плотность веро­ ятности w(e) события, отвечающего е = 0, влияет на кластеризацию при данном е),определяет характер иерархической соподчиненности в ансамб­ ле кластеров. Сначала объединяются минимальные из них - фрустроны. Данный процесс требует преодоления минимального барьера Q(e )<^>К2^

ео(т£)”оо е€1е° = const. Затем в соответствии с числом гп объединяемых

211

кластеров и их величиной высота барьера, преодолеваемого системой в ходе ее эволюции, возрастает. При этом иерархическая соподчиненность

в конфигурационном пространстве состояний зависимость Q(x) имеет вид высокого и широкого максимума,преодолеваемого системой, на ко­

торый наложены более мелкие, последние, в своюочередь, обладают ещ

более мелкими и тд.

Входе своей эволюции система кластеров переваливает сначала через наименьшие барьеры, затем следующие по высоте - и так до тех пор,

пока не преодолеет самый большой.

Для использования равенства (21) следует задаться зависимостями и>(е), Q(e). Последовательное их определение приводит к отдельной задаче, решение которой сейчас отсутствует. Однако,,интересуясь асимп­ тотическим поведением в пределе t-+ 00, можно воспользоваться ма­ жорантами. Анализ ситуации показывает, что возможные случаи распре­ деления w(e) исчерпываются зависимостями

первая из которых присуща сильно-, а вторая слабоиерархическим си­ стемам (0<D< 1,<Е>0 - постоянные параметры).

Что касается вида зависимости 0(e), то она определяется равенством (20). Действительно, параметр Аотображения (18) может быть связан только с одной физической характеристикой процесса кластеризации —

высотой барьера Q. Полагая скейлинговую связь Q~ (Аоо~Ап)к, к - = const, с учетом того факта, что е<*>и,находим Q(e)**> exp(е/е0), е0 = = const. При к = 0 принимаем Q~ [In (А„ - Ап)]а, а = const и приходим

к другой аппроксимации (0(e)<^оеа. Врезультате получаются два вида зависимости высоты фрактального рельефа от ультраметрического рас­ стояния:

где Д —характерная высота.

Подставляя аппроксимации (22), (23) в исходное соотношение (21), методом перевала находим асимптотики, указанные в табл. 2, При сте­ пенном распределении wft(e), присущем сильноиерархическим системам, степенное нарастание рельефа Qp(e) дает медленную логарифмическую зависимость P(t), а экспоненциальное Qe - ещ более медленную, двой­ нуюлогарифмическую.

Соответственно при быстро спадающем экспоненциальном распреде­ лении wa(e), отвечающем слабоиерархическим системам, имеем, следо­

вательно, квазистепенное и логарифмическое спадание P(t). Характер­ но, что в любом из указанных случаев вероятность отсутствия разруше­ нияР (?) 1реализуется в течение характерного времени

Как и следовало, мы пришли к результату, характерному для кине­ тической теории (7).

212

УДК539.43.56:620.17

ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССА

УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХМАТЕРИАЛОВ ВТОЧКАХ БИФУРКАЦИЙ

О,И.Шишорина,В.И.Бурба,ИЖ Бунин

Как известно, процессы деформации и разрушения конструкционных материалов являются стадийными [1], хотя в макромасштабе это в боль­ шинстве случаев незаметно (здесь не имеются в виду явно выраженные случаи хрупкого разрушения). Например, зависимости длины трещины / от числациклов нагружения N (в условиях возрастающего КтйХцикла), а также зависимости вязкости разрушения для материалов данной толщи­ ны (Кс) от температуры испытаний [2,3].

Развитие техники исследований позволило выявить [4-7] некоторые стадии роста усталостной трещины. Совершенствование математических подходов к количественной оценке процессов деформации и разрушения конструкционных материалов облегчает выявление их стадийности [8].

Анализ ряда квазимонотонных процессов деформации и разрушения

Здесь А определяется значением функции в начале и в конце процесса:

А= / (0)/[/ (X)- /(0)]. Угловой коэффициент В в общем случае опреде­ ляется дробно-линейной функцией второго аргумента z. При переходе от (2) к прообразу с использованием (1) получаем дробно-линейную функцию

Анализ процесса деформации и разрушения при росте усталостной

где /,Nи /0> —соответственно текущие значения длинытрещины и числа циклов нагружения и их значения в начале процесса, позволяет придать линейный образ зависимости /= f(N) и представить ее в виде ломаной, состоящей из прямолинейных участков [8] (рис. 1).

215