Файл: Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия.pdf

Так как мы предполагаем, что ???? ̸= ???? и среди решений нет кратных кор- ней, то
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
= 0
Свойство доказано.
Свойство 2: амплитудные векторы линейно независимы.
Доказательство
Если амплитудные векторы линейно независимы, то их линейная комби- нация обращается в нулевой вектор только когда все коэффициенты ????
????
равны нулю:
????
1
−
→
????
1
+ . . . + ????
????
−
→
????
????
=
−
→
0
Покажем, что произвольно выбранный коэффициент ????
????
равен нулю. До- множим уравнение на −
→
????
????
????
???? слева:
????
1
−
→
????
????
????
????−
→
????
1
+ . . . + ????
????
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
+ . . . + ????
????
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
= 0
Из свойства 1 получаем:
????
????
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
⏟
⏞
>0
= 0
Так как мы предполагаем, что среди решений нет нулевых, то из послед- него уравнения ????
????
= 0. В силу произвольности выбора ????
????
, получаем, что амплитудные векторы линейно независимы по определению.
Свойство доказано.
По сути мы доказали, что общее решение уравнений Лагранжа вблизи положения равновесия косервативной системы имеют вид
−
→
???? (????) =
∑︁
????
????
−
→
????
????
sin(????
????
???? + ????
????
)
(1.1)
Так как амплитудный вектор характеризует взаимосвязь изменений обобщенных координат, то для нахождения амплитудных векторов мож- но воспользоваться симметрией системы.
31

Рассмотрим пример. Два одинаковых груза массы ????, связанных между собой и с неподвижными стенками пружинами жесткости ???? каждая, со- вершают малые колебания по гладкой горизоантальной направляющей.
Оба груза могут двигаться только по прямой, поэтому система имеет
2 степени свободы. Из симметрии системы легко увидеть 2 возможных движения системы:
1. оба груза всегда движутся в одном направлении, при этом центральная пружина неподвижна. Тогда
−
→
????
1
=
(︂1 1
)︂
2. Оба груза всегда движутся в противоположных направлениях, то есть когда центральная пружина сжата, крайние расжаты, и наоборот. При этом
−
→
????
2
=
(︂ 1
−1
)︂
Зная амплитудные векторы, собственные частоты находятся из уравне- ния частот. Отметим, что если известны все амплитудные векторы кроме одного, то его можно найти, пользуясь первым свойством амплитудных векторов.
Общее решение находится из (1.1).
1.8.3
Главные (нормальные) координаты. Случай крат- ных корней.
Выполним нормировку амплитудных векторов:
если
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
= ????
????
> 0,
то
−
→
????
????
→
−
→
????
????
√
????
????
Теперь свойство ????-ортогональности векторов (первое свойство ампли- тудных векторов) можно записать в виде
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
= ????
????????
=
{︃
1,
???? = ????
0,
???? ̸= ????
32

Рассмотрим преобразование
−
→
???? = ????
−
→
???? ,
???? = ||−
→
????
1
, . . . , −
→
????
????
||,
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
= ????
????????
Теперь в новом базисе с учетом ортогональности
???? =
1 2
˙
−
→
????
????
???? ˙
−
→
???? =
1 2
˙
−
→
????
????
????
????
????????
⏟
⏞
????
˙
−
→
????
Вековое уравнение
????−
→
????
????
− ????
????
????−
→
????
????
=
−
→
0
домножим слева на проивзвольный транспонированный амплитудный вектор, отличный от −
→
????
????
:
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
− ????
????
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
⏟
⏞
????
????????
=
−
→
0 ,
откуда
−
→
????
????
????
????−
→
????
????
= ????
????
????
????????
и
Π =
1 2
−
→
????
????
????−
→
???? =
1 2
−
→
????
????
????
????
????????
⏟
⏞
????????????????(????
1
,...,????
????
)
−
→
????
С учетом видов кинетической и потенциальной энергий в новом базисе,
уравнения Лагранжа примут вид
¨
????
????
+ ????
????
????
????
= 0,
???? = 1, . . . , ????,
где ????
????
— главные (нормальные) координаты.
Существует теорема линейной алгебры о приведении двух квадратич- ных форм, одна из которых положительно определена:
33

∃???? :
−
→
???? = ????
−
→
???? :
????
????
???????? = ????,
????
????
???????? = ????????????????(????
1
, . . . , ????
????
),
поэтому всегда возможен переход к нормальным координатам, в том чис- ле в случае кратных корней.
Отметим, что если есть нулевые корни, то решение уравнений Лагран- жа при использованном нами линейном приближении кинетической и потенциальной энергий не всегда корректно описывает поведение систе- мы.
1.9
Вынужденные колебания линейной ста- ционарной системы под действием гар- монических сил. Частотные характери- стики. Явление резонанса. Реакция ли- нейной стационарной системы на негар- моническое воздействие.
Пусть колебательная система подвержена действию внешней силы, за- висящей от времени. При этом до действия этой силы, считаем, что на систему, помимо потенциальных сил, действовали внешние силы
˜
−
→
???? , за- висящие от обобщенных скоростей. Тогда уравнения Лагранжа примут вид
???? ¨
−
→
???? + ????−
→
???? =
−
→
???? (????) +
˜
−
→
???? =
−
→
???? (????) − ???? ˙
−
→
???? ,
где
˜
−
→
???? = −???? ˙
−
→
???? — строго диссипативна. Действительно,
???? = − ˙
−
→
????
????
???? ˙
−
→
???? < 0,
поэтому положение равновесия −
→
???? =
−
→
0 в системе
???? ¨
−
→
???? + ???? ˙
−
→
???? + ????−
→
???? =
−
→
0 34

асимптотически устойчиво по обобщению теоремы Лагранжа-Дирихле на диссипативные системы. Здесь
???? = −
????
˜
−
→
????
???? ˙
−
→
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−
→
???? =
−
→
0
— матрица диссипативных сил.
Решение исходного уравнения ищут в виде
−
→
???? (????) =
−
→
????
0
(????)
⏟ ⏞ общее решение
+
−
→
????
*
(????)
⏟ ⏞ частное решение
Общее решение однородной системы −
→
????
0
(????) называют переходным про- цессом, так как из определения асимптотической устойчивости
−
→
????
0
(????)
????→∞
−−−→
−
→
0 ,
Будем далее рассматривать установившееся движение, не учитывая тем самым переходный процесс. При таком рассмотрении имеет место принцип суперпозиции: если
???? ¨
−
→
???? + ???? ˙
−
→
???? + ????−
→
???? =
−
→
????
1
(????),
−
→
????
1
(????) — решение,
???? ¨
−
→
???? + ???? ˙
−
→
???? + ????−
→
???? =
−
→
????
2
(????),
−
→
????
2
(????) — решение,
то для композиции этих движений
???? ¨
−
→
???? + ???? ˙
−
→
???? + ????−
→
???? = ????
1
−
→
????
1
(????) + ????
2
−
→
????
2
(????),
????
1
−
→
????
1
(????) + ????
2
−
→
????
2
(????) — решение
Рассмотрим гармоническое воздействие:
−
→
???? (????) = −
→
???? cos ????????. Подставим новое выражение для силы в уравнение движения и поставим уравнению движения в соответствие его комплексную форму:
???? ¨
−
→
???? + ???? ˙
−
→
???? + ????−
→
???? = −
→
???? cos ???????? → ????
¨
ˆ
−
→
???? + ????
˙ˆ
−
→
???? + ???? ˆ
−
→
???? = −
→
???? ????
????????????
=
= −
→
???? (cos ???????? + ???? sin ????????)
35

Из принципа суперпозиции непосредственно следует, что
−
→
???? (????) = Re ˆ
−
→
???? (????)
ˆ
−
→
???? (????) ищется в виде
ˆ
−
→
???? (????) =
−
→
ℎ ????
????????????
Теперь уравнение движения примет вид
(︀−????
2
???? + ???????????? + ????
)︀
⏟
⏞
????(????)
−
→
ℎ = −
→
????
Матрица ????(????) невырождена, так как характеристические корни всегда имеют действительную часть. Тогда
−
→
ℎ = ????
−1
(????)
⏟
⏞
???? (????)
−
→
????
ˆ
−
→
???? (????) = ???? (????)−
→
???? ????
????????????
ˆ
????
????
(????) =
∑︁
????
????????
(????)????
????
????
????????????
,
где
????
????????
(????) =
(−1)
????+????
∆
????????
det ????
,
— амплитудно-фазовая характеристика, показывающая отклик ????-ой координаты при возбуждени по ????-ой, где ∆
????????
— алгебраическое дополне- ние.
Преобразуем полученное решение:
ˆ
????
????
(????) =
∑︁
|????
????????
(????)|
⏟
⏞
????
????????
????
????
exp
⎛
⎜
⎝
????
⎛
⎜
⎝
???????? + arg ????
????????
(????)
⏟
⏞
????
????????
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
,
36

где ????
????????
и ????
????????
— соответственно амплитудно- и фазово-частотная ха- рактеристики.
Рассмотрим систему без диссипации:
???? ¨
−
→
???? + ????−
→
???? = −
→
???? cos ????????
В системе без диссипации нет переходного процесса, поэтому
−
→
???? (????) = −
→
????
*
(????)
Если воздействие периодическое, то удобно перейти к нормальным ко- ординатам
−
→
???? = ????
−
→
????
????
????
???????? = ????
????
????
???????? = Λ = ????????????????(????
2
????
)
????????
¨
−
→
???? + ????????
−
→
???? =
−
→
???? (????)
Домножим последнее уравнение на ????
????
слева:
¨
−
→
???? + Λ
−
→
???? = ????
????
−
→
???? (????),
где ????
????
−
→
???? (????) =
−
→
Θ (????) — обобщенная сила в нормальных координа- тах.
Если обобщенная сила периодическая и
¨
????
????
+ ????
2
????
????
????
= ????
????
cos ????????,
то частное решение ищется в виде
????
????
=
????
????
????
2
????
− ????
2
cos ????????,
???? ̸= ????
????
37

????
????
=
????
????
2????
????
???? sin ????
????
????,
???? = ????
????
Второй случай соответствует явлению резонанса, когда частота внеш- ней силы совпадает с одной из собственных частот системы. Из вида решения видно, что в случае резонанса, амплитуда колебаний по соот- ветствующей нормальной координате неограниченно растет, а по осталь- ным координатам будут наблюдаться гармонические колебания на часто- те вынуждающей силы. Поэтому амплитудно-частотная характеристика при гармоническом воздействии имеет разрывы второго рода на всех собственных частотах системы.

Глава 2
Уравнения Гамильтона,
вариационные принципы,
интегральные инварианты.
2.1
Основы Гамильтоновой механики.
2.1.1
Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона.
Канонические уравнения Гамильтона. Преобра- зование Лежандра уравнений Лагранжа в урав- нения Гамильтона.
Преобразование −
→
???? =
−
→
???? (−
→
???? ) называется потенциальным преобразо- ванием или преобразованием Лежандра, если у него существует по- тенциал, то есть
∃???? (−
→
???? ) :
−
→
???? (−
→
???? ) = ∇???? (−
→
???? )
Потенциал ???? (−
→
???? ) невырожден, если его гессиан не равен нулю:
det
⃦
⃦
⃦
⃦
????
2
????
????????
????
????????
????
⃦
⃦
⃦
⃦
̸= 0
Потенциал ???? (−
→
???? ) сильно невырожден, если исходное преобразование гладко и взаимно однозначно разрешимо в обратную сторону, то есть
39

∃−
→
???? : −
→
???? = −
→
???? (−
→
???? )
Теорема Донкина: если преобразование потенциально, то обратное преобразование также потенциально, его потенциал невырожден и за- дается формулой
???? (−
→
???? ) =
[︁∑︁
????
????
????
????
− ???? (−
→
???? )
]︁
−
→
???? =−
→
???? (−
→
???? )
Доказательство
Продифференцируем написанную формулу по ????
????
:
????????
????????
????
= ????
????
+
∑︁
????
????
????????
????
????????
????
−
∑︁
????????
????????
????
????????
????
????????
????
Но
−
→
???? =
−
→
???? (−
→
???? ) = ∇???? (−
→
???? ) ⇒
????????
????????
????
= ????
????
,
поэтому в продифференцированной формуле одинаковые слагаемые под знаками суммирования. Тогда
????????
????????
????
= ????
????
= ????
????
(−
→
???? ),
то есть преобразование −
→
???? = −
→
???? (−
→
???? ) потенциально.
Теорема доказана.
Выпишем уравнения Лагранжа для системы с потенциальными си- лами:
????
????????
????????
???? ˙
????
????
−
????????
????????
????
= 0
Введем понятие обобщенного импульса:
????
????
=
????????(−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????)
???? ˙
????
????
40