Файл: Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую.docx

Так как в последних столбца таблиц истинности все единицы, то тождественная истинность выражений доказана.
Задание 5. Проверить, не составляя таблицы истинности, являются ли следующие логические формулы тождественно ложными (противоречиями).
1. 2.

3. 4.

5.
Решение:

1.

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда оба слагаемых истины. Следовательно,



Из первого уравнения системы следует, что . Импликация принимает значение ложь только при и .

Подставляем во второе уравнение и и упрощаем его:



Получаем, что и, следовательно, . То есть, при данная формула принимает истинное значение. Следовательно, она не является тождественно ложной.

2.





Уравнение не имеет решения, так как при любом . Следовательно, и исходно уравнение не имеет решения

---

, и данная формула является противоречием.

3.





Уравнение не имеет решения, так как при любом . Следовательно, и исходно уравнение не имеет решения, и данная формула является противоречием.

4.



Уравнение не имеет решения, так как при любом . Следовательно, и исходно уравнение не имеет решения, и данная формула является противоречием.

5.



То есть, при данная формула принимает истинное значение. Следовательно, она не является тождественно ложной.
Задание 6. Проверить, не составляя таблицы истинности, являются ли следующие

логические формулы тождественно истинными (тавтологиями).
1. 2.

3. 4.
Решение:

1.



То есть, при данная формула принимает ложное значение. Следовательно, она не является тождественно истинной.

2.



То есть, при данная формула принимает ложное значение. Следовательно, она не является тождественно истинной.

---

3.



Уравнение не имеет решения, так как при любом . Следовательно, и исходно уравнение не имеет решения, и данная формула является тавтологией.
4.



Уравнение не имеет решения, так как при любом . Следовательно, и исходно уравнение не имеет решения, и данная формула является тавтологией.
Задание 7. Упростить формулу

1.



2.

=



3.

1)

2)

3)


Задание 8. Используя известные правила тождественных преобразований, упростите логические функции и покажите эквивалентность преобразованной функции исходной:

1. 
   на наборах 3, 5, 6, 7;
   
2. 
   на наборах 1, 3, 4, 5;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   

Решение:

1. 
   на наборах 3, 5, 6, 7;
   

Функция принимает истинное значение на наборах:

---

Им соответствуют следующие элементарные конъюнкции:



Тогда совершенная дизъюнктивная форма получается объединением этих конъюнкций с помощью операции дизъюнкции:



Упростим эту формулу





Для проверки эквивалентности построим таблицу истинности обоих функций и убедимся, что столбцы значений совпадают:

№
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0
3	0	1	1	0	0	1	1	1
4	1	0	0	0	0	0	0	0
5	1	0	1	0	1	0	1	1
6	1	1	0	1	0	0	1	1
7	1	1	1	1	1	1	1	1

---

2. 
   на наборах 1, 3, 4, 5;
   

Функция принимает ложное значение на наборах:



Им соответствуют следующие элементарные дизъюнкции:



Тогда совершенная конъюнктивная форма получается объединением этих дизъюнкций с помощью операции конъюнкции:



Упростим эту формулу



Для проверки эквивалентности построим таблицу истинности обоих функций и убедимся, что столбцы значений совпадают:

№
0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	0	0
2	0	1	0	1	1	1	1
3	0	1	1	0	1	0	0
4	1	0	0	1	0	0	0
5	1	0	1	1	0	0	0
6	1	1	0	1	1	1	1
7	1	1	1	1	1	1	1

---