Файл: История и онтология науки.ppt

Осознана необходимость уточнить фундаментальные понятия математики и прояснить ее логические основания.
В то же время были сделаны успешные попытки применить методы математики к логике.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

Усилиями Буля, Пирса, Моргана, Шредера, Порецкого была разработана «алгебра логики», эта первая форма математической, или символической, логики.
Методы символической логики были применены к анализу основ математики.
Попытки строгой формализации арифметики (Фреге, Пеано, затем Уайтхед и Рассел) и геометрии (Гильберт, Веблен).

НЕОПОЗИТИВИЗМ

Формализация означает такое построение арифметики (или другой науки), при котором принимаются некоторые основные понятия, определения, положения (аксиомы) и правила выведения из них других положений.
Строгость определения понятий исключает возможность неточностей, а соблюдение правил должно обеспечить возможность непротиворечивого выведения всех предложений (или формул) данной системы.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

Задача состояла в формализации и аксиоматизации уже давно сложившихся наук.
Можно было принять их как готовое наличное знание и попытаться поискать в них общую им логическую форму, совершенно отвлекаясь от вопроса о происхождении их отдельных понятий и принципов, от отношения их к эмпирической реальности и от их интуитивного содержания.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

«Основания геометрии» Д. Гильберта.
«Основная мысль моей теории доказательства такова: все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул. Эти формулы отличаются от обычных формул математики только тем, что в них, кроме обычных знаков, встречаются также и логические знаки». Гильберт Д. Основания геометрии. М. —Л., 1948. С. 366.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

«Основания геометрии» Д. Гильберта.
Некоторые из этих формул были приняты в качестве аксиом,

из которых по соответствующим правилам выводились теоремы.
Аналогичным образом была проведена и формализация арифметики.
Стремились создать наиболее строгую и стройную дедуктивную систему.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

Цель- максимальное исключение всякого внелогического интуитивного содержания из понятий и предложений арифметики, выявление их внутренней логической структуры.
Попытка полного сведения чистой математики к логике была предпринята в «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассела.
МАТЕМАТИКА БЫЛА СВЕДЕНА К ЛОГИКЕ.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

Фреге и Расслел положили начало логицизму, заявив, что математика — это ветвь логики.
Противники логицизма доказывали, что вести плодотворное рассуждение в математике можно только введя предпосылки, не сводимые к логике.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

В 1931 г. Гёдель доказал, что в каждой достаточно богатой средствами выражения формализованной системе имеются содержательные истинные утверждения, которые не могут быть доказаны средствами самой этой системы.
ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО ПОЛНАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПИАЛЬНО НЕОСУЩЕСТВИМА.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

ВЫВОД: понятия и принципы всей математики не могут быть полностью выражены никакой формальной системой, как бы мощна она ни была.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

Опыт построения формализованных систем породил надежды на то, что вообще все научное знание можно выразить аналогичным образом.
Задача: подобрать соответствующий язык — знаковую символику, включающую как необходимые термины, так и правила оперирования ими, в частности правила выведения.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

Рассел считал, что логика, из которой может быть выведена математика во всей ее сложности, должна быть основой такого языка, который способен выразить все, что вообще может быть точно сказано.
Большую роль сыграли здесь теория типов и теория дескрипции, созданные Б. Расселом

НЕОПОЗИТИВИЗМ

Для создания теории типов важны парадоксы, обнаруженные Расселом при изучении работ Фреге и Кантора.
Парадокс «Лжец» состоит в следующем: Эпименид — критянин говорит, что все критяне лгут. Но так как он сам критянин, то, следовательно, и он лжет. Получается, что критяне говорят правду.
Второй вариант этого же парадокса: «Все, что я говорю, — ложь; но я говорю, что я лгу, значит, я говорю правду, а если я говорю правду, то значит, я лгу».

НЕОПОЗИТИВИЗМ

«ПАРАДОКС КРОКОДИЛА»: крокодил утащил у женщины ребенка, женщина стала плакать и молить крокодила вернуть ребенка. Крокодил сказал:
«Если ты угадаешь, что я сделаю, я верну ребенка. Если не угадаешь, то не верну».
Женщина сказала: «Ты не вернешь мне ребенка». Теперь крокодил задумался: «Если он вернет ребенка, значит, женщина не угадала, и он не должен его возвращать. Но если он не вернет, то значит, женщина угадала, и по уговору он должен его вернуть. Как же тут быть?» Говорят, что крокодил думал, думал, думал — пока не сдох.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

ПАРАДОКС РАССЕЛА.
Предположим, что имеются классы различных вещей.
Иногда класс может быть членом самого себя, иногда — нет.
Класс чайных ложек не есть чайная ложка. Класс вещей, которые не являются чайными ложками, сам есть вещь, не являющаяся чайной ложкой. Следовательно, он член самого себя.
.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

ПАРАДОКС РАССЕЛА.
Теперь возьмем класс всех классов, которые не являются членами самих себя.
Является ли он членом самого себя? Если да, то он должен обладать отличительным признаком своего класса, то есть не быть членом самого себя.

Если же он не член самого себя, то он должен быть таким членом, так как должен войти в класс всех классов, не являющихся членами самих себя.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

АНАЛОГ: «парадокс парикмахера». Единственный парикмахер в городе получил приказ брить всех тех, кто не бреется сам.
Парикмахер ходит по дворам и бреет всех бородатых.
Но в конце концов он сам обрастает бородой.
Возникает вопрос — должен ли он теперь сам бриться?
Если он не будет бриться, то он должен себя брить.
Но если он бреется сам, то он не должен этого делать согласно условию.

НЕОПОЗИТИВИЗМ

Парадоксы Рассела вызвали
необходимость в тщательном анализе того:
как мы пользуемся языком,
не совершаем ли мы каких-либо ошибок,
имеем ли мы право задавать подобного рода вопросы,
имеют ли они смысл?