Файл: Работы Индивидуальное задание вариант 76. Номер варианта по дисциплине Прикладная физика в электроэнергетике Наименование учебной дисциплины.docx

5. Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи

Основные формулы

 Циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль замкнутого контура



где B_i — проекция вектора магнитной индукции на направление элементарного перемещения dl вдоль контура L.

Циркуляция вектора напряжённости Н вдоль замкнутого контура

,

 Закон полного тока (для магнитного поля в вакууме)

где ₀ – магнитная постоянная; — алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром; п — число токов.

Закон полного тока (для произвольной среды)



 Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S:

а) в случае однородного поля

Ф = BScos ; или Ф = B_nS,

где  – угол между вектором нормали n к плоскости контура и вектором магнитной индукции В; В_n — проекция вектора В на нормаль n (B_n = B cos );

б) в случае неоднородного поля



где интегрирование ведется во всей поверхности S.

 Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида или тороида,



где Ф – магнитный поток через один виток; N — число витков соленоида или тороида.

 Магнитное поле тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовленных из веществ с различными магнитными проницаемостями:

а) магнитная индукция на осевой линии тороида



где I – сила тока в обмотке тороида; N — число ее витков

---

; l₁ и l₂ - длины первой и второй частей сердечника тороида; ₁ и ₂ –магнитные проницаемости веществ первой и второй частей сердечника тороида; ₀ –магнитная постоянная (₀ = 4 10⁷);

б) напряжённость магнитного поля на осевой линии тороида в первой и второй частях сердечника

H₁ = B /(₁ ₂); H₁ = B /(₂ ₀ );

в) магнитный поток в сердечнике тороида площадью S



или по аналогии с законом академика Петрова-Ома

Ф_m = F_m/R_m,

где F_m – магнитодвижущая сила; R_m — полное магнитное сопротивление цепи;




Рис. 5.1.
г) магнитное сопротивление участка цепи

R_m = l/(μμ₀S).

• Магнитная проницаемость μ, ферромагнетика связана с магнитной индукцией В поля в нем и напряжённостью Н намагничивающего поля соотношением:

μ = B/(μ₀H).

• Связь между магнитной индукцией В поля в ферромагнетике и напряжённостью Н намагничивающего поля для трёх материалов (железо, сталь, чугун) имеет нелинейный характер и графически показана на рис. 5.1.
Примеры решения задач

Пример 5.1. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт токI = 50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее длиной l= 65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

(1)

где В_n – вектор магнитной индукции перпендикулярный плоскости рамки.


Рис. 5.2
В нашем случае вектор магнитной индукции В_n перпендикулярен плоскости рамки, по правилу буравчика магнитные силовые линии идут от нас. Поэтому для всех точек рамки синус равен единице, значит В_n

---

= В. Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

, (2)

где x– расстояние от провода до точки, в которой определяется В.

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В согласно (2) зависит от х, то и элементарный поток Ф будет также зависеть от х. Для приращений из выражения (1) имеем:

dФ = B(x)dS.

Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS = ldx (рис. 5.2). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

dФ = . (3)

Из условия задачи известно, расстояние от провода с током до ближайшей из сторон рамки равно ширине рамки. Обозначим это расстояние через а. Теперь интегрировать выражение (3) нужно в пределах от a до 2а, выполнив интегрирование найдём

|_а^2а.

Подставив пределы и учитывая, что ln 2a – lna = ln (2a/a) = ln 2, получим

(4)

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства (4) даёт единицу магнитного потока (Вб): [₀] [I] [l] = Гн/м 1 А 1 м=1 Вб.

Произведя вычисления с исходными данными по формуле (4), найдём значение магнитного потока: Ф = 4,5 мкВб.
Пример 5.2. Определить индукцию В и напряжённость Н магнитного поля на оси тороида (бублика) без сердечника, по обмотке которого, содержащей N = 200 витков, идёт ток I = 5 А. Внешний диаметр d₁тороида равен 30 см, внутренний d₂ = 20 см.

Решение. Для определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии магнитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и напряжённости во всех точках этой линии одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряжённость

---

Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2 r, где r — радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т. e.

(1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля равна сумме токов N, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:

(2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

(3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2rH = NI, откуда

(4)

Для средней линии тороида r = (R₁+R₂)/2 = (d₁+d₂)/4. Подставив это выражение для r в формулу (4), найдём

(5)

Магнитная индукция В₀в вакууме связана с напряжённостью поля соотношением B₀ = ₀H. Следовательно,

(6)

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:

H = 1,27 кА/м,

B₀ = 1,6 мТл.
Пример. 5.3. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l_о = 5 мм. Длина l средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I = 4 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,2 Тл? Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Решение. Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем

IN = Hl+H₀I₀.

По графику (см. рис. 5.1) находим, что при В = 0,2 Тл напряжённость Н магнитного поля в чугуне равна 450 кА/м. Так как для воздуха  = 1, то напряжённость поля в воздушном зазоре при ₀ = 4 10^-7 равна

H₀ = B/₀ =B

---

/(4π) = 159155 A/м или 159,155 кA/м.

Искомое число витков

N = (Hl+H₀l_o)/I = 131,5 т.е 132 витка.
Задача 5.1

Вариант №	Ток I, А	l, см
1	51,1	70,5
2	52,2	65,2
3	53,5	66,9
4	54	68
5	53	67,5
6	53,7	70,1
7	54,7	68
8	51,1	69,6
9	52	69,8
10	51,7	68,1
11	51	66,7
12	50,7	65,9
13	53,3	69,1
14	54,9	70,2
15	51,6	68,3
16	50,9	65,2
17	50,5	67,1
18	54,3	68,2
19	51,1	70,4
20	52,5	67,4
21	53,4	66,3
22	52,1	69,3
23	54,1	69
24	53,1	66,2
25	50,8	70,3
26	50,5	67,3
27	54,1	67
28	52,2	65,8
29	54	65
30	54,8	68,9
31	54,4	65,4
32	52,9	68,7
33	52,7	66,9
34	54,4	69,5
35	54,8	66,7
36	54	67,7
37	52,5	70,7
38	51,7	70,2
39	53,3	70,4
40	51,5	66,4
41	54,4	65,7
42	54,7	67,5
43	53,3	70,6
44	50,8	70,9
45	52,1	65,4
46	50,9	65,2
47	51,2	67
48	53	65,8
49	54,6	65,1
50	54,5	66,7
51	54,6	67,5
52	51,6	66,3
53	53,9	66,2
54	50,2	67,6
55	53,4	67,3
56	52,1	65,2
57	52	65,6
58	51,3	65,4
59	51,5	70
60	53,2	66,3
61	50,1	67,5
62	54,3	65,6
63	53,4	65,3
64	54,2	65,8
65	52,2	69,1
66	53,5	68,7
67	51,5	65,2
68	52,7	70,9
69	50,7	66,2
70	53,1	67
71	52	69,3
72	51,7	65
73	54,7	70,2
74	50,4	66,3
75	50,5	69,9
76	52,8	69,5
77	54,1	70
78	53,4	70,6
79	51,4	70,6
80	54,1	69,6
81	51,4	67,6
82	52,8	70,8
83	53,2	70,6
84	54,8	68,1
85	51,7	65,1
86	53	66,4
87	50,2	66,7
88	52,3	68,1
89	54,7	66,2
90	52,4	68,1
91	53	65,3
92	53,1	68,3
93	50,9	66,4
94	52	68,1
95	53	66,3
96	50,6	66,8
97	51,6	68,1
98	51	70,2
99	54,5	67
100	50,8	65,8

---