ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 117
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Построим выходную характеристику генератора и график зависимости мощности от тока Р(/) и сопротивления нагрузки Р(7?п).
Находим напряжение холостого хода U хх. Для этого убираем сопротивление Я4и находим токи в ветвях (рис. 1.35).
J2(/?2+fl3+/?7)-Jl/?7=£3;
—J 1.Rq + J1 (R^ 4- R(y 4- T?7) — — Ey + E-) 4- JR(yi
/?9 4- R^ 4- /?7 — R-j
< Л7 Л5+Л6+Л7у
Подставим числовые значения и получим
( 54 — 22Л ( 150Л
1,-22 42 J 1-22 J
^3,285^
,1,244,
Находим напряжение холостого хода в соответствии со схемой: U— J1 • R^y — Jд • (R(> 4- /?| ) 4- Е\ — 18,666 В.
Находим сопротивление генератора:
R'
(Ri + Еу) R-j R-) 4- 4- /?7
п п
-
/?s, Rp — — h R\
-
R+R6
Находим ток короткого замыкания и в четвертой ветви:
/ =^2«=1,026А, Л = - ^-—=0,71 ЗА
R3 Rr Rr+R4
Строим выходную характеристику эквивалентного генератора. U(J) = (7ХХ - RV1. По оси напряжений откладываем напряжение (/хх = 18,666 В, а по оси токов ток короткого замыкания /кз = 1,026А , соединяя отложенные точки, получаем выходную характеристику.
С i роим вольтамперную характеристику (ВАХ) сопротивления ветви /?4 =8Ом. Для этого величину сопротивления /?4 -8Ом умножаем на произвольную величину тока, например на / = 1 А и получаем точку на плоскости 7, U. Соединяем точку с началом координат (см. рис. 1.36) и получаем ВАХ. Точка пересечения выходной и вольт- амперной характеристик даст нам ток и напряжения сопротивления Я4=8Ом, Z4=O,713A, (/4 =5,702В.
Строим зависимость
мощности от сопротивления нагрузки^ХХ^Н ■
(/?г+М2‘
Здесь нужно обратить внимание, что максимум мощности приходится на величину нагрузки равной сопротивлению генератора /?н = /?г.
С1 роим зависимость мощности от сопротивления нагрузки: Л/н)=/и(хх-Мг)=
_ ЛЛхХ + ^ХХ | + ^'хх _
/?! 47?;- J 4ЛГ
. 1'хх
2 ) 4/?, ‘
Максимальная мощность приходится на величину половине тока короткого замыкания:
= 4,789Вт.
В завершении проверим все вычисления, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics Workbench.
Лекция № 5
Переменный ток
Ток, изменяющийся во времени называется переменным током. Ток может иметь различные формы, он может быть пилообразным, импульсным, синусоидальным. Вее это переменный ток.
Электрический ток - это скорость изменения заряда во бремени, то есть это производная заряда по времени
(1)
dt
Измерение емкости. Заряд накапливается на пластинах конденсатора, и чем больше напряжение, тем больше зарядов на пластинах,
q = UC (2)
Здесь С - коэффициент пропорциональности, называемый электрической емкостью. Емкость отражает способность проводника накапливать заряды q. И чем больше емкость, тем больше зарядов накапливается на проводнике. Емкость зависит только от геометрических размеров и диэлектрических свойств среды, в которой находится проводник.
Поставим выражение (1) в (2),получим ' (3)
Таким образом, ток через конденсатор определяется выражением (3).
Допустим, нам нужно определить емкость конденсатора. Доя этого подключим его к источнику напряжения и пусть напряжение, подаваемое на конденсатор, имеет пилообразную форму с периодом Т
(см рис. 2.2). На схеме приведено сопротивление R, величина которого очень мала. Измерив напряжение на сопротивлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Бу- Рис. 2,2, Пилообразное напряжение Дем считать, что сопротивление R в схеме известно, оно имеет маленькую величину и несущественно влияет на напряжение на конденсаторе. Используя формулу (3) можно найти ток
Т/4 Т \ 4)
(5)
Следовательно, на этом интервале ток равен постоянный величине:Результат дифференцирования по формуле (3) изображен на рисунке 2.3.
Величину тока можно определить, измерив напряжение на сопротивлении R
i = UR/R = Im. (6)
При известном токе и напряжении можно определить величину емкости
dt
Потокосцепление пропорционально току Т - Li. Чем больше ток, тем больше потокосцепление. Коэффициент пропорциональности L между током и потокосцеплением называется индуктивностью проводника. Индуктивность L зависит от геометрических свойств проводника, его конструктивных особенностей. Так как индуктивность является величиной постоянной, то напряжение на индуктивности определяется выражением:
U{t) = L^-. (9)
dt
Определим экспериментально значение индуктивности L при извест-
ном входном напряжении (см. рис. 2.4). На схеме приведено сопротив-
ление Л, величина которого очень мала. Измерив, напряжение на со-
46
L { Т L Т 2
противлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Пусть входное напряжение остается прежним, пилообразным (рис. 2.2).
Сопротивление схемы, как и прежде, будем считать малым, слабо влияющим на напряжение индуктивности.
Определим ток из выражения (9)
u(t) = di(t) _
dt L
Рис. 2.4 ./ (,0)
L 0
Будем считать, что величина тока в начальный момент времени
(И)
После интегрирования напряжения на участке / е (О, Г / 4) получаем максимальный ток, который можно определить, измерив напряжения на сопротивлении:
Используя последнее выражение можно определить индуктивность
, JJmT
Фазовые соотношения. Рассмотрим, в каком фазовом соотношении находятся ток и напряжение на конденсаторе и на индуктивности при воздействии гармонического напряжения.
Пусть ток через индуктивность i(t) = Z„rsin(atf), со — 2 л/'. Определим напряжение на индуктивности:
U(t) - L - Lwlnt cos(cor) = L(&lm sin(co/ + —).
dt 2
Таким образом, напряжение на индуктивности опережает ток на 90э, или на л/2.
Рассмотрим напряжение на конденсаторе
£/(/) = Um sin(cor). В этом случае ток через конденсатор определяется выражением
/(/) = С — — CtoUm cos(co/) - CcoI7w sin(co/ + —)
dt 2
В данном случае ток опережает напряжение на 90*, или на л* / 2. Можно сказать, что напряжение отстает от тока на /т / 2.
-
. Немного о комплексных числах
Комплексное число z х + Jу это вектор на плоскости. Он имеет мо- Г5
дуль г - \]х“ + у“ и угол наклона 0 к оси х,
Комплексное число может представляться в алгебраическом, тригонометрическом и показательном видах соответственно:
z = х + j у г cos( 0) + j г sin( 0 ) г схр( /0) x = Re(z),y = Im(z)
где |г| ?• Jx . Очень важной
является формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспоненциальные функции. Эти формулы помогают перейти от тригонометрической формы представления комплексного числа к показательной и наоборот.
е cos(0) + Jsin(O). е cos(O)-jsiii(O);
Л-Л Л+Л
siii(0) . cos(O) .
2J 2
-
. Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных амплитуд (Символический метод)
На рисунке 2.9 представлен график синусоидального напряжение,
его ещё называют гармоническим напряжением. В аналитическом виде гармонические токи и напряжения записываются следующим образом к (7) Ufft s>n(w/ + 0) В.
Кривая имеет некое максимальное значение называемое амплитудным значением. Кривая сдвинута относительно вертикальной оси на угол 0. Эго значение угла называется фазовым сдвигом. Синусоида имеет период Т это кратчайшее расстояние между двумя одинаковыми значениями напряжения. В выражениях для напряжения и тока присутствует круговая частота со(рад/сск), которая связана с частотой /(Гц-герц) и периодом Т соотношением:
У -71
co .
Т
При определении синусоидальных токов и напряжений в электрических схемах мы будем осуществлять различные алгебраические операции с тригонометрическими функциями. Поэтому следует перейти от тригонометрических функций (/, (г) = 7,п1 sin(cof + 0,)) к комплексным числам (7/н1еуй| =/|), которые существенно упрощают алгебраические операции. Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты и разных фазовых сдвигов нужно проделать нижеследующие операции:
,/°i
»|(0 ^misinfojt + Oi) V0*
^„,2 sin( 2)-> f„,2el =
(/0. \ /fD/
hn\e + ^m2e 2 I6"7
(£l + Li )e‘/0W Le^ —> Tm sin(
Аналогично осуществляются все другие операции умножение, деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование:
i(t) Im sin(o)r + 0)
<*(') . . /0 . T
—> —> = jo)7,
dt
i(t) = lm sin(o)/ + 0)->-> — = -j—e^ = -/—.
JO) 0) co
Метод замены синусоидальных величин на комплексные называется символическим методом. Этот метод позволяет заменить интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позволяет существенно упростить решение. На рисунке 2.10 приведено изображение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Анимация показывает, что при движение волн напряжения фазовые соотношения между векторами не изменяются следовательно токов и напряжений можно заменять на комплексные величины вектора между которыми сохраняются фазовые соотношения.
Векторная диаграмма напряжений Осцилло1рамма напряжений
а б
Рис. 2.10. а-вектерная диаграмма напряж ении,
б-волновая диаграмма напряжений
В действительности все вектора вращаются с частотой со. Запишем выражения для напряжений на элементах схемы в символической форме:
di(t) /о
Ur(t) = L -> jLaImejy = j&LI_ = jXLI>
dt
i j т fl
1 <• >me
uc(t)=—{i(t)dt -> = -j-^ = -jXcl_,
C joC coC
UR(t) =i(t)R -+ Tmej°R = IR.
Здесь XL = &L, Xc =l/coC индуктивное и емкостное сопротивления соответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктивности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения вводятся их реактивные сопротивления:
Факт присутствия комплексной единицы j перед индуктивным сопротивлением jXL означает, что напряжение на индуктивности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.
Факт присутствия отрицательной комплексной единицы j перед ёмкостным сопротивлением -jXc означает, что напряжение на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.
Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентным
сопротивлением:
Здесь Z - R + j(XL -Хс)9 Z- Zej\
Z - \Jr2 + %2, <р-arctg( X/R);
R = Zcos(
X - Zsin((p).
В случае параллельного соединения элементов удобнее пользоваться проводимостью. Приведем связь между комплексным сопротивлением и комплексной проводимостью, в алгебраической и показательной формах:
Z-R + jX, Z-Ze™\
_ 1 _ 1 _ R . X
Z R + jX R2+X2 JR2+X2’
= = . Y = Ye Ze" Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 21
п п
-
/?s, Rp — — h R\
-
R+R6
Находим ток короткого замыкания и в четвертой ветви:
/ =^2«=1,026А, Л = - ^-—=0,71 ЗА
R3 Rr Rr+R4
Строим выходную характеристику эквивалентного генератора. U(J) = (7ХХ - RV1. По оси напряжений откладываем напряжение (/хх = 18,666 В, а по оси токов ток короткого замыкания /кз = 1,026А , соединяя отложенные точки, получаем выходную характеристику.
С i роим вольтамперную характеристику (ВАХ) сопротивления ветви /?4 =8Ом. Для этого величину сопротивления /?4 -8Ом умножаем на произвольную величину тока, например на / = 1 А и получаем точку на плоскости 7, U. Соединяем точку с началом координат (см. рис. 1.36) и получаем ВАХ. Точка пересечения выходной и вольт- амперной характеристик даст нам ток и напряжения сопротивления Я4=8Ом, Z4=O,713A, (/4 =5,702В.
Строим зависимость
мощности от сопротивления нагрузки^ХХ^Н ■
(/?г+М2‘
Здесь нужно обратить внимание, что максимум мощности приходится на величину нагрузки равной сопротивлению генератора /?н = /?г.
С1 роим зависимость мощности от сопротивления нагрузки: Л/н)=/и(хх-Мг)=
_ ЛЛхХ + ^ХХ | + ^'хх _
/?! 47?;- J 4ЛГ
. 1'хх
2 ) 4/?, ‘
Максимальная мощность приходится на величину половине тока короткого замыкания:
= 4,789Вт.
В завершении проверим все вычисления, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics Workbench.
Лекция № 5
Переменный ток
Ток, изменяющийся во времени называется переменным током. Ток может иметь различные формы, он может быть пилообразным, импульсным, синусоидальным. Вее это переменный ток.
Электрический ток - это скорость изменения заряда во бремени, то есть это производная заряда по времени
(1)
dt
Измерение емкости. Заряд накапливается на пластинах конденсатора, и чем больше напряжение, тем больше зарядов на пластинах,
q = UC (2)
Здесь С - коэффициент пропорциональности, называемый электрической емкостью. Емкость отражает способность проводника накапливать заряды q. И чем больше емкость, тем больше зарядов накапливается на проводнике. Емкость зависит только от геометрических размеров и диэлектрических свойств среды, в которой находится проводник.
Поставим выражение (1) в (2),получим ' (3)
Таким образом, ток через конденсатор определяется выражением (3).
Допустим, нам нужно определить емкость конденсатора. Доя этого подключим его к источнику напряжения и пусть напряжение, подаваемое на конденсатор, имеет пилообразную форму с периодом Т
(см рис. 2.2). На схеме приведено сопротивление R, величина которого очень мала. Измерив напряжение на сопротивлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Бу- Рис. 2,2, Пилообразное напряжение Дем считать, что сопротивление R в схеме известно, оно имеет маленькую величину и несущественно влияет на напряжение на конденсаторе. Используя формулу (3) можно найти ток
Т/4 Т \ 4)
(5)
Следовательно, на этом интервале ток равен постоянный величине:Результат дифференцирования по формуле (3) изображен на рисунке 2.3.
Величину тока можно определить, измерив напряжение на сопротивлении R
i = UR/R = Im. (6)
При известном токе и напряжении можно определить величину емкости
dt
Потокосцепление пропорционально току Т - Li. Чем больше ток, тем больше потокосцепление. Коэффициент пропорциональности L между током и потокосцеплением называется индуктивностью проводника. Индуктивность L зависит от геометрических свойств проводника, его конструктивных особенностей. Так как индуктивность является величиной постоянной, то напряжение на индуктивности определяется выражением:
U{t) = L^-. (9)
dt
Определим экспериментально значение индуктивности L при извест-
ном входном напряжении (см. рис. 2.4). На схеме приведено сопротив-
ление Л, величина которого очень мала. Измерив, напряжение на со-
46
L { Т L Т 2
противлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Пусть входное напряжение остается прежним, пилообразным (рис. 2.2).
Сопротивление схемы, как и прежде, будем считать малым, слабо влияющим на напряжение индуктивности.
Определим ток из выражения (9)
u(t) = di(t) _
dt L
Рис. 2.4 ./ (,0)
L 0
Будем считать, что величина тока в начальный момент времени
(И)
После интегрирования напряжения на участке / е (О, Г / 4) получаем максимальный ток, который можно определить, измерив напряжения на сопротивлении:
Используя последнее выражение можно определить индуктивность
, JJmT
Фазовые соотношения. Рассмотрим, в каком фазовом соотношении находятся ток и напряжение на конденсаторе и на индуктивности при воздействии гармонического напряжения.
Пусть ток через индуктивность i(t) = Z„rsin(atf), со — 2 л/'. Определим напряжение на индуктивности:
U(t) - L - Lwlnt cos(cor) = L(&lm sin(co/ + —).
dt 2
Таким образом, напряжение на индуктивности опережает ток на 90э, или на л/2.
Рассмотрим напряжение на конденсаторе
£/(/) = Um sin(cor). В этом случае ток через конденсатор определяется выражением
/(/) = С — — CtoUm cos(co/) - CcoI7w sin(co/ + —)
dt 2
В данном случае ток опережает напряжение на 90*, или на л* / 2. Можно сказать, что напряжение отстает от тока на /т / 2.
-
. Немного о комплексных числах
Комплексное число z х + Jу это вектор на плоскости. Он имеет мо- Г5
дуль г - \]х“ + у“ и угол наклона 0 к оси х,
Комплексное число может представляться в алгебраическом, тригонометрическом и показательном видах соответственно:
z = х + j у г cos( 0) + j г sin( 0 ) г схр( /0) x = Re(z),y = Im(z)
где |г| ?• Jx . Очень важной
является формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспоненциальные функции. Эти формулы помогают перейти от тригонометрической формы представления комплексного числа к показательной и наоборот.
е cos(0) + Jsin(O). е cos(O)-jsiii(O);
Л-Л Л+Л
siii(0) . cos(O) .
2J 2
-
. Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных амплитуд (Символический метод)
На рисунке 2.9 представлен график синусоидального напряжение,
его ещё называют гармоническим напряжением. В аналитическом виде гармонические токи и напряжения записываются следующим образом к (7) Ufft s>n(w/ + 0) В.
Кривая имеет некое максимальное значение называемое амплитудным значением. Кривая сдвинута относительно вертикальной оси на угол 0. Эго значение угла называется фазовым сдвигом. Синусоида имеет период Т это кратчайшее расстояние между двумя одинаковыми значениями напряжения. В выражениях для напряжения и тока присутствует круговая частота со(рад/сск), которая связана с частотой /(Гц-герц) и периодом Т соотношением:
У -71
co .
Т
При определении синусоидальных токов и напряжений в электрических схемах мы будем осуществлять различные алгебраические операции с тригонометрическими функциями. Поэтому следует перейти от тригонометрических функций (/, (г) = 7,п1 sin(cof + 0,)) к комплексным числам (7/н1еуй| =/|), которые существенно упрощают алгебраические операции. Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты и разных фазовых сдвигов нужно проделать нижеследующие операции:
,/°i
»|(0 ^misinfojt + Oi) V0*
^„,2 sin( 2)-> f„,2el =
(/0. \ /fD/
hn\e + ^m2e 2 I6"7
(£l + Li )e‘/0W Le^ —> Tm sin(
Аналогично осуществляются все другие операции умножение, деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование:
i(t) Im sin(o)r + 0)
<*(') . . /0 . T
—> —> = jo)7,
dt
i(t) = lm sin(o)/ + 0)->-> — = -j—e^ = -/—.
JO) 0) co
Метод замены синусоидальных величин на комплексные называется символическим методом. Этот метод позволяет заменить интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позволяет существенно упростить решение. На рисунке 2.10 приведено изображение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Анимация показывает, что при движение волн напряжения фазовые соотношения между векторами не изменяются следовательно токов и напряжений можно заменять на комплексные величины вектора между которыми сохраняются фазовые соотношения.
Векторная диаграмма напряжений Осцилло1рамма напряжений
а б
Рис. 2.10. а-вектерная диаграмма напряж ении,
б-волновая диаграмма напряжений
В действительности все вектора вращаются с частотой со. Запишем выражения для напряжений на элементах схемы в символической форме:
di(t) /о
Ur(t) = L -> jLaImejy = j&LI_ = jXLI>
dt
i j т fl
1 <• >me
uc(t)=—{i(t)dt -> = -j-^ = -jXcl_,
C joC coC
UR(t) =i(t)R -+ Tmej°R = IR.
Здесь XL = &L, Xc =l/coC индуктивное и емкостное сопротивления соответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктивности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения вводятся их реактивные сопротивления:
Факт присутствия комплексной единицы j перед индуктивным сопротивлением jXL означает, что напряжение на индуктивности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.
Факт присутствия отрицательной комплексной единицы j перед ёмкостным сопротивлением -jXc означает, что напряжение на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.
Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентным
сопротивлением:
Здесь Z - R + j(XL -Хс)9 Z- Zej\
Z - \Jr2 + %2, <р-arctg( X/R);
R = Zcos(
X - Zsin((p).
В случае параллельного соединения элементов удобнее пользоваться проводимостью. Приведем связь между комплексным сопротивлением и комплексной проводимостью, в алгебраической и показательной формах:
Z-R + jX, Z-Ze™\
_ 1 _ 1 _ R . X
Z R + jX R2+X2 JR2+X2’
= = . Y = Ye Ze" Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 21
п п
-
/?s, Rp — — h R\
-
R+R6
Находим ток короткого замыкания и в четвертой ветви:
/ =^2«=1,026А, Л = - ^-—=0,71 ЗА
R3 Rr Rr+R4
Строим выходную характеристику эквивалентного генератора. U(J) = (7ХХ - RV1. По оси напряжений откладываем напряжение (/хх = 18,666 В, а по оси токов ток короткого замыкания /кз = 1,026А , соединяя отложенные точки, получаем выходную характеристику.
С i роим вольтамперную характеристику (ВАХ) сопротивления ветви /?4 =8Ом. Для этого величину сопротивления /?4 -8Ом умножаем на произвольную величину тока, например на / = 1 А и получаем точку на плоскости 7, U. Соединяем точку с началом координат (см. рис. 1.36) и получаем ВАХ. Точка пересечения выходной и вольт- амперной характеристик даст нам ток и напряжения сопротивления Я4=8Ом, Z4=O,713A, (/4 =5,702В.
Строим зависимость
мощности от сопротивления нагрузки^ХХ^Н ■
(/?г+М2‘
Здесь нужно обратить внимание, что максимум мощности приходится на величину нагрузки равной сопротивлению генератора /?н = /?г.
С1 роим зависимость мощности от сопротивления нагрузки: Л/н)=/и(хх-Мг)=
_ ЛЛхХ + ^ХХ | + ^'хх _
/?! 47?;- J 4ЛГ
. 1'хх
2 ) 4/?, ‘
Максимальная мощность приходится на величину половине тока короткого замыкания:
= 4,789Вт.
В завершении проверим все вычисления, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics Workbench.
Лекция № 5
Переменный ток
Ток, изменяющийся во времени называется переменным током. Ток может иметь различные формы, он может быть пилообразным, импульсным, синусоидальным. Вее это переменный ток.
Электрический ток - это скорость изменения заряда во бремени, то есть это производная заряда по времени
(1)
dt
Измерение емкости. Заряд накапливается на пластинах конденсатора, и чем больше напряжение, тем больше зарядов на пластинах,
q = UC (2)
Здесь С - коэффициент пропорциональности, называемый электрической емкостью. Емкость отражает способность проводника накапливать заряды q. И чем больше емкость, тем больше зарядов накапливается на проводнике. Емкость зависит только от геометрических размеров и диэлектрических свойств среды, в которой находится проводник.
Поставим выражение (1) в (2),получим ' (3)
Таким образом, ток через конденсатор определяется выражением (3).
Допустим, нам нужно определить емкость конденсатора. Доя этого подключим его к источнику напряжения и пусть напряжение, подаваемое на конденсатор, имеет пилообразную форму с периодом Т
(см рис. 2.2). На схеме приведено сопротивление R, величина которого очень мала. Измерив напряжение на сопротивлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Бу- Рис. 2,2, Пилообразное напряжение Дем считать, что сопротивление R в схеме известно, оно имеет маленькую величину и несущественно влияет на напряжение на конденсаторе. Используя формулу (3) можно найти ток
Т/4 Т \ 4)
(5)
Следовательно, на этом интервале ток равен постоянный величине:Результат дифференцирования по формуле (3) изображен на рисунке 2.3.
Величину тока можно определить, измерив напряжение на сопротивлении R
i = UR/R = Im. (6)
При известном токе и напряжении можно определить величину емкости
dt
Потокосцепление пропорционально току Т - Li. Чем больше ток, тем больше потокосцепление. Коэффициент пропорциональности L между током и потокосцеплением называется индуктивностью проводника. Индуктивность L зависит от геометрических свойств проводника, его конструктивных особенностей. Так как индуктивность является величиной постоянной, то напряжение на индуктивности определяется выражением:
U{t) = L^-. (9)
dt
Определим экспериментально значение индуктивности L при извест-
ном входном напряжении (см. рис. 2.4). На схеме приведено сопротив-
ление Л, величина которого очень мала. Измерив, напряжение на со-
46
L { Т L Т 2
противлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Пусть входное напряжение остается прежним, пилообразным (рис. 2.2).
Сопротивление схемы, как и прежде, будем считать малым, слабо влияющим на напряжение индуктивности.
Определим ток из выражения (9)
u(t) = di(t) _
dt L
Рис. 2.4 ./ (,0)
L 0
Будем считать, что величина тока в начальный момент времени
(И)
После интегрирования напряжения на участке / е (О, Г / 4) получаем максимальный ток, который можно определить, измерив напряжения на сопротивлении:
Используя последнее выражение можно определить индуктивность
, JJmT
Фазовые соотношения. Рассмотрим, в каком фазовом соотношении находятся ток и напряжение на конденсаторе и на индуктивности при воздействии гармонического напряжения.
Пусть ток через индуктивность i(t) = Z„rsin(atf), со — 2 л/'. Определим напряжение на индуктивности:
U(t) - L - Lwlnt cos(cor) = L(&lm sin(co/ + —).
dt 2
Таким образом, напряжение на индуктивности опережает ток на 90э, или на л/2.
Рассмотрим напряжение на конденсаторе
£/(/) = Um sin(cor). В этом случае ток через конденсатор определяется выражением
/(/) = С — — CtoUm cos(co/) - CcoI7w sin(co/ + —)
dt 2
В данном случае ток опережает напряжение на 90*, или на л* / 2. Можно сказать, что напряжение отстает от тока на /т / 2.
-
. Немного о комплексных числах
Комплексное число z х + Jу это вектор на плоскости. Он имеет мо- Г5
дуль г - \]х“ + у“ и угол наклона 0 к оси х,
Комплексное число может представляться в алгебраическом, тригонометрическом и показательном видах соответственно:
z = х + j у г cos( 0) + j г sin( 0 ) г схр( /0) x = Re(z),y = Im(z)
где |г| ?• Jx . Очень важной
является формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспоненциальные функции. Эти формулы помогают перейти от тригонометрической формы представления комплексного числа к показательной и наоборот.
е cos(0) + Jsin(O). е cos(O)-jsiii(O);
Л-Л Л+Л
siii(0) . cos(O) .
2J 2
-
. Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных амплитуд (Символический метод)
На рисунке 2.9 представлен график синусоидального напряжение,
его ещё называют гармоническим напряжением. В аналитическом виде гармонические токи и напряжения записываются следующим образом к (7) Ufft s>n(w/ + 0) В.
Кривая имеет некое максимальное значение называемое амплитудным значением. Кривая сдвинута относительно вертикальной оси на угол 0. Эго значение угла называется фазовым сдвигом. Синусоида имеет период Т это кратчайшее расстояние между двумя одинаковыми значениями напряжения. В выражениях для напряжения и тока присутствует круговая частота со(рад/сск), которая связана с частотой /(Гц-герц) и периодом Т соотношением:
У -71
co .
Т
При определении синусоидальных токов и напряжений в электрических схемах мы будем осуществлять различные алгебраические операции с тригонометрическими функциями. Поэтому следует перейти от тригонометрических функций (/, (г) = 7,п1 sin(cof + 0,)) к комплексным числам (7/н1еуй| =/|), которые существенно упрощают алгебраические операции. Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты и разных фазовых сдвигов нужно проделать нижеследующие операции:
,/°i
»|(0 ^misinfojt + Oi) V0*
^„,2 sin( 2)-> f„,2el =
(/0. \ /fD/
hn\e + ^m2e 2 I6"7
(£l + Li )e‘/0W Le^ —> Tm sin(
Аналогично осуществляются все другие операции умножение, деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование:
i(t) Im sin(o)r + 0)
<*(') . . /0 . T
—> —> = jo)7,
dt
i(t) = lm sin(o)/ + 0)->-> — = -j—e^ = -/—.
JO) 0) co
Метод замены синусоидальных величин на комплексные называется символическим методом. Этот метод позволяет заменить интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позволяет существенно упростить решение. На рисунке 2.10 приведено изображение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Анимация показывает, что при движение волн напряжения фазовые соотношения между векторами не изменяются следовательно токов и напряжений можно заменять на комплексные величины вектора между которыми сохраняются фазовые соотношения.
Векторная диаграмма напряжений Осцилло1рамма напряжений
а б
Рис. 2.10. а-вектерная диаграмма напряж ении,
б-волновая диаграмма напряжений
В действительности все вектора вращаются с частотой со. Запишем выражения для напряжений на элементах схемы в символической форме:
di(t) /о
Ur(t) = L -> jLaImejy = j&LI_ = jXLI>
dt
i j т fl
1 <• >me
uc(t)=—{i(t)dt -> = -j-^ = -jXcl_,
C joC coC
UR(t) =i(t)R -+ Tmej°R = IR.
Здесь XL = &L, Xc =l/coC индуктивное и емкостное сопротивления соответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктивности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения вводятся их реактивные сопротивления:
Факт присутствия комплексной единицы j перед индуктивным сопротивлением jXL означает, что напряжение на индуктивности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.
Факт присутствия отрицательной комплексной единицы j перед ёмкостным сопротивлением -jXc означает, что напряжение на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.
Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентным
сопротивлением:
Здесь Z - R + j(XL -Хс)9 Z- Zej\
Z - \Jr2 + %2, <р-arctg( X/R);
R = Zcos(
X - Zsin((p).
В случае параллельного соединения элементов удобнее пользоваться проводимостью. Приведем связь между комплексным сопротивлением и комплексной проводимостью, в алгебраической и показательной формах:
Z-R + jX, Z-Ze™\
_ 1 _ 1 _ R . X
Z R + jX R2+X2 JR2+X2’
= = . Y = Ye Ze" Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 21
п п
-
/?s, Rp — — h R\
-
R+R6
Находим ток короткого замыкания и в четвертой ветви:
/ =^2«=1,026А, Л = - ^-—=0,71 ЗА
R3 Rr Rr+R4
Строим выходную характеристику эквивалентного генератора. U(J) = (7ХХ - RV1. По оси напряжений откладываем напряжение (/хх = 18,666 В, а по оси токов ток короткого замыкания /кз = 1,026А , соединяя отложенные точки, получаем выходную характеристику.
С i роим вольтамперную характеристику (ВАХ) сопротивления ветви /?4 =8Ом. Для этого величину сопротивления /?4 -8Ом умножаем на произвольную величину тока, например на / = 1 А и получаем точку на плоскости 7, U. Соединяем точку с началом координат (см. рис. 1.36) и получаем ВАХ. Точка пересечения выходной и вольт- амперной характеристик даст нам ток и напряжения сопротивления Я4=8Ом, Z4=O,713A, (/4 =5,702В.
Строим зависимость
мощности от сопротивления нагрузки^ХХ^Н ■
(/?г+М2‘
Здесь нужно обратить внимание, что максимум мощности приходится на величину нагрузки равной сопротивлению генератора /?н = /?г.
С1 роим зависимость мощности от сопротивления нагрузки: Л/н)=/и(хх-Мг)=
_ ЛЛхХ + ^ХХ | + ^'хх _
/?! 47?;- J 4ЛГ
. 1'хх
2 ) 4/?, ‘
Максимальная мощность приходится на величину половине тока короткого замыкания:
= 4,789Вт.
В завершении проверим все вычисления, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics Workbench.
Лекция № 5
Переменный ток
Ток, изменяющийся во времени называется переменным током. Ток может иметь различные формы, он может быть пилообразным, импульсным, синусоидальным. Вее это переменный ток.
Электрический ток - это скорость изменения заряда во бремени, то есть это производная заряда по времени
(1)
dt
Измерение емкости. Заряд накапливается на пластинах конденсатора, и чем больше напряжение, тем больше зарядов на пластинах,
q = UC (2)
Здесь С - коэффициент пропорциональности, называемый электрической емкостью. Емкость отражает способность проводника накапливать заряды q. И чем больше емкость, тем больше зарядов накапливается на проводнике. Емкость зависит только от геометрических размеров и диэлектрических свойств среды, в которой находится проводник.
Поставим выражение (1) в (2),получим ' (3)
Таким образом, ток через конденсатор определяется выражением (3).
Допустим, нам нужно определить емкость конденсатора. Доя этого подключим его к источнику напряжения и пусть напряжение, подаваемое на конденсатор, имеет пилообразную форму с периодом Т
(см рис. 2.2). На схеме приведено сопротивление R, величина которого очень мала. Измерив напряжение на сопротивлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Бу- Рис. 2,2, Пилообразное напряжение Дем считать, что сопротивление R в схеме известно, оно имеет маленькую величину и несущественно влияет на напряжение на конденсаторе. Используя формулу (3) можно найти ток
Т/4 Т \ 4)
(5)
Следовательно, на этом интервале ток равен постоянный величине:Результат дифференцирования по формуле (3) изображен на рисунке 2.3.
Величину тока можно определить, измерив напряжение на сопротивлении R
i = UR/R = Im. (6)
При известном токе и напряжении можно определить величину емкости
dt
Потокосцепление пропорционально току Т - Li. Чем больше ток, тем больше потокосцепление. Коэффициент пропорциональности L между током и потокосцеплением называется индуктивностью проводника. Индуктивность L зависит от геометрических свойств проводника, его конструктивных особенностей. Так как индуктивность является величиной постоянной, то напряжение на индуктивности определяется выражением:
U{t) = L^-. (9)
dt
Определим экспериментально значение индуктивности L при извест-
ном входном напряжении (см. рис. 2.4). На схеме приведено сопротив-
ление Л, величина которого очень мала. Измерив, напряжение на со-
46
L { Т L Т 2
противлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Пусть входное напряжение остается прежним, пилообразным (рис. 2.2).
Сопротивление схемы, как и прежде, будем считать малым, слабо влияющим на напряжение индуктивности.
Определим ток из выражения (9)
u(t) = di(t) _
dt L
Рис. 2.4 ./ (,0)
L 0
Будем считать, что величина тока в начальный момент времени
(И)
После интегрирования напряжения на участке / е (О, Г / 4) получаем максимальный ток, который можно определить, измерив напряжения на сопротивлении:
Используя последнее выражение можно определить индуктивность
, JJmT
Фазовые соотношения. Рассмотрим, в каком фазовом соотношении находятся ток и напряжение на конденсаторе и на индуктивности при воздействии гармонического напряжения.
Пусть ток через индуктивность i(t) = Z„rsin(atf), со — 2 л/'. Определим напряжение на индуктивности:
U(t) - L - Lwlnt cos(cor) = L(&lm sin(co/ + —).
dt 2
Таким образом, напряжение на индуктивности опережает ток на 90э, или на л/2.
Рассмотрим напряжение на конденсаторе
£/(/) = Um sin(cor). В этом случае ток через конденсатор определяется выражением
/(/) = С — — CtoUm cos(co/) - CcoI7w sin(co/ + —)
dt 2
В данном случае ток опережает напряжение на 90*, или на л* / 2. Можно сказать, что напряжение отстает от тока на /т / 2.
-
. Немного о комплексных числах
Комплексное число z х + Jу это вектор на плоскости. Он имеет мо- Г5
дуль г - \]х“ + у“ и угол наклона 0 к оси х,
Комплексное число может представляться в алгебраическом, тригонометрическом и показательном видах соответственно:
z = х + j у г cos( 0) + j г sin( 0 ) г схр( /0) x = Re(z),y = Im(z)
где |г| ?• Jx . Очень важной
является формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспоненциальные функции. Эти формулы помогают перейти от тригонометрической формы представления комплексного числа к показательной и наоборот.
е cos(0) + Jsin(O). е cos(O)-jsiii(O);
Л-Л Л+Л
siii(0) . cos(O) .
2J 2
-
. Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных амплитуд (Символический метод)
На рисунке 2.9 представлен график синусоидального напряжение,
его ещё называют гармоническим напряжением. В аналитическом виде гармонические токи и напряжения записываются следующим образом к (7) Ufft s>n(w/ + 0) В.
Кривая имеет некое максимальное значение называемое амплитудным значением. Кривая сдвинута относительно вертикальной оси на угол 0. Эго значение угла называется фазовым сдвигом. Синусоида имеет период Т это кратчайшее расстояние между двумя одинаковыми значениями напряжения. В выражениях для напряжения и тока присутствует круговая частота со(рад/сск), которая связана с частотой /(Гц-герц) и периодом Т соотношением:
У -71
co .
Т
При определении синусоидальных токов и напряжений в электрических схемах мы будем осуществлять различные алгебраические операции с тригонометрическими функциями. Поэтому следует перейти от тригонометрических функций (/, (г) = 7,п1 sin(cof + 0,)) к комплексным числам (7/н1еуй| =/|), которые существенно упрощают алгебраические операции. Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты и разных фазовых сдвигов нужно проделать нижеследующие операции:
,/°i
»|(0 ^misinfojt + Oi) V0*
^„,2 sin(
(/0. \ /fD/
hn\e + ^m2e 2 I6"7
(£l + Li )e‘/0W Le^ —> Tm sin(
Аналогично осуществляются все другие операции умножение, деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование:
i(t) Im sin(o)r + 0)
<*(') . . /0 . T
—> —> = jo)7,
dt
i(t) = lm sin(o)/ + 0)->-> — = -j—e^ = -/—.
JO) 0) co
Метод замены синусоидальных величин на комплексные называется символическим методом. Этот метод позволяет заменить интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позволяет существенно упростить решение. На рисунке 2.10 приведено изображение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Анимация показывает, что при движение волн напряжения фазовые соотношения между векторами не изменяются следовательно токов и напряжений можно заменять на комплексные величины вектора между которыми сохраняются фазовые соотношения.
Векторная диаграмма напряжений Осцилло1рамма напряжений
а б
Рис. 2.10. а-вектерная диаграмма напряж ении,
б-волновая диаграмма напряжений
В действительности все вектора вращаются с частотой со. Запишем выражения для напряжений на элементах схемы в символической форме:
di(t) /о
Ur(t) = L -> jLaImejy = j&LI_ = jXLI>
dt
i j т fl
1 <• >me
uc(t)=—{i(t)dt -> = -j-^ = -jXcl_,
C joC coC
UR(t) =i(t)R -+ Tmej°R = IR.
Здесь XL = &L, Xc =l/coC индуктивное и емкостное сопротивления соответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктивности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения вводятся их реактивные сопротивления:
Факт присутствия комплексной единицы j перед индуктивным сопротивлением jXL означает, что напряжение на индуктивности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.
Факт присутствия отрицательной комплексной единицы j перед ёмкостным сопротивлением -jXc означает, что напряжение на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.
Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентным
сопротивлением:
Здесь Z - R + j(XL -Хс)9 Z- Zej\
Z - \Jr2 + %2, <р-arctg( X/R);
R = Zcos(
X - Zsin((p).
В случае параллельного соединения элементов удобнее пользоваться проводимостью. Приведем связь между комплексным сопротивлением и комплексной проводимостью, в алгебраической и показательной формах:
Z-R + jX, Z-Ze™\
_ 1 _ 1 _ R . X
Z R + jX R2+X2 JR2+X2’
= = . Y = Ye Ze" Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 21
Пример. Рассмотрим электрическую цепь с заданными параметрами: е(Г) - 10sin(cor + 45°) В, со= 500рад/с, R = 20 Ом, L = 0,1 Гн, С = 50мФ.
Определяем индуктивное и емкостное сопротивления:
X
L = соЛ 30 Ом индуктивное сопротивление,Хс = — - 66,66 Ом емкостное сопротивление.
соС
Запишем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура представленной схемы. Сумма напряжений на пассивных элементах равно величине воздействующей ЭДС.
e(t)
dt C jcoC coC
U=RI_
Подставим все величины в уравнение для напряжений, и в результате получим:
UL^-UR^-Uc = e(t)
jaL I_ - j \ RI_ — E_ —> ./oj/z
Коэффициент пропорциональности при токах имеют размерность сопротивления и обозначаются следующим образом:
/(г) -0,239 -sin(сог-ь 106,38)А.
-
. Векторные диаграммы - фазовые соотношения между величинами
Поскольку каждой синусоидальной величине сопоставляется комплексный вектор, то в результате проведённых расчетов можно увидеть фазовые соотношения между величинами в комплексной плоскости. Приведем пример расчетов токов и построение векторной диаграммы. Прежде всего, строится лучевая диаграмма токов, в выбранном масштабе. Зачем строится топографическая диаграмма напряжений. Вектор напряжения активного сопротивления откладывается параллельно току активного сопротивления. Вектор напряжения индуктивности опережает ток индуктивности на 90 градусов. Вектор напряжения емкости откладывается с отставанием на 90 градусов от емкостного тока. Положительное значение угла откладывается против часовой стрелки. Отрица- тельное значение угла откладывается по часовой стрелке. Используем программу
Mathcad для расчета цепи и построения диаграмм тока и напряжений.
fy.O4- V(a,n):= arg(z) C(L 1 deg | si <- s2 <- n <- | i!5dcg c -.1 -il5 0 if |a <0.1 | |
C| 0 +- Rc(z) | | n otherwise | |
ct । <- Int z) | | Г о | |
c | | a | |
| al 1- | , a —s 1 ■ ■ n + ; a | |
| | a | |
| | an -s2- + a к |a| J | |
| al | | |
1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 21
com(z)
(112| )2 XL- (|I3| )2 Xc - -5.66
Eo:-V(E.I0) IirfS) - 9.81 I (|ll|)2 R + (|l2| )2 R - 9.811
u2 :-V(I2 i-XL.10) u2l:-124 XL + V(I2R, 10)
ul 12 i XL + I2 R+ V(l 1 R, 10)
il 5= V(I1,I) IO i2 :
V(I2,1 ) IO i3 t= V(I3, !)■ 10 u3 :-V(-I3 i Xc, 10) |ll|-R-11.327 |I2|-R = 8.242 |l2|-XL-8.242 |l3|-Xc-11.655
-
. Показания приборов
Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электротехнике, достаточно большие, поэтому измеряющие приборы нс успевают реагировать на частоту. Вследствие этого приборы показывают нс амплитудное значение, а некоторое усреднённое значение, называемое среднеквадратическим значением или действующим значением. которое определяется соотношением:
= .Ы "(')2^ = =
го го
lu»i
У 1-008(2(0/)^^ _ Ц/п" _ т
Т 01 2 ) 2 JT
С учетом последних замечаний при переводе тригонометрических величин в комплексные, учитывается величина действующего значения. Например:
e(t) -1 Osin(wz + 30°) -> £ = ^-e/3° = 7,07^3()B,
■y2
/(/)-2sin(co/-60°) —>/
v2
Рассмотрим пример использования символического метода для ре
шения задач.
-
. Мощность в цепи переменного тока
Полная мощность определяется выражением
W * / 5 Т
5= I ±EkI_k=P + jQ9S = ylP
+Q29
к = \
Р - активная мощность, Q - реактивная мощность. Знак плюс выбирает- ся, в случае если ЭДС и ток совпадают по направлению (на схему) и минус в противном случае. * - знак комплексного сопряжения.
Потребляемая активная и реактивная мощности определяются соотношениями соответственно:
о 7V э М э
Р= Е Q = Е хтк1к
xckJk-
к=\ к к А' = 1 Lk к к=\ Ск к
Р- активная мощность величина положительная. О- реактивная мощность может быть как положительной так и отрицательной величиной. Если преобладает индуктивная составляющая XL > Хс то >0. Если Хс > XL.то Q< 0.
Лекция № 6
-
. Цени с индуктивно связанными элементами Последовательное соединение катушек с индуктивной связью.
6
Рассмотрим цепь с взаимной индуктивностью. По катушкам протекают токи, направленные в одну сторону. Но провода намотаны в разные стороны. Условно на рисунке этот факт можно обозначиi ь звездочками или точками. При этом токи создают магнитное поле вокруг проводов. В одном случае они складываются, а в другом они
вычитаются. Тогда можно записать уравнение Кирхгофа для последовательного контура, учитывая нс идеальность катушек.
При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны
, di . „ . . di r di . „ _ л di . .
L h iRt 4- M h L-) h iR-) -f- Л/ — — c( t) .
1 dt 1 dt - dt - dl
При встречном соединении, когда токи входят в катушки с разных сторон.
.di . „ , . di , di t di . x
L h iR\ -M \-iR
) -M — - e(t)
dl dl dt “ dt
В символической форме это можно записать так.
(л, +jxLi +jXm)i_+(r2+jXL2+jXm)l=E:, (Ri+R2+j(XLi+XL2+2XM))l_ = E.
При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны.
(/?, + jXLi-jXm)I_+(R2 + jXL2-jXM)l_ = E; (Ri+R2+j(XLi+XL2-2XM))l = E.
При встречном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны. Здесь Хм - соЛ/, XL - со£.
Если ввести обозначения для сопротивлений согласного Zc и встречного соответственно
“ ^1 + ^2 + J+ L2 + )’ —В - 4- Л2 4- j(XLl 4- XL2 “ 2%у ) ,
то можно найти взаимную индукцию
।।IZ^-Z^i
Zc -ZB - 2XW + 2Xy - 4Xу - 4Л/0) -4 M - '-(
д|
com(z)
(112| )2 XL- (|I3| )2 Xc - -5.66
Eo:-V(E.I0) IirfS) - 9.81 I (|ll|)2 R + (|l2| )2 R - 9.811
u2 :-V(I2 i-XL.10) u2l:-124 XL + V(I2R, 10)
ul 12 i XL + I2 R+ V(l 1 R, 10)
il 5= V(I1,I) IO i2 :
V(I2,1 ) IO i3 t= V(I3, !)■ 10 u3 :-V(-I3 i Xc, 10) |ll|-R-11.327 |I2|-R = 8.242 |l2|-XL-8.242 |l3|-Xc-11.655
-
. Показания приборов
Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электротехнике, достаточно большие, поэтому измеряющие приборы нс успевают реагировать на частоту. Вследствие этого приборы показывают нс амплитудное значение, а некоторое усреднённое значение, называемое среднеквадратическим значением или действующим значением. которое определяется соотношением:
= .Ы "(')2^ = =
го го
lu»i
У 1-008(2(0/)^^ _ Ц/п" _ т
Т 01 2 ) 2 JT
С учетом последних замечаний при переводе тригонометрических величин в комплексные, учитывается величина действующего значения. Например:
e(t) -1 Osin(wz + 30°) -> £ = ^-e/3° = 7,07^3()B,
■y2
/(/)-2sin(co/-60°) —>/
v2
Рассмотрим пример использования символического метода для ре
шения задач.
-
. Мощность в цепи переменного тока
Полная мощность определяется выражением
W * / 5 Т
5= I ±EkI_k=P + jQ9S = ylP
+Q29
к = \
Р - активная мощность, Q - реактивная мощность. Знак плюс выбирает- ся, в случае если ЭДС и ток совпадают по направлению (на схему) и минус в противном случае. * - знак комплексного сопряжения.
Потребляемая активная и реактивная мощности определяются соотношениями соответственно:
о 7V э М э
Р= Е Q = Е хтк1к
xckJk-
com(z)
(112| )2 XL- (|I3| )2 Xc - -5.66
Eo:-V(E.I0) IirfS) - 9.81 I (|ll|)2 R + (|l2| )2 R - 9.811
u2 :-V(I2 i-XL.10) u2l:-124 XL + V(I2R, 10)
ul 12 i XL + I2 R+ V(l 1 R, 10)
il 5= V(I1,I) IO i2 :
V(I2,1 ) IO i3 t= V(I3, !)■ 10 u3 :-V(-I3 i Xc, 10) |ll|-R-11.327 |I2|-R = 8.242 |l2|-XL-8.242 |l3|-Xc-11.655
-
. Показания приборов
Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электротехнике, достаточно большие, поэтому измеряющие приборы нс успевают реагировать на частоту. Вследствие этого приборы показывают нс амплитудное значение, а некоторое усреднённое значение, называемое среднеквадратическим значением или действующим значением. которое определяется соотношением:
= .Ы "(')2^ = =
го го
lu»i
У 1-008(2(0/)^^ _ Ц/п" _ т
com(z)
(112| )2 XL- (|I3| )2 Xc - -5.66
Eo:-V(E.I0) IirfS) - 9.81 I (|ll|)2 R + (|l2| )2 R - 9.811
u2 :-V(I2 i-XL.10) u2l:-124 XL + V(I2R, 10)
ul 12 i XL + I2 R+ V(l 1 R, 10)
il 5= V(I1,I) IO i2 :
V(I2,1 ) IO i3 t= V(I3, !)■ 10 u3 :-V(-I3 i Xc, 10) |ll|-R-11.327 |I2|-R = 8.242 |l2|-XL-8.242 |l3|-Xc-11.655-
. Показания приборов
Т 01 2 ) 2 JT
С учетом последних замечаний при переводе тригонометрических величин в комплексные, учитывается величина действующего значения. Например:
e(t) -1 Osin(wz + 30°) -> £ = ^-e/3° = 7,07^3()B,
■y2
/(/)-2sin(co/-60°) —>/
v2
Рассмотрим пример использования символического метода для ре
шения задач.
-
. Мощность в цепи переменного тока
Полная мощность определяется выражением
W * / 5 Т
5= I ±EkI_k=P + jQ9S = ylP
к=\ к к А' = 1 Lk к к=\ Ск к
Р- активная мощность величина положительная. О- реактивная мощность может быть как положительной так и отрицательной величиной. Если преобладает индуктивная составляющая XL > Хс то >0. Если Хс > XL.то Q< 0.
Лекция № 6
-
. Цени с индуктивно связанными элементами Последовательное соединение катушек с индуктивной связью.
6
Рассмотрим цепь с взаимной индуктивностью. По катушкам протекают токи, направленные в одну сторону. Но провода намотаны в разные стороны. Условно на рисунке этот факт можно обозначиi ь звездочками или точками. При этом токи создают магнитное поле вокруг проводов. В одном случае они складываются, а в другом они
вычитаются. Тогда можно записать уравнение Кирхгофа для последовательного контура, учитывая нс идеальность катушек.
При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны
, di . „ . . di r di . „ _ л di . .
L h iRt 4- M h L-) h iR-) -f- Л/ — — c( t) .
1 dt 1 dt - dt - dl
При встречном соединении, когда токи входят в катушки с разных сторон.
.di . „ , . di , di t di . x
L h iR\ -M \-iR