Файл: Кафедра математики и методики обучения математике методика обучения учащихся тождественным преобразованиям рациональных выражений.docx

Приведём пример.

В сумме трех слагаемых + ( + ) + (-24) слагаемые можно переставить, например, в таком порядке:

(-24) + + ( + ) . Также можно переставить местами слагаемые в знаменателе дроби и при этом дробь примет вид , а выражение под знаком корня тоже является суммой, в которой можно менять местами слагаемые.

Таким образом, множители в выражениях можно менять местами и получать тождественно верные уравнения, сформулируем конкретнее: в произведении перестановка множителей местами не влияет на конечный результат. Сформировано данное правило на переместительном и сочетательном законах умножения, которые подтверждают истинность тождественного преобразования.

2. 
   Раскрытие скобок.
   

Скобки могут содержать записи числовых выражений и выражений с переменными. Данные выражения можно преобразовать в тождественно равные выражения, не имеющие скобок или же имеющие их в меньшем количестве. Этот способ преобразования выражений называют раскрытием скобок.

Приведём пример.

Раскрыть скобки в выражении 5(p-2q+4t)=5p-10q+20t

3. 
   Группировка слагаемых, множителей.
   

В случаях, когда выражение содержит три, и более слагаемых, необходимо использовать такие тождественные преобразования как группировка слагаемых.

Данный способ преобразований предполагает объединение нескольких слагаемых в группу путем их перестановки и заключения в скобки. При проведении группировки слагаемые меняются местами таким образом

---

, чтобы группируемые слагаемые оказались в записи выражения рядом. Впоследствии их можно заключить в скобки.

Сгруппированные слагаемые и множители, могут быть представлены как простыми числами, так и выражениями.

4. 
   Замена разностей суммами, частными произведениями и обратно.
   

Замена разностей суммами стала возможна благодаря знакомству учащихся с противоположными числами. Теперь вычитание из числа числа учащиеся могут рассмотреть как прибавление к числу числа . Равенство = можно считать справедливым и на его основе проводить замену разностей суммами.

Переход к суммам осуществляется от любых разностей. Аналогично учащиеся могут произвести обратную замену. Замена деления на умножение на число, обратное делителю, становится возможной исходя из понятия взаимно обратных чисел.

Данное преобразование записывается: .

Это правило было положено в основу правила деления обыкновенных дробей.

Рассмотрим на примере.

Частное  можно заменить произведением вида   .

Аналогично, деление может быть заменено умножением.

Замена умножения делением поводится по схеме .

5. 
   Выполнение действий с числами.
   

Выполнение действий с числами подчиняется правилу порядка выполнения действий. Во-первых, проводятся действия со степенями чисел и корнями из чисел. Во-вторых, проводится замена логарифмов, тригонометрических и прочих функций на их значения. В-третьих, производятся действия в скобках. Затем, можно проводить все остальные действия слева направо. Важно помнить, что умножение и деление проводят до сложения и вычитания. Действия с числами дают возможность преобразовать исходное выражение тождественное равное ему [2].

Приведём пример.

---

Необходимо преобразовать выражение 7 ⋅ ( − 2) ⋅ + ⋅( ), выполнив все действия с числами.

Первым делом обращаем внимание на степень и корень и вычислим их значения: = 9 и = =4.

Подставим полученные значения в исходное выражение и получим:

7 ⋅ (9 − 2) ⋅ + 16 ⋅ ( ) .

Далее произведём действия в скобках: 9 − 2 = 7. И перейдем к выражению 7 ⋅ 7 ⋅ + 24⋅ ( ).

Остаётся выполнить умножение чисел 7 и 7.

Получаем: 49 ⋅ + 4 ⋅ ( ).

Действиям с числами могут предшествовать иные виды тождественных преобразований, в том числе группировка чисел или раскрытие скобок.

При работе с числовыми выражениями, нашей целью будет являться нахождение значения выражения. Если же мы преобразуем выражения с переменными, то целью наших действий будет упрощение выражения.

6. 
   Вынесение за скобки общего множителя.
   

В примерах, где слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, учащимся следует выносить этот общий множитель за скобки. Для выполнения этого действия в первую очередь необходимо представить данное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, состоящее из исходных слагаемых без общего множителя.

В числовом выражении 27⋅7 + 3⋅27 учащиеся выносят общий множитель 27 за скобки и получают тождественно верное выражение вида 27⋅ (7+ 3).

---

7. 
   Приведение подобных слагаемых.
   

Данный вид тождественных преобразований относится к суммам, содержащим подобные слагаемые. Допустимы два варианта: суммы, содержащие одинаковые слагаемые и суммы, отличающиеся числовым коэффициентом слагаемых. Действия с суммами, содержащими подобные слагаемые, являются приведением подобных слагаемых. Его выполнение проводится так: учащиеся выносят общую буквенную часть за скобки и проводят вычисление суммы числовых коэффициентов в скобках.

Например, 7 + 9 ⋅y − 5 ⋅ y.

Целесообразно вынести буквенную часть y за скобки и получить выражение 7 + y ⋅ (9 − 5)

После этого стоит провести вычисление значения выражения в скобках и получить сумму вида 7 + y ⋅ 4.

8. 
   Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями.
   

Исходное выражение, состоящее из чисел и выражений, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.

Рассмотрим на примере:

9 + , число 9 можно заменить суммой 6 + 3, так учащиеся получат выражение (6 + 3) + , тождественно равное исходному выражению.

9. 
   Прибавление и вычитание одного и того же числа.
   

Прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения является искусственным приемом преобразования выражений.

Приведём пример:

Учащиеся прибавляют и отнимают от него число шестнадцать, что позволяет в последующем провести ещё одно тождественное преобразование – выделить квадрат двучлена:

2. 1   2   3   4   5   6

---

Методика формирования навыков тождественных преобразований

На этапе начал алгебры система приёмов и правил проведения тождественных преобразований выражений имеет обширную область применений и употребляется в течение всего курса математики.

Изучение видов тождественных преобразований начинается с введения формул сокращенного умножения, далее учащиеся знакомятся с тождественными преобразованиями, связанными с возведением чисел в степени, различными классами элементарных функций, таких как показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические. Изучение каждого типа преобразований происходит поэтапно, что позволяет отточить приобретённые знания и выявить отличительные особенности каждого типа преобразований.

Изучая и совершенствуя пройденный материал, внимание учащихся стоит сосредоточить на выявлении общих черт всех рассмотренных преобразований и ввести понятия тождественного и равносильного преобразования.

Понятие тождественного преобразования выдаётся не обобщённо в курсе алгебры, а лишь в условиях применения на выражениях.

Преобразования делятся на два класса: тождественные (преобразования выражений) и равносильные (преобразование формул). При проведении упрощения одной части формулы, в ней выделяется выражение, служащее для аргументации тождественного преобразования. Предикат, который этому соответствует, считается неизменным.

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основных чертах уже сформированная, продолжает стремиться к совершенству. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований, однако они лишь обогащают ее, расширяют ее возможности, не изменяя её структуры. Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры [3].

Главным принципом организации любой системы занятий является принцип изучения от простого к сложному, по мере увеличения сложности заданий. Данный принцип обязывает конкретизировать применение к особенностям курса алгебры. Для описания различных систем заданий в методике математики используют понятие цикл упражнений.

---