ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 249
Скачиваний: 0
2 Дисперсію |
|
світла |
|
|
можна |
пояснити |
на |
основі |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
електромагнітної теорії й електронної теорії речовини. Для |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
цього потрібно розглянути процес взаємодії світла з |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
речовиною. Рух електронів в атомі підлягає законам |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
квантової механіки. Однак, як показав Г.А. Лоренц, для |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
якісного |
|
|
розуміння |
багатьох |
оптичних |
явищ |
можна |
|
|
|
|
|
|
ω |
|||||||||||||||
застосувати методи класичної фізики і використати гіпотезу |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
O |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
про існування усередині атомів електронів, які пов’язані |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
квазіпружно. Будучи виведеними з положення рівноваги, такі |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
електрони починають коливатися, поступово втрачаючи |
Рисунок 66.1. Залежність |
||||||||||||||||||||||||||||
енергію коливання на випромінювання електромагнітних |
показника заломлення n від |
||||||||||||||||||||||||||||
хвиль. Зрозуміло, що такі коливання будуть загасаючими. |
частоти |
світла |
ω |
для |
|||||||||||||||||||||||||
Загасання можна врахувати, ввівши «силу тертя |
випадку |
|
|
|
нормальної |
||||||||||||||||||||||||
випромінювання», яка є пропорційною швидкості електрона. |
дисперсії |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 При проходженні |
|
електромагнітної |
хвилі через |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
речовину кожний електрон опиняється під впливом сили Лоренца |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
(66.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = eE + e[u´ B] |
= eE + em0[u´ H ] , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
де e – заряд електрона, а υ – його швидкість. Як відомо, |
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в електромагнітній хвилі відношення напруженостей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
магнітного |
й |
електричного |
|
|
полів |
у |
хвилі |
дорівнює |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
H / E = |
|
e0 / m0 |
. Отже, |
|
відношення |
магнітної |
й |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
електричної складових сил, що діють на електрон, буде |
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
дорівнювати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
m0uH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= m0u |
|
e0 |
|
= u |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
e0m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
m0 |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де c – |
|
швидкість |
світла. |
Навіть, |
якщо |
б |
амплітуда |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
w0 |
|
ω |
|||||||||||||||||||||||
коливань |
електрона |
A |
|
досягла |
значення |
порядку |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10−10 м, |
|
тобто |
порядку |
|
розмірів |
атома, амплітуда |
Рисунок 66.2 – Аномальний хід |
||||||||||||||||||||||
швидкості |
електрона Aω |
|
|
становила б |
|
приблизно |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
функції |
n(ω) |
|
в |
області |
||||||||||||||||||||||
10−10 ×3×1015 = 3×105 |
м/с |
(циклічна |
частота |
світлової |
|
||||||||||||||||||||||||
поглинання. |
Штриховою |
лінією |
|||||||||||||||||||||||||||
хвилі ω = 2πν |
дорівнює |
приблизно |
3×1015 c−1 ). Таким |
||||||||||||||||||||||||||
показана залежність коефіцієнта |
|||||||||||||||||||||||||||||
чином, |
відношення |
υ / c |
|
менше 10−3 , тому |
другим |
поглинання світла від частоти |
|||||||||||||||||||||||
доданком у (66.2) можна знехтувати. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 Таким |
чином, |
|
можна |
вважати, |
що |
при |
проходженні |
через |
речовину |
||||||||||||||||||||
електромагнітної хвилі кожний електрон знаходиться під впливом сили |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = eE0 cos(wt + j0 ), |
|
|
|
|
|
|
|
(66.3) |
||||||||
де E0 – амплітуда напруженості електричного поля хвилі4 ω – частота електромагнітної хвилі; j0 – початкова фаза коливань електрона.
Видиме світло помітно впливає тільки на зовнішні, що слабше від інших пов'язані з атомом електрони, які називають валентними або оптичними електронами. Власні частоти внутрішніх електронів сильно відрізняються від частот оптичного діапазону. Тому коливання внутрішніх електронів світловою хвилею практично не збуджуються.
Для простоти розглянемо випадок, коли в атомі є тільки один оптичний електрон. Крім того, будемо вважати, що атоми не взаємодіють один з одним (що в першому наближенні справедливо для газоподібних речовин).
Щоб полегшити обчислення, загасанням за рахунок випромінювання спочатку знехтуємо. Рівняння руху електрона у цьому випадку має вигляд
137
&& |
2 |
(66.4) |
r |
+ ω0r = (e / m)E0 cos(ωt + ϕ0 ), |
де ω0 – власна частота коливань електрона.
Легко перевірити підстановкою, що розв’язком рівняння (66.4) буде функція
r(t)= |
(e / m)E0 |
cos(ωt + ϕ |
)= |
(e / m) |
E(t), |
|||
ω2 |
− ω2 |
|||||||
|
ω2 |
− ω2 |
0 |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
де E(t) – напруженість електричного поля світлової хвилі.
Щоб спростити завдання, будемо вважати молекули неполярними. Крім того, оскільки маси ядер великі у порівнянні з масою електрона, знехтуємо зміщенням ядер з положень рівноваги під дією поля хвилі. У цьому наближенні дипольний електричний момент молекули можна подати у вигляді
p(t)= er(t)= |
e2 / m |
E(t). |
||
ω2 |
− ω2 |
|||
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
Позначимо число молекул в одиниці об'єму буквою N . Добуток Np(t) дає вектор поляризації
речовини P(t). Відомо, що діелектрична проникність дорівнює
|
P(t) |
|
|
N p(t) |
||||
ε = 1+ α =1+ |
|
= 1 |
+ |
|
|
|
. |
|
ε0 E(t) |
ε0 |
E(t) |
||||||
Підставивши сюди |
відношення |
|
|
p(t)/ E(t), які |
||||
отримуємо з (66.5), і замінивши ε через n2 , прийдемо до формули
n2 = 1+ |
N |
|
e2 / m |
. |
(66.6) |
||
ε |
|
|
|||||
|
0 |
|
ω2 |
− ω2 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
||
(66.5)
n2
1
0
ω0 ω
Коли врахувати, що до складу молекули |
Рисунок 66.3 – Залежність n2 |
від ω в |
||||||||
входить декілька валентних електронів, які мають |
області поглинання. Якщо знехтувати |
|||||||||
різні власні частоти |
коливань ω0k , то |
з (66.6) |
тертям випромінювання, |
функція |
||||||
отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
n2 (ω) має розриви при резонансній |
||
|
n2 = 1+ |
N |
å |
e |
2 / m |
|
. |
(66.7) |
частоті ω0 коливань оптичного |
|
|
2 |
2 |
електрона атома |
|
||||||
|
|
ε0 k |
ω0k − ω |
|
|
|
||||
При частотах ω, що помітно відрізняються від власної частоти ω0k , вираз (66.7) буде
малим у порівнянні з одиницею, так що n2 ≈ 1. Поблизу власної частоти функція (66.7) має розриви: при прямуванні ω до ω0k зліва вона обертається в + ∞ , при прямуванні ω до ω0k
справа – ( − ∞ ) (див. рис. 66.3). Така поведінка функції обумовлена тим, що ми знехтували тертям випромінювання (нагадаємо, що при нехтуванні тертям амплітуда вимушених коливань при резонансі прагне до нескінченності). Врахування тертя випромінювання
приводить до залежності n2 від ω, що показана на рис. 66.3 суцільною кривою.
Перейшовши від n2 до n , отримаємо криву, що зображена на рис. 66.2. Ділянка 1–2 є аналогічною до кривої, що наведена на рис. 66.1. Ділянки 1–2 і 3–4 відповідають нормальній дисперсії ( dn / dω > 0 ). На ділянці 2–3 дисперсія є аномальною ( dn / dω < 0 ).
138
РОЗДІЛ 4 КВАНТОВА ПРИРОДА ВИПРОМІНЮВАННЯ
ТЕМА 11 ТЕПЛОВЕ ВИПРОМІНЮВАННЯ
§ 67 Теплове випромінювання, енергетична світність, поглинальна здатність та випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла. Зв’язок між випромінювальною здатністю як функцією частоти та випромінювальною здатністю як функцією довжини хвилі [6]
1 Тепловим випромінюванням називається електромагнітне випромінювання, що випускається тілами за рахунок їх внутрішньої енергії. Світіння, що збуджується за рахунок інших видів енергії (крім внутрішньої), називають люмінесценцією. На відміну від люмінесценції теплове випромінювання здатне перебувати в термодинамічній рівновазі з речовиною. Ця властивість є характерною ознакою теплового випромінювання. Тому теплове випромінювання називають рівноважним випромінюванням.
До рівноважних станів і процесів можна застосовувати закони термодинаміки. Тому теплове випромінювання повинне підкорятися деяким загальним закономірностям, що випливають із принципів термодинаміки.
2 Теплове випромінювання будемо характеризувати потоком енергії Φ = dW / dt , тобто кількістю енергії, що випромінюється за одиницю часу. Потік енергії, що випускається одиницею поверхні випромінюючого тіла в усіх напрямках (у межах тілесного кута 2π), називають енергетичною світністю тіла:
|
|
|
|
R = |
dΦ |
. |
|
dS |
|
||
Чим вища температура тіла, тим більше буде випромінюватися енергії за одиницю часу з одиниці поверхні. Таким чином, енергетична світність R є функцією абсолютної температури T .
Випромінювання складається із хвиль різних частот ω (або довжин λ ). Позначимо потік енергії, що випускається одиницею поверхні тіла (тобто світність) в інтервалі частот
dω , через dRω . При малому інтервалі dω світність dRω буде пропорційною dω : |
|
dRω = rωdω . |
(67.1) |
Величина rω у співвідношенні (67.1) називається випромінювальною здатністю тіла. Як і енергетична світність, випромінювальна здатність сильно залежить від температури тіла. Таким чином, rω є функція частоти ω й температури T . Щоб підкреслити, що енергетична світність залежить також і від температури, її інколи записують у такому вигляді: rωT .
Енергетична світність пов'язана з випромінювальною здатністю формулою
∞ |
|
R = òdRω = òrωdω . |
(67.2) |
0 |
|
3 Випромінювання можна характеризувати замість частоти |
ω довжиною хвилі λ . |
Ділянці спектра dω буде відповідати інтервал довжин хвиль dλ . Величини dω й dλ , які визначають одну і ту саму ділянку, пов’язані простим співвідношенням, що випливає з формули λ = 2πc / ω. Диференціювання дає
dλ = − |
2πc dω = − |
λ2 |
dω. |
(67.3) |
|
2πc |
|||||
|
ω2 |
|
|
139
Знак мінус у цьому виразі не має істотного значення, він лише вказує на те, що зі зростанням однієї з величин, ω або λ , інша величина зменшується. Тому мінус надалі ми не будемо писати.
Частина енергетичної світності, що припадає на інтервал dλ , може бути за аналогією з (67.1) подана у вигляді
|
|
|
|
|
|
dRλ = rλdλ |
. |
(67.4) |
|
Величину rλ зі співвідношення |
(67.4) також |
називають випромінювальною |
||
здатністю тіла. Якщо інтервали dω й |
dλ , що входять у вирази (67.1) і (67.4), пов’язані |
|||
співвідношенням (67.3), тобто належать до однієї і тієї самої ділянки спектра, то величини dRω й dRλ повинні збігатися:
rωdω = rλdλ .
Замінивши в останній рівності dλ , згідно з (67.3) отримаємо
r dω = r |
2πc dω = r |
|
λ2 |
dω, |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
ω |
λ |
ω2 |
λ 2πc |
|
|||||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2πc |
|
λ2 |
|
|
|
||
|
rω = rλ ω2 |
= rλ |
|
|
. |
(67.5) |
|||
|
2πc |
||||||||
За допомогою формули (67.5) можна перейти від rλ |
до rω і навпаки. |
|
|||||||
4 Нехай на елементарну площадку поверхні тіла падає потік енергії теплового |
|||||||||
випромінювання dΦω , що обумовлений електромагнітними хвилями, |
частота яких |
||||||||
знаходиться в інтервалі dω . Частина цього потоку dΦ′ω буде поглинута тілом. Безрозмірна
величина
|
|
|
|
aωT = |
dΦ′ω |
(67.6) |
|
dΦω |
|||
|
|
називається поглинальною здатністю тіла. Поглинальна здатність тіла є функцією частоти й температури.
Для тіла, що повністю поглинає випромінювання всіх частот, яке падає на нього, поглинальна здатність дорівнює одиниці: aωT =1. Таке тіло називається абсолютно
чорним. Тіло, для якого aωT ≡ aT = const < 1, називають сірим.
§ 68 Закон Кірхгофа. Універсальна функція Кірхгофа. Експериментальне дослідження універсальної функції Кірхгофа [6]
1 Між випромінювальною і поглинальною здатностями будь-якого тіла є зв'язок. У цьому можна переконатися, розглянувши такий експеримент. Нехай усередину замкнутої оболонки, яка підтримується при сталій температурі T , поміщені кілька тіл (рис. 68.1). Порожнина усередині оболонки евакуйована, так що тіла можуть обмінюватися енергією між собою й з оболонкою лише шляхом випромінювання й поглинання електромагнітних хвиль. Дослід показує, що така система через деякий час набуде стану теплової рівноваги – усі тіла матимуть одну і ту саму температуру, що дорівнює температурі оболонки T . У такому стані тіло, що має більшу випромінювальну здатність rωT , втрачає за одиницю часу з одиниці
поверхні більше енергії, ніж тіло, що має меншу rωT . Оскільки температура (а отже, і енергія) тіл не змінюється, то тіло, що випромінює більше енергії, повинне й більше
140