ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 250
Скачиваний: 0
поглинати, тобто мати більшу aωT . Таким чином, чим більша випромінювальна здатність тіла rωT , тим більша і його поглинальна здатність aωT . Звідси випливає співвідношення
æ |
rωT |
ö |
æ |
rωT |
ö |
æ |
rωT |
ö |
|
|
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
= ..., |
||||
|
|
|
||||||||
ç |
|
÷ |
= ç |
|
÷ |
= ç |
|
÷ |
||
è aωT ø1 |
è aωT ø2 |
è aωT ø3 |
|
|||||||
де індекси 1, 2, 3 і т.д. характеризують різні тіла. Співвідношення (68.1) виражає закон Кірхгофа:
відношення випромінювальної та поглинальної здатностей не залежить від природи тіла, воно є для всіх тіл однією й тією самою універсальною функцією частоти (довжини хвилі) і температури:
|
|
|
rωT / aωT = f (w,T ) |
. |
(68.2) |
(68.1)
1
2
3
Для |
абсолютно чорного тіла |
за |
визначенням |
aωT |
=1. |
|
||
Отже, з формули (68.2) випливає, |
що |
rωT |
для такого |
тіла |
Рисунок 68.1 – Тіла, помі- |
|||
дорівнює |
f (w,T ). Таким чином, |
універсальна |
функція |
щені в евакуйовану по- |
||||
Кірхгофа |
f (w,T ) є випромінювальною здатністю абсолютно |
рожнину, стінки якої під- |
||||||
тримуються при незмін- |
||||||||
чорного тіла. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ній температурі |
|||
2 При теоретичних дослідженнях |
для |
характеристики |
||||||
|
||||||||
спектрального складу рівноважного теплового випромінювання зручніше користуватися функцією частоти f (w,T ). В експериментальних роботах зручніше користуватися функцією
довжини хвилі j(l,T ). Обидві функції пов'язані одна з одною формулою
|
|
|
|
f (w,T )= |
2pc |
j(l,T )= |
l2 |
j(l,T ), |
||||||
|
|
|
|
|
2pc |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
w2 |
|
|
|
||||
яка |
випливає |
з |
відповідних |
співвідношень |
між |
|||||||||
випромінювальними здатностями rωT |
та rλT . Згідно з (68.3) |
|||||||||||||
для того, щоб за відомою функцією |
f (w,T ) знайти j(l,T ), |
|||||||||||||
необхідно замінити |
в f (w,T ) |
частоту |
через |
|
2πc / λ і |
|||||||||
отриманий вираз помножити на 2pc / l2 : |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
j(l,T )= |
2pc |
f |
æ 2pc |
ö |
|
|
|
|
|
|
(68.4) |
|
|
|
l2 |
ç |
,T ÷ . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
è l |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
знаходження |
|
f (w,T ) за |
|
відомою |
j(l,T ) |
|
|
потрібно |
|||||
скористатися співвідношенням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
f (w,T )= |
2pc |
æ 2pc |
|
ö |
||||
|
|
|
|
|
|
w2 |
jç |
|
|
,T ÷ . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è w |
|
|
ø |
||
(68.3)
Рисунок 68.2 – Модель абсолютно чорного тіла
(68.5)
3 Абсолютно чорних тіл у природі не існує. Сажа має поглинальну здатність aωT , яка
є близькою до одиниці лише в обмеженому інтервалі частот; у далекій інфрачервоній області їх поглинальна здатність помітно менша одиниці. Однак можна створити пристрій, який є дуже близьким за своїми властивостями до абсолютно чорного тіла. Такий пристрій являє собою майже замкнуту порожнину з малим отвором (рис. 68.2). Випромінювання, що проникло усередину через отвір, перш ніж вийти назад з отвору, багато разів відбивається від внутрішніх стінок. При кожному відбитті частина енергії поглинається, у результаті чого практично все випромінювання будь-якої частоти такою порожниною поглинається. Відповідно до закону Кірхгофа випромінювальна здатність такого пристрою дуже близька до f (w,T ), причому T означає температуру стінок порожнини. Таким чином, якщо стінки
141
порожнини підтримувати при деякій температурі T , то з отвору виходить випромінювання, яке є досить близьким за спектральним складом до випромінювання абсолютно чорного тіла при тій самій температурі. Розкладаючи це випромінювання у спектр за допомогою дифракційної решітки й вимірюючи інтенсивність різних ділянок спектра, можна знайти експериментально вигляд функції f (ω,T ) або ϕ(λ,T ). Результати таких дослідів наведені на
рис. 68.3. Різні криві відносять до різних значень температури T абсолютно чорного тіла. Площа, яку охоплює крива, дає енергетичну світність абсолютно чорного тіла при відповідній температурі.
ϕ(λ,T ),1011 Вт/м3 |
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
2000 К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1790 К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1600 К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
λ,103 |
нм |
|||
Рисунок 68.3 – Експериментальні криві залежності випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла від довжини хвилі для трьох значень температури
Зрис. 68.3 випливає, що енергетична світність абсолютно чорного тіла сильно зростає
зтемпературою. Максимум випромінювальної здатності зі збільшенням температури зміщується убік більш коротких хвиль.
§ 69 Закон Стефана-Больцмана, формула Віна, закон зміщення Віна [6]
1 Теоретичне пояснення законів випромінювання абсолютно чорного тіла мало величезне значення в історії фізики – воно привело до поняття квантів енергії.
Довгий час спроби отримати теоретично вигляд функції f (ω,T ) не давали загального
розв’язку проблеми. В 1879 р. Стефан, аналізуючи експериментальні дані, дійшов висновку, що енергетична світність будь-якого тіла пропорціональна четвертому ступеню термодинамічної температури. Однак наступні більш точні виміри показали помилковість його висновків.
У 1884 р. Больцман, виходячи з термодинамічних міркувань, отримав теоретично для енергетичної світності абсолютно чорного тіла значення
∞
R* = ò f (ω,T )dω = σT 4 , (69.1)
0
де σ – стала величина; T – термодинамічна температура. (Щоб підкреслити, що мова йде про енергетичну світність абсолютно чорного тіла, ми позначили R зірочкою.) Таким чином, висновок, до якого Стефан прийшов для нечорних тіл (з абсолютно чорними тілами він не експериментував), виявися справедливим лише для абсолютно чорних тіл.
142
Співвідношення (69.1) між енергетичною світністю абсолютно чорного тіла і його термодинамічною температурою отримало назву закону Стефана-Больцмана. Константу
σ називають сталою Стефана-Больцмана. Її експериментальне значення дорівнює
s = 5,670×10−8 Вт/(м2 ×К4 ). |
(69.2) |
||||||||||||||||
2 У 1893 р. Він, скориставшись, крім термодинаміки, електромагнітною теорією, |
|||||||||||||||||
показав, що універсальна функція Кірхгофа повинна мати вигляд |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ w |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (w,T )= w3Fç ÷ |
|
, |
|
|
|
(69.3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è T |
ø |
|
|
|
|
|||
де F – деяка функція відношення частоти до температури. Співвідношення (69.3) отримало |
|||||||||||||||||
назву формули Віна. |
|
|
f (w,T ) і j(l,T ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 Використовуючи зв'язок між |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
j(l,T )= |
2pc |
æ |
2pc |
,T |
ö |
|
|
||||||||||
l2 |
f ç |
l |
÷ , |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
||||||
а також (69.3) знайдемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j(l,T )= |
2pc æ |
2pc ö3 |
æ 2pc ö |
1 |
y(lT ), |
|
|||||||||||
2 |
ç |
|
|
÷ Fç |
|
|
÷ |
= |
|
|
(69.4) |
||||||
l |
|
|
|
5 |
|||||||||||||
|
l |
è |
ø |
è lT ø |
|
|
|
l |
|
||||||||
де y(lT ) – деяка функція добутку λT .
Співвідношення (69.4) дозволяє встановити залежність між довжиною хвилі lm максимуму функції j(l,T ) і температурою. Продиференцiюємо це співвідношення за λ :
|
dj |
æ 1 |
|
ö′ |
1 |
¢ |
|
5 |
|
1 |
|
¢ |
(lT )-5y(lT )]. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= ç 5 |
|
y(lT )÷ = |
|
(lT )- |
|
6 y(lT )= |
|
|
(69.5) |
|||||
|
dl |
|
5 Ty |
|
6 [lTy |
|||||||||||
|
è l |
ø |
l |
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
||||
Вираз у квадратних дужках є деякою функцією Y(lT ). |
При довжині хвилі lm , що |
|||||||||||||||
відповідає максимуму функції j(l,T ), вираз (69.5) повинен дорівнювати нулю: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ dj ö |
= |
1 |
Y(lmT )= 0 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ç ÷ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
l6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
è dl øλ=λm |
|
|
|
|
|
|
||||
З досліду відомо, що lm |
є скінченною ( lm ¹ ¥ ). Тому повинна виконуватися умова |
|||||||||||||||
Y(lmT )= 0 . Розв’язок |
останнього рівняння відносно |
невідомого lmT дасть |
для цього |
|||||||||||||
невідомого деяке число, яке позначимо буквою b . Таким чином, отримали співвідношення
|
|
|
lmT = b |
, |
(69.6) |
яке називають законом зміщення Віна. Експериментальне значення константи b дорівнює
b = 2,898×10−3 м ×К . |
(69.7) |
§ 70 Формула Релея-Джинса. Ультрафіолетова катастрофа [6]
1 Загальний метод теоретичного визначення функції f (w,T ) в рамках класичної
фізики був запропонований Релеєм і пізніше розвинений Джинсом. З позицій класичної фізики доведення Релеєм та Джинсом універсальної функції Кірхгофа було бездоганним, однак з дослідом отриманий результат не узгоджувався. Ця розбіжність отримала назву ультрафіолетової катастрофи.
Функцію Кірхгофа f (w,T ), яка точно відповідає експериментальним даним, вдалося знайти М.Планку в 1900 р. При цьому йому довелося використати далеке від класичних
143
уявлень припущення, що електромагнітне випромінювання випускається у вигляді окремих порцій енергії (квантів). Це було народженням квантової фізики.
2 Розглянемо схему доведення функції Кірхгофа, що є справедливою як і у випадку доведення Релея-Джинса, так і у випадку доведення Планка.
1Універсальна функція Кірхгофа f (w,T ), яка є випромінювальною здатністю абсолютно чорного тіла (усереднена за напрямками спектральна густина потоку енергії), пов’язана зі спектральною густиною енергії теплового випромінювання uω співвідношенням подібним до формули вектора Умова
f (w,T )= c ×uω / 4 , |
(70.1) |
де c – швидкість світла.
2 Теплове випромінювання є сукупністю власних коливань системи. Визначаємо спектральну кількість власних коливань в одиниці об’єму nω .
3Знаходимо середню енергію одного коливання e .
4Спектральну густину енергії теплового випромінювання визначаємо як добуток спектральної кількості коливань в одиниці об’єму на середню енергію одного коливання
uω = nω e . |
(70.2) |
Далі, підставляючи вираз (70.2) у співвідношення (70.1), знаходимо шукану універсальну функцію Кірхгофа
f (w,T )= c ×nω e / 4.
Доведення універсальної функції Кірхгофа Релеєм-Джинсом та Планком відрізняються лише способом знаходження середньої енергії одного коливання e .
3 Розглянемо доведення універсальної функції Кірхгофа Релеєм-Джинсом.
Перший пункт схеми
Спектральною густиною енергії теплового випромінювання називають функцію uω , яка пов’язана з густиною енергії таким співвідношенням:
∞ |
|
w = òuωdw , |
(70.3) |
0 |
|
де ω – циклічна частота електромагнітної хвилі. Як відомо, енергетична світність абсолютно чорного тіла (потік енергії, що випускається одиницею поверхні випромінюючого тіла в усіх
∞
напрямках) пов’язана з універсальною функцією Кірхгофа таким чином R* = ò f (w,T )dw. З
0
іншого боку спрямований потік енергії через одиницю поверхні (густина потоку j ) пов’язаний з густиною енергії вектором Умова j = w×c . Це означає, що має місце зв’язок
∞ |
∞ |
|
R* = ò f (w,T )dw ~ w×c = c × òuωdw , або f (w,T )~ c ×uω . |
(70.4) |
|
0 |
0 |
|
Останній вираз у (70.4) пояснює співвідношення (70.1). Коефіцієнт 1/4 у формулі (70.1)
пов’язаний з тим, що теплове випромінювання поширюється у всіх напрямках у межах тілесного кута 2π, а вектор Умова визначає співвідношення між величинами хвилі, яка поширюється в одному визначеному напрямку.
Другий пункт схеми
Розглянемо одновимірний випадок. Із вчення про коливання й хвилі відомо, що в закріпленій на кінцях струні найбільш інтенсивними є коливання лише таких частот, коли на довжині струни вкладається ціле число напівхвиль. Ці коливання мають характер стоячих хвиль, причому на кінцях струни знаходяться вузли хвилі. Кількість стоячих хвиль і визначає
144
кількість власних коливань системи. Якщо довжина одновимірної області (об’єм одновимірної області) дорівнює a , то тоді можемо записати a = N ×l / 2 , де N – кількість стоячих хвиль (кількість власних коливань), що виникають у досліджуваній системі. Використаємо зв’язок між довжиною хвилі та частотою l = 2pc / w , і знайдемо кількість власних коливань в одиниці об’єму:
n = |
N |
= |
2a |
= |
2ω |
= |
ω |
. |
(70.5) |
a |
λa |
2πc |
|
||||||
|
|
|
|
πc |
|
||||
Далі знаходимо спектральну густину коливань (кількість коливань на одиницю частоти)
n |
= |
dn |
= |
|
dω |
|
= |
1 |
. |
(70.6) |
|
|
|
|
|
||||||
ω |
|
dω |
πcdω πc |
|
||||||
Розглянемо тривимірний випадок. Аналогічно як і у одновимірній ситуації можна |
||||||||||
знайти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
= |
ω2 |
. |
|
|
(70.7) |
||
|
|
π2c3 |
|
|
||||||
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут враховано, що електромагнітні хвилі теплового випромінювання мають дві взаємно перпендикулярні лінійні поляризації.
Третій пункт схеми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Релей |
і |
Джинс |
визначили |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
середню |
енергію |
одного |
коливання, |
3 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
виходячи |
з |
теореми |
класичної |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Вт/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
статистичної фізики про |
рівномірний |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
розподіл |
кінетичної |
енергії |
за |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
|
|
|
|
|||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ступенями вільності. Згідно |
з |
цією |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Релея-Джинса |
|
||||||||||||
теоремою на кожен ступінь вільності |
К), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
припадає однакова кінетична енергія, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
λ,2000 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
що дорівнює kT / 2, де T |
– абсолютна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
температура; |
k |
– стала |
Больцмана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ϕ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Якщо ступінь вільності коливальна, то |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
потрібно врахувати ще й потенціальну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
енергію. У випадку гармонічних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
коливань |
|
середнє |
значення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
потенціальної енергії дорівнює також |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 5 6 |
7 8 |
λ,103 мм |
|||||||||||||||||||
kT / 2. |
Таким |
чином, |
у |
|
стані |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
статистичної |
рівноваги |
на |
кожний |
Рисунок 70.1 Криві |
залежності |
випромінювальної |
|||||||||||||||||||
коливальний |
ступінь |
вільності |
|||||||||||||||||||||||
здатності |
|
|
ϕ(λ) |
абсолютно |
чорного |
тіла від |
|||||||||||||||||||
припадає середня енергія, що дорівнює |
|
|
|||||||||||||||||||||||
довжини |
|
|
хвилі. |
|
Суцільна |
крива |
отримана |
||||||||||||||||||
kT . Тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
експериментально, штрихова крива побудована за |
||||||||||||||||||||
|
|
ε |
= kT . |
|
|
(70.8) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
формулою Релея-Джинса |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Четвертий пункт схеми
Енергію в одиниці об’єму uωdω, що припадає на спектральний інтервал dω , можемо знайти, перемножуючи кількість коливань nωdω в цьому самому спектральному інтервалі на середню енергію такого коливання ε = kT . Таким чином, використовуючи (70.7) та (70.8) знаходимо
uω = |
ω2kT |
. |
(70.9) |
||
2 |
c |
3 |
|||
|
π |
|
|
|
|
Далі використовуючи (70.1), знаходимо шукану універсальну функцію Кірхгофа за Релеєм-Джинсом:
145