ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 200
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
1 |
|
|
q q |
2 |
|
r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
r12 |
. |
|
|
(84.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
4pe |
0 |
r |
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Величину |
e0 |
|
|
називають |
|
електричною |
сталою. |
Зрозуміло, |
що |
|||||||||||||
1/ 4pe0 = 9×109 Н×м2/Кл2. Звідки, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e0 |
= |
1 |
|
Кл2 |
/(Н × м2 ) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
Ф / м » 8,854×10−12Ф / м , |
|
(84.5) |
|||||||
4p×9 |
×109 |
4p×9×109 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
де Φ (фарад) – одиниця ємності.
3 Експериментально встановлено, що сила взаємодії двох зарядів не змінюється,
якщо поблизу них помістити інші електричні заряди. |
Нехай |
крім заряду q є заряди |
||
q1, q2 ,...,qN . Тоді результуюча сила |
F , з якої діють на q |
усі N |
зарядів qi , визначається |
|
формулою |
|
|
|
|
|
r |
N r |
|
|
|
F |
= åFi , |
|
(84.6) |
|
|
i=1 |
|
|
де Fi сила, з якої діє на q заряд |
qi за умови відсутності інших N −1 зарядів. Про цю |
|||
властивість говорять як про принцип суперпозиції електричних сил.
Принцип суперпозиції електричних сил дозволяє за допомогою закону Кулона обчислити силу взаємодії між зарядами, які розміщені на тілах скінченних розмірів. Для цього потрібно розбити кожний із скінченних зарядів на такі малі заряди dq , щоб їх можна
було вважати точковими. Далі потрібно провести обчислення за формулою (84.2) сили
взаємодії між зарядами dqi |
одного тіла й зарядами dqk іншого тіла, узятими попарно, і потім |
виконати векторне додавання цих сил. |
|
§ 85 Електричне |
поле. Напруженість електричного поля. Напруженість |
електричного поля точкового заряду. Принцип суперпозиції електричних |
|
полів [5] |
|
1 Яким чином здійснюється взаємодія між електричними зарядами? Безпосередньо, чи за допомогою матеріального посередника?
На сьогодні експериментально доведено, що взаємодія між електричними зарядами передається за допомогою особливого матеріального посередника, який називається
електромагнітним полем.
Усякий електричний заряд збуджує в навколишньому його просторі електричне поле.
Електричне поле – матеріальний об’єкт, який проявляє себе в тому, що на поміщений у будь-яку його точку електричний заряд діє сила. Тобто, щоб установити наявність електричного поля, потрібно помістити у відповідну точку простору заряд (заряджене тіло) і з'ясувати, чи відчуває він дію сили чи ні. Величина сили, що діє на заряд, буде
характеризувати «інтенсивність» електричного поля. |
|
|
|||
Таким чином, для виявлення й дослідження |
|
|
|||
електричного поля можна використовувати «пробний» заряд. |
|
F |
|||
Для того щоб сила, яка діє на пробний заряд, характеризувала |
|
||||
|
|
||||
поле «у даній точці», цей заряд повинен бути точковим. |
r |
|
|||
Проведемо |
дослідження поля нерухомого |
точкового |
q |
||
заряду Q за допомогою точкового пробного заряду q . У |
|
|
|||
точці, положення |
якої відносно |
заряду Q визначається |
Q |
|
|
радіус-вектором |
r (рис. 85.1), |
на пробний |
заряд у |
|
|
|
|
||||
відповідності до закону Кулона буде діяти сила |
|
Рисунок 85.1 |
|||
|
|
141 |
|
|
|
r |
æ |
1 |
|
|
|
ö |
|
|
|
ç |
|
Q |
r ÷ |
(85.1) |
|||
|
|
|
||||||
F = qç |
4pe0 |
|
r |
3 |
|
r ÷ . |
||
|
è |
|
|
ø |
|
|||
З формули (85.1) випливає, що відношення |
|
F / q не залежить від величини пробного |
||||||
заряду. Це відношення залежить тільки від величин Q і r , які визначають поле в даній точці. Тому це відношення використовують як величину, що характеризує електричне поле. Позначивши цю величину буквою E , напишемо співвідношення
|
E = F / q |
. |
(85.2) |
Векторну величину E називають напруженістю |
електричного поля в даній точці |
||
простору. |
|
||
Визначення (85.2) поширюється на поля, які створюються будь-якою сукупністю нерухомих зарядів. Однак потрібно зробити таке уточнення. Розміщення зарядів, які збуджують досліджуване поле, може змінитися під впливом пробного заряду. Це відбудеться, наприклад, коли заряди, які визначають електричне поле, розміщені на провіднику й можуть вільно переміщуватись у його межах. Тому, щоб не внести помітних змін у досліджуване поле, пробний заряд потрібно брати досить малим.
За одиницю напруженості електричного поля береться напруженість у такій точці, у якій на заряд в один кулон діє сила в один ньютон. Ця одиниця має назву ньютон на кулон (Н/Кл) або вольт на метр (В/м).
2 З формули (85.1) та (85.2) випливає, що напруженість поля точкового заряду Q
визначається виразом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1 |
|
Q r |
|
1 |
|
Q r |
|
|
||
|
E = |
|
|
|
r |
= |
|
|
|
er |
, |
(85.3) |
4pe0 |
|
r3 |
4pe0 |
|
r2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r
де er – орт радіус-вектора r , проведеного від заряду Q в дану точку поля. Направлений
r
вектор E уздовж радіальної прямої, яка обумовлена ортом er , від заряду, якщо він додатний, і до заряду, якщо він від’ємний.
3 Згідно з (85.2) на точковий заряд q у точці поля з напруженістю E діє сила |
|
F = qE . |
(85.4) |
Як відомо, для електричних сил виконується принцип суперпозиції електричних сил.
r |
N |
r |
F |
= åFi , |
|
|
i=1 |
|
де Fi сила, з якою заряд qi діє на точковий q |
за умови відсутності інших N −1 зарядів. |
|
Підставимо це співвідношення в (85.4), проведемо перетворення і отримаємо
N |
r |
r |
r |
N |
r |
åFi = qE , |
E = å(Fi |
||||
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
)= åN r .
/ q Ei
i=1
Тобто напруженість поля системи зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, які створював би кожний із зарядів окремо:
|
|
|
E = åEi |
. |
(85.5) |
Таким чином, поля складаються, не збурюючи один одне. Це твердження називають
принципом суперпозиції електричних полів.
Принцип суперпозиції дозволяє обчислювати напруженість поля будь-якої системи зарядів. Розбивши скінченні заряди на досить малі dq , їх можна звести до сукупності точкових зарядів. Внесок кожного з таких зарядів у результуюче поле обчислюється за
142
формулою (85.3). Результуюче поле знаходимо за допомогою принципу суперпозиції електричних полів (85.5).
§ 86 Робота з переміщення заряду в електростатичному полі. Теорема про циркуляцію електростатичного поля. Потенціальна енергія точкового заряду. Потенціал електричного поля. Потенціал системи зарядів [5]
1 Розглянемо нерухомий точковий електричний |
|
|
2 |
||||||
заряд Q , який створює у вакуумі |
електричне |
поле |
|
q |
|||||
E = (Q / 4pe |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
r3 ) × r . Нехай у цьому полі переміщується |
1 |
r |
|
|||||
|
|
переходить із |
|
||||||
інший точковий заряд q , який |
|
|
|||||||
початкового положення 1 в кінцеве положення 2 |
|
|
|
||||||
вздовж довільної кривої 1-2 (див. рис. 86.1). Визначимо |
|
Q |
|
||||||
роботу, яку виконують сили поля при такому |
|
|
|||||||
|
Рисунок 86.1 |
|
|||||||
переміщенні. |
|
|
|
|
|
|
|||
Відповідно до закону Кулона на точковий заряд q з боку заряду Q діє сила |
|
||||||||
|
|
r |
1 |
Qq r |
r |
|
|
|
|
|
|
F |
= |
|
r3 r |
= qE , |
|
|
(86.1) |
|
|
4pe0 |
|
|
|||||
де E – напруженість поля, що створюється зарядом Q . Згідно до визначення роботи сили на
ділянці 1-2 отримуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
r |
2 |
|
r r |
2 |
rdr |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
rdr |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A12 = òFdr |
= ò |
|
|
|
|
= ò |
|
|
r3 |
= |
|
|
r |
- |
|
|
r . |
(86.2) |
||
4pe |
0 |
r3 |
4pe |
0 |
4pe |
0 |
4pe |
0 |
||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||||
Тут використали, що rdr = rdr (у цьому легко впевнитися, продиференціювавши тотожність
(rr)2 = (r)2 ).
Таким чином, при будь-якому виборі початкової й кінцевої точок 1 і 2 робота A12 не
залежить від форми шляху, а визначається тільки положеннями цих точок. Силові поля, що задовольняють такій умові, називаються консервативними або потенціальними. Отже, електростатичне поле точкового заряду є консервативним або потенціальним.
Доведене справедливо для електричного поля будь-якої системи нерухомих точкових зарядів. Це безпосередньо випливає із принципу суперпозиції електричних полів і з відомої теореми механіки, відповідно до якої робота результуючої сили дорівнює сумі робіт складових сил. Таким чином, електричне поле будь-якої системи нерухомих зарядів є консервативним або потенціальним.
2 З механіки відомо, що робота консервативних сил по будь-якому замкненому шляху дорівнює нулю. У випадку електростатичного поля ця робота визначається інтегралом
ò Fdl = òqEdl (тут елементарне переміщення позначено через dl , кружок біля знака
інтеграла вказує на те, що інтегрування виконується по замкненому контуру). Прирівнявши цей інтеграл до нуля й скоротивши на q , прийдемо до співвідношення
|
òEdl = 0 |
, |
(86.3) |
|
L |
|
|
яке повинне виконуватися для будь-якого замкненого контура |
L . Інтеграл виду ò Adl |
||
називається циркуляцією вектора A по замкненому контуру. Таким чином, характерним
для електростатичного поля є те, що циркуляція вектора E по будь-якому замкненому контуру дорівнює нулю. Це твердження і співвідношення (86.3) називають теоремою про циркуляцію напруженості електростатичного поля.
143
Необхідно мати на увазі, що умова (86.3) є справедливою тільки для електростатичного поля. Далі буде показано, що для поля, яке змінюється з часом умова (86.3) не виконується.
3 Знайдемо потенціальну енергію точкового заряду q в полі заряду Q . Відомо, що робота консервативних сил може бути подана як зменшення потенціальної енергії:
A12 =Wp,1 -Wp,2 .
Порівняння цього співвідношення з формулою (86.2) дає для потенційної енергії, яку має заряд q у полі заряду Q , вираз
Wp = |
1 |
+ const . |
||
4pe0 |
r |
|||
|
|
Значення константи у даному випадку вибирається так, щоб при віддаленні заряду q від заряду Q на нескінченність (тобто для r = ∞ ) потенціальна енергія ставала такою, що дорівнює нулю. За такої умови випливає, що const = 0 , і потенціальна енергія заряду q у
полі заряду Q має вигляд
Wp = |
1 |
|
|
. |
(86.4) |
||
4pe0 |
r |
||||||
|
|
|
|
||||
Зауважимо, що отриманий вираз потрібно розглядати як взаємну потенціальну енергію зарядів q і Q (потенціальну енергію взаємодії двох точкових зарядів).
4 Скалярна величина, що дорівнює відношенню потенціальної |
енергії до її |
||||
електричного заряду |
|
|
|
|
|
|
j = |
Wp |
|
|
(86.5) |
|
q |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
не залежить від величини заряду q й може бути використана для характеристики поля. Ця
величина називається потенціалом поля в даній точці. Дійсно, у випадку точкового заряду Q потенціал його поля буде мати вигляд
j = |
Wp |
= |
1 |
|
Q |
|
(86.6) |
q |
4pe0 |
|
r |
|
|||
|
|
|
|
|
і не буде залежати від заряду q , а буде визначатися тільки величинами Q і r , які
характеризують поле в даній точці.
Відповідно до формули (86.5) заряд q , що знаходиться в точці поля з потенціалом ϕ , має потенційну енергію
|
Wp = qj. |
(86.7) |
|
Використовуючи (86.7), виразимо роботу сил поля над зарядом q |
через різницю |
||
потенціалів: |
|
||
|
|
|
|
|
A12 = Wp,1 -Wp,2 = q(j1 - j2 ) |
. |
(86.8) |
Таким чином, робота, що виконується над зарядом силами поля, дорівнює добутку заряду на зменшення потенціалу.
5 Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів робота, яка виконується над зарядом q силами поля, що створено системою зарядів qi , дорівнює
2 |
r r |
2 |
r |
r |
|
æ |
2 |
r |
r ö |
|
A12 = òqEdl |
= òq(åEi )dl |
= |
åçç |
òqEidl ÷÷ = å(A12 )i , |
(86.9) |
|||||
1 |
|
1 |
|
|
|
è |
1 |
|
ø |
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|