Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.03.2024

Просмотров: 202

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

r

1

 

qr

 

 

E =

 

.

(89.1)

4pe0

 

 

 

r3

 

Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли поверхня S є сферою, а точковий заряд q розміщено в її центрі. Потік вектора E через елементарну площадку цієї сфери дорівнює

 

r

r

1

 

 

qr

 

 

r

1

 

 

 

q

 

 

dF = E × dS =

 

 

 

× ndS =

 

 

 

 

 

 

 

 

×dS

 

 

4pe0

 

r3

4pe0

r2

 

 

(тут n || r див. рис. 89.2), а потік через всю сферу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

1

 

 

q

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

q

 

 

 

 

F º òEdS =

 

 

 

× òdS =

 

 

 

 

× S

 

 

4pe0

 

2

 

4pe0

 

 

2

 

 

 

S

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

(тут r = const ). Поверхня сфери S

дорівнює 4pr2 , тому потік вектора E

через замкнену

поверхню дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

 

1

 

 

 

q

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

F º òEdS =

 

 

 

 

×4pr2 =

 

 

.

 

(89.2)

4pe0

 

2

e0

 

 

 

S

 

 

 

r

 

 

 

 

Покажемо тепер, що результат (89.2) не залежить від форми

dS

E

поверхні S , що оточує заряд q . Візьмемо

 

 

довільну

елементарну

 

 

 

 

площадку dS з встановленим на ній додатним напрямком нормалі n

dSr

α

(рис. 89.3). Потік вектора E через цю площу буде дорівнювати

n

dF = E × dS = E ×dS ×cosa = E × dSr ,

r

 

де dSr – проекція площі dS на площину, яка перпендикулярна до

 

dΩ

 

радіуса r . Використовуючи вираз для напруженості електричного поля

 

точкового заряду (89.1), отримаємо dF = (q / 4pe0 ) ×(dSr / r2 ) . Величина

q

 

dSr / r2 є тілесний кут dΩ , під яким із точки знаходження заряду q

Рисунок 89.3

видно площу dSr , а отже, і площу dS . Домовимося вважати його додатним,

якщо площа dS

повернена до q внутрішньою стороною, і від’ємною у протилежному випадку. Тоді

 

 

 

dF = (q / 4pe0 ) ×dW .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(89.3)

Потік Φ через довільну скінченну поверхню S знайдемо інтегруванням цього виразу за dΩ . Заряд q не залежить від положення площадки dS , тому F = (q / 4pe0 ) × òdW , або

 

 

 

 

 

F º òEdS = (q / 4pe0 ) ×W ,

 

 

(89.4)

де Ω – тілесний кут, під яким із точки знаходження заряду q видно поверхню S .

 

 

Якщо поверхня S замкнена, то потрібно розрізняти два випадки.

 

 

 

 

Випадок 1 Заряд q лежить усередині простору, який оточено

 

dS

поверхнею S

(рис. 89.4). У цьому випадку тілесний кут Ω

охоплює

n

всі напрямки

в просторі, тобто дорівнює 4π ( W = Sсфери / r2 =

 

 

S

= 4pr

2

/ r

2

= 4p ), а тому формула (89.4) переходить в (89.2).

 

 

 

 

 

 

dW

 

 

Випадок 2 Заряд q лежить поза простором,

який

оточено

 

 

 

 

 

поверхнею S

(рис. 89.5). У цьому випадку потік dΦ

завжди можна

 

q

подати як (див. рис. 89.5)

 

 

 

 

 

 

 

dF = E1 × dS1 + E2 × dS2 = dF1 + dF2

Рисунок 89.4

150

Потоки dF1 = E1 × dS1 = (q / 4pe0 )dW та dF2 = E2 × dS2 = - (q / 4pe0 )dW , як випливає з (89.3) та

рис. 89.5, рівні за модулем та протилежні за знаком. Тому dF = dF1 + dF2 = (q / 4pe0 )dW - (q / 4pe0 )dW = 0 .

Зрозуміло, що в цьому випадку і повний потік напруженості електричного поля заряду q , який лежить поза простором, який

оточено поверхнею S , дорівнює нулю.

Розглянемо випадок, коли поле E створюється системою точкових зарядів q1, q2 , .... Тоді вектор E можна подати геометричною сумою

E = åEi ,

де Ei напруженість електричного поля, що створюється одним із зарядів системи qi . Помноживши це співвідношення скалярно на dS й проінтегрувавши по поверхні S , отримаємо

r

r

r

r

æ

r

rö

F = òE

×dS

= ò(åEi )×dS

= åçç

òEidS ÷÷ = åFi

S

 

S

 

è S

ø

E1

r dS1

 

E2

 

 

 

dS2

 

dW

q

 

 

 

Рисунок 89.5

,

 

(89.5)

де F1, F2 , ... – потоки векторів E1, E2 , ... через ту ж саму поверхню S . Якщо заряд qi оточений замкненою поверхнею S , то його потік через цю поверхню буде дорівнювати Fi = qi / e0 (див. (89.4), (89.2)). Якщо ж заряд лежить поза простором, який оточено

поверхнею S , то його потік дорівнює нулю. У результаті отримуємо дуже важливе співвідношення:

r r

 

1

åqk

 

 

F º òE ×dS

=

,

(89.6)

 

S

 

e0

 

 

яке називають електростатичною теоремою Гаусса. Ця теорема стверджує, що потік вектора напруженості електростатичного поля через замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів q , які оточені цією поверхнею, поділену на e0 . Заряди, які

розміщені у зовнішньому просторі відносно цієї поверхні, на величину потоку не впливають. При доведенні вважалось, що всі заряди точкові. Але це обмеження легко зняти, тому

що будь-який заряд можна подати як сукупність точкових зарядів.

§ 90 Напруженість електричного поля нескінченної однорідно зарядженої пластини [2]

1 У випадку симетричного розподілу зарядів, а отже, і симетричних полів теорема Гаусса дозволяє знайти напруженість поля достатньо простим способом.

Коли заряд зосереджений у тонкому поверхневому шарі тіла, розподіл заряду характеризується за допомогою поверхневої густини σ , яка визначається виразом

 

 

 

σ = dq / dS

.

(90.1)

Тут під dS розуміємо площу малої ділянки поверхні; dq – заряд, що знаходиться на цій

ділянці.

Знайдемо напруженість електричного поля нескінченної рівномірно зарядженої площини, яка має поверхневу густину електричного заряду σ . Для визначеності будемо вважати заряд додатним. З міркувань симетрії випливає, що напруженість поля в будь-якій точці направлена вздовж перпендикуляра до площини. Дійсно, оскільки площина нескінченна

151

й заряджена однорідно, немає ніяких підстав до того, щоб вектор E відхилявся в будь-який бік від нормалі до площини. Також очевидно, що в симетричних відносно площини точках напруженість поля однакова за величиною й протилежна за напрямком.

Виходячи з вище описаної симетрії

 

 

 

+

+

n

 

 

поля, виберемо поверхню інтегрування у

 

 

 

+

+

 

n

вигляді циліндра з твірними, які

n

 

 

 

 

 

 

 

 

+

+

 

 

 

перпендикулярні до площини, і основами

 

S

 

+

+

 

S

 

величиною DS , які

розміщені відносно

 

 

 

+

+

 

 

 

площини

симетрично

(рис. 90.1).

E¢

 

 

+

+

q = σS

 

E¢¢

Знайдемо потік вектора E через цю

 

 

 

+

+

 

 

 

поверхню інтегрування. У силу симетрії

 

 

n

+

+

 

 

 

напруженість

електричного

поля на

 

 

+

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кожній основі за модулем є однаковою

 

 

 

Рисунок 90.1

 

 

E′ = E′′ = E .

Крім

того

для основ

 

 

 

 

 

 

 

 

нормальна складова напруженості електричного поля En

збігається з

E . Тоді потік вектора

E через одну основу буде E × DS , а через обидві основи 2× E × DS . Потік через бічну частину поверхні буде відсутній, оскільки En у кожній її точці дорівнює нулю (вектор напруженості електричного поля і нормаль до бічної поверхні взаємно перпендикулярні). Тому потік вектора E через поверхню інтегрування буде дорівнювати

òE × dS =

òE ×dS +

òE ×dS = 0 + 2E ×DS = 2E ×DS .

(90.2)

 

бічн.поверхн.

основи

 

Заряд, що знаходиться всередині поверхні інтегрування (обмежено поверхню

інтегрування) неважко знайти (див. рис. 90.1)

 

 

 

q = σ S .

(90.2)

Далі використаємо теорему Гаусса, згідно якої

 

 

òE × dS = q / e0 ,

(90.3)

де q – заряд, який знаходиться всередині поверхні

інтегрування.

 

Підставляємо (90.1) й (90.2) в (90.3)

 

і отримуємо шукану

напруженість

електричного поля однорідно зарядженої нескінченної пластини

 

 

 

 

 

 

E = s /(2e0 )

.

(90.4)

Таким чином, напруженість електричного поля нескінченно зарядженої площини не

залежить від відстані до неї. Відзначимо також, що по різні сторони від площини вектори E однакові за модулем, але протилежні за напрямком. Тому при переході через заряджену площину напруженість електричного поля змінюється стрибком.

§ 91 Напруженість електричного поля однорідно зарядженої циліндричної поверхні [2]

1 Якщо заряд знаходиться на дуже тонкому «ниткоподібному» провіднику, розподіл заряду вздовж нитки характеризують за допомогою лінійної густини λ , що визначається виразом

 

 

 

λ = dq / dl

,

(91.1)

де dl – фізично нескінченно малий відрізок нитки; dq – заряд, що знаходиться на цьому

відрізку.

Знайдемо напруженість електричного поля нескінченної циліндричної поверхні радіуса R , яка заряджена однорідно з лінійною густиною λ (рис. 91.1). З міркувань симетрії випливає, що напруженість поля в будь-якій точці повинна бути направлена уздовж

152

радіальної прямої, яка перпендикулярна до осі циліндра, а величина напруженості може

залежати тільки від відстані r

до осі циліндра.

 

 

 

Виходячи з вище описаної симетрії поля,

 

 

виберемо поверхню інтегрування у вигляді

 

 

коаксіального із зарядженою поверхнею циліндра

 

 

радіуса r й висоти

h (рис. 91.1). Знайдемо

потік

 

E

вектора E через цю поверхню. Нормальні складові

 

 

 

вектора напруженості на бічній поверхні будуть

 

 

дорівнювати En = E(r) (заряд вважаємо додатним),

r

h

на основі циліндра

En = 0

(вектор

напруженості

l

 

електричного поля і

нормаль

до основи

взаємно

R

 

перпендикулярні). Тому потік

вектора

E

через

 

Рисунок 91.1

 

замкнену поверхню інтегрування буде дорівнювати

 

 

 

òE × dS =

òE × dS +

òE × dS = E(r) × Sбічн + 0 = E(r) ×2prh .

(91.2)

 

бічн.поверхн.

основи

 

 

 

 

Тепер знайдемо заряд всередині поверхні інтегрування. Тут потрібно розглянути два випадки. У випадку, коли радіус поверхні інтегрування більше або дорівнює радіусу циліндра r ³ R , заряд всередині поверхні інтегрування дорівнює, як це випливає з рисунка,

q = l × h , коли r ³ R .

(91.3)

Коли ж r < R , то поверхня інтегрування знаходиться всередині циліндричної поверхні, на якій розміщено електричний заряд. Тому в цьому випадку всередині поверхні інтегрування заряд буде дорівнювати нулю

q = 0 , коли r < R .

Тепер використаємо теорему Гаусса

r r

 

q

 

ò E × dS

=

.

 

 

 

e0

Підставивши в (91.5) формули (91.2) й (91.3) для першого випадку отримаємо

E(r) ×2prh = lh або

E(r) =

l

 

, коли r ³ R .

2pe0r

 

e0

 

 

 

Для другого випадку підставляємо в (91.5) формули (91.2) й (91.4). Звідси,

E(r) = 0 , коли r < R .

(91.4)

(91.5)

(91.6)

(91.7)

Таким чином, отримали формули (91.6) та (91.7), які визначають напруженість електричного поля від нескінченної циліндричної поверхні радіуса R , яка заряджена однорідно з лінійною густиною l .

§ 92 Напруженість електричного поля об’ємно зарядженої кулі [2]

1 Об'ємна густина електричного заряду ρ визначається як відношення заряду dq до

фізично нескінченно малого об'єму dV , у якому знаходиться цей заряд:

 

r = dq / dV .

(92.1)

Знайдемо напруженість електричного поля нескінченної об’ємно зарядженої кулі радіуса R , яка має густину електричного заряду ρ (рис. 92.1). З міркувань симетрії

випливає, що поле, яке створюється електричним зарядом кулі, буде центральносиметричним.

Це означає, що напрямок вектора E в будь-якій точці проходить через центр кулі, а величина напруженості є функцією відстані r від центра кулі.

153

Смотрите также файлы