Файл: Конспект лекций. Ч i для студентов направления 070104 Морской и речной транспорт, специальности Судовождение.doc

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Определение скорости точки при различных способах задания движения?
   
2. 
   Определение ускорения точки при различных способах задания движения?
   

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 11.1 – 11.18, 12.1 – 12.39 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 9
Поступательное движение твердого тела
В кинематике рассматривается, что тело абсолютно твердое, т.е. расстояние между любыми двумя точками остается постоянным.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Рис. 9.1

Из рис. 9.1 видно, что

Продифференцируем это уравнение по времени:

.

Так как постоянный по величине и по направлению, тогда

, отсюда следует, что .

Это означает, что скорости любых точек тела в данный момент одинаковые. Продифференцируем последнее равенство:

или .

Это означает, что ускорения любых точек твердого тела при поступательном движении одинаковые в данный момент времени.

Вращательное движение твердого тела
Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными.

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения (рис. 9.2).

Рис. 9.2

Все точки твердого тела, принадлежащие оси АВ остаются неподвижными, а все остальные точки описывают окружности.

Для определения положения твердого тела проведем неподвижную плоскость I и плоскость II, связанную с вращающимся телом. Положение тела будет определяться углом φ, образованным между неподвижной и подвижной плоскостями и назовем его углом поворота тела. Угол φ измеряется в радианах. для определения положения тела в любой момент времени необходимо знать зависимость угла φ от времени, т.е.

, (9.1)

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени будет равна:

.

Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремиться значение при стремящемуся к нулю:

---

, (9.2)

Угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 9.3).


а) б)

Рис. 9.3

Таким образом, угловая скорость определяет изменение угла поворота тела в единицу времени. Размерность угловой скорости [с^-1].

Угловым ускорением называется величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени:

, (9.3)

Размерность углового ускорения [с^-2].

Если модуль угловой скорости возрастает со временем, то вращение тела называется ускоренным, а если убывает – замедленным. При ускоренном движении векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в одну сторону (рис. 9.3а), при замедленном движении – в противоположные стороны (рис. 9.3б).


Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения A_z. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиусом h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение , тогда скорость точки будет равна:

или . (9.4)

Таким образом, скорость точки вращающегося твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точке М окружности.

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами:

; .

В нашем случае . Подставляя значение V из формулы (9.4), получим:

; .

После преобразований получим:

; . (9.5)

Рассмотрим сечение твердого тела: точка М совершает движение по окружности (рис. 9.4) (движение ускоренное).


М

Рис. 9.4

Ускорение точки М будет равно:

,

или .

Угол между ускорением точки М и радиусом, проведенным в эту точку, составляет μ, который можно найти по формуле:

Пример 1:

По заданному уравнению движения груза 3, , определить его скорость и ускорение, а также скорость и ускорение точки А механизма в момент времени t = t₁.

Рис. 9.5

Решение:

5. 
   Определим скорость и ускорение груза 3:
   

,

при t = 2c: (м/с)

при t = 2c: (м/с²).

6. 
   Определим скорость точки А:
   

---

Скорость точки А равна скорости V₃, так как нить нерастяжимая: ; где ω₂ – угловая скорость второй системы колес, отсюда .

Точка С принадлежит одновременно большому колесу первой системы и малому колесу первой системы.

Тогда .

С другой стороны, ; отсюда .

Точка А принадлежит большему колесу первой системы:

.

Подставляя численные значения, получим:

(м/с),

м/с.

Определим ускорение точки А. Так как точка А вращается по окружности, то

,

;

,

где – угловое ускорение первой системы колес.

Тогда ;

т.е. .

Подставляя численные значения, получим:

м/с²

м/с^2.

Так как , то м/с².

м/с².
Ответ: В момент t = 1c скорость груза V₃ = 52 м/с; ускорение груза а₃ = 16м/с², скорость точки А: V_A = 728 м/с; ускорение точки А: а_А = 424 м/с².
Вопросы для самоконтроля

1. 
   Что такое поступательное движение твердого тела?
   
2. 
   Какие характеристики определяют поступательное движение твердого тела?
   
3. 
   Какие характеристики определяют вращательное движение твердого тела?
   

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 13.1 – 13.20, 14.1 – 14.9. [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 10

Плоскопараллельное движение твердого тела.

Уравнения плоскопараллельного движения

Плоскопараллельное (или плоское) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П (рис. 10.1).

Рис. 10.1.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью О_ху, параллельной плоскости П (рис. 10.1). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ΄, перпендикулярной к сечению S, т.е. плоскости П движутся одинаково. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S в плоскости О_ху.

На рис. 10.2 представлено сечение S тела в плоскости О_ху. При плоском движении тела, сечение S тела перемещается в плоскости О_ху. Выберем две произвольные точки в плоскости сечения тела А и В. Тогда положение отрезка АВ будет определяться координатами точки А и углом φ, АВ будет определяться который образует отрезок АВ с осью х. Точку А, выбранную для определения положения сечения S будем называть

---

полюсом. При движении тела величины Х_А, У_А и φ будут изменяться. Для определения положения тела при движении необходимо знать зависимости:

, , , (10.1)

Рис. 10.2.

Уравнения 10.1, определяющие закон движения называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Причем вращательное движение тела происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П и проходящей через полюс А.

На рис. 10.3 показано поступательное движение тела и его вращение вокруг полюса А.

Рис. 10.3.

Теорема. Вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

Из этого следует, что любую точку, принадлежащую телу можно выбрать за полюс, т.е. характеристики вращательного движения тела ω и ε не зависят от выбора полюса.
Определение траекторий точек тела
Рассмотрим точку М, положение которой в сечении S определяется рассмотрением от полюса А и углом (рис. 10.4). Если движение тела задано уравнениями (10.1), то координаты х и у точки М в осях О_ху будут:

, (10.2)

где х_А, у_А и φ – известные по уравнениям (10.1) функции времени t. Уравнения (10.2), определяющие закон движения точки М в плоскости О_ху, дают одновременно уравнение траектории этой точки в параметрической форме. Уравнение траектории получается, исключив из системы (10.2) параметр t.
Пример 1.

Для кривошипно-шатунного механизма (рис. 10.4) определить уравнения плоского движения шатуна АВ. Угол поворота кривошипа изменяется согласно закону , где k – постоянный коэффициент. Длина кривошипа ОА = r, шатуна АВ = l.

Решение

Рис. 10.4.

Выбираем неподвижную систему координат с началом в точке О. Подвижную систему координат берем с началом в точке А, принадлежащей и кривошипу и шатуну.

Ось х₁ проводим по шатуну АВ, ось у₁ – перпендикулярно к нему. Пусть точка А будет полюсом, тогда уравнения движения полюса имеет вид:

Для нахождения третьего уравнения движения зависимости угла поворота шатуна от времени, спроектируем отрезок АВ на ось у. Обозначая через φ угол между осями х₁ и х₂, находим:

, отсюда

.

Определение скоростей точек тела

---

Плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью полюса V_A, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Рис. 10.4.

Положение любой точки М, лежащей в сечении (S) тела определяется соотношением: , где – радиус-вектор полюса; – вектор, определяющий положение точки М относительно осей Ах΄у΄, перемещающихся вместе с полюсом А поступательно. Тогда

.

В полученном равенстве величина есть скорость полюса А; величина равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей Ах΄у΄ или, иначе говоря, при вращении тела вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства следует, что

. (10.2)

При этом скорость точки М во вращательном движении вокруг полюса А будет:

, ( ), (10.3)

где: – угловая скорость вращения тела.

Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 10.5).

Рис. 10.5

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
Теорема. Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу (рис. 10.6):

Рис. 10.6

Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей
Мгновенным центром скоростей (м.ц.с.) называется точка сечения S тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Пусть в некоторый момент времени точки А и В сечения S тела имеют скорости V_A и V_B, непараллельные друг другу (рис. 10.7).

Рис. 10.7

Для определения мгновенного центра скоростей в данном случае необходимо из точки А восстановить линию а, перпендикулярную направлению вектора , а из точки В восстановить линию в, перпендикулярную направлению вектора скорости . Точка пересечения линий аи вявляется мгновенным центром скоростей для данного тела в этот момент времени. Таким образом, точка Р является м.ц.с. и поэтому скорость этой точки равна нулю в данный момент времени.

Если точку Р взять за полюс

---