Файл: Конспект лекций. Ч i для студентов направления 070104 Морской и речной транспорт, специальности Судовождение.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.03.2024
Просмотров: 44
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вопросы для самоконтроля
-
Определение ускорений точек твердого тела? -
Определение углового ускорения твердого тела при плоском движении?
Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 18.1 – 18.36 [2].
Литература: [1], [3], [4].
Лекция 12
Сложное движение точки
Если точка движется одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая движется по отношению к первой, то движение, совершаемое при этом точкой, называется составным или сложным.
Например, человек перемещается по вагону поезда (подвижная система отсчета), который движется по отношению к Земле (неподвижная система отсчета).
Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета ОXYZ, которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета O1X1Y1Z1 условно названной неподвижной (рис. 12.1).
Рис. 12.1
Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижным осям координат, называется относительным движением. Траектория АВ описываемая в относительном движении называется относительной траекторией. Скорость движения точки М по отношению к осям OXYZ называется относительной скоростью (обозначается ), а ускорение точки в этом движении – относительным ускорением (обозначается ). При вычислении и оси OXYZ можно считать неподвижными.
Движение, совершаемое подвижной системой отсчета OXYZ и всеми неизменно связанными с ней точками пространства по отношению к неподвижной системе O1X1Y1Z1 является для точки М переносным движением.
Скорость неизменно связанной с подвижными осями OXYZ точки m, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростьюточки М в этот момент времени (обозначается ), а ускорение этой точки – переносным ускорением точки М (обозначается ).
На рис. 12.1 АВ – траектория точки М в относительном движении и к ней касательная в этой точке. Поскольку подвижная система координат OXYZ перемещается со скоростью , то результирующей скоростью будет , называемая абсолютной скоростью, которая является касательной к траектории CD, которая называется
абсолютной траекторией. Движение точки М по абсолютной траектории – есть абсолютное движение, а ускорение – абсолютным ускорением.
Сложение скоростей
Теорема. При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:
, (12.1)
Рис. 12.2
На рис. 12.2: АВ – траектория точки М в относительном движении;
– относительная скорость точки М;
А1В1– положение траектории точки М вследствие переносного движения.
Если угол между и составляет α, то формула (12.1) в скалярном виде будет:
, (12.2)
Сложение ускорений
Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости в относительном движении; переносного, характеризующего изменение скорости в переносном движении и кориолисово, характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.
, (12.3)
где – кориолисово ускорение.
. (12.4)
Кориолисово ускорение точки равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Если угол между векторами и составляет угол α, то модуль кориолисова ускорения будет равен:
. (12.5)
Частные случаи. Кориолисово ускорение будет равно нулю в следующих случаях:
1. Когда , т.е. переносное движение является поступательным, или, если угловая скорость равна нулю;
2. Когда , т.е. когда относительная скорость равна нулю;
3. Когда и , т.е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения или, если в данный момент времени вектор параллелен этой оси.
Определение направления кориолисова ускорения (правило Жуковского Е.Н.):
Для определения направления кориолисова ускорения необходимо выполнить следующее:
-
провести плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости; -
спроектировать на эту плоскость вектор скорости в относительном движении; -
повернуть проекцию вектора скорости на 900 по ходу вращения переносного движения.
Пример 1.
Точка М в относительном движении из положения движется по диагонали квадрата BCDA по закону , см. Квадрат BCDA вращается вокруг неподвижной оси по закону , рад. Сторона квадрата CD = 4см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение при t = 1c.
Решение
Рис. 12.3
Определим абсолютную скорость точки М в момент времени t = 1c. Точка М перемещается по диагонали прямоугольника из положения . Так как относительное движение прямолинейное, то скорость точки М в относительном движении будет:
.
При t = 1c (м/с); м/с.
Вращательное движение точки М вокруг оси ОО1 является переносным движением. Траектория переносного движения является окружность с радиусом r. Определим положение точки М на прямой АВ при t = 1c.
(см); см.
Из треугольника MDK следует, что
(см);
см.
Так как точка М совершает в переносном движении вращение по окружности с радиусом r, то скорость в переносном движении будет:
,
где – угловая скорость переносного движения.
;
.
Тогда
(см/с);
см/с.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке М, т.е. перпендикулярно плоскости чертежа.
Так как при сложном движении точки:
,
то вследствие того, что
, тогда см/с.
Абсолютная скорость точки М при t = 1c по модулю равна 43,1 см/с и направлена перпендикулярно плоскости чертежа (на нас).
Определим абсолютное ускорение точки М согласно теоремы сложения ускорений:
.
Так как в относительном движении точка движется по прямой, то:
.
При t = 1c, (см/с2);
см/с2.
Вследствие движения точки М в переносном движении по окружности (рис. 12.4а):
,
где – нормальная составляющая ускорения в переносном движении.
(см/с2);
см/с2., вектор нормальной составляющей ускорения направлен по радиусу к оси вращения.
;
– угловое ускорение в переносном движении;
; .
Тогда ; .
Вектор касательной составляющей ускорения направлен в сторону направления вектора скорости (так как движение ускоренное, вследствие того, что ), т.е. перпендикулярно плоскости чертежа (на нас).
а) б)
Рис. 12.4
Определим кориолисово ускорение:
или в скалярной форме:
,
где – угол между векторами и .
Так как , то и кориолисово ускорение равно нулю, т.е.:
см/с2.
В результате проведенных вычислений установлено, что на точку М в момент времени t = 1c действует три составляющих ускорения: (рис. 12.4б). Векторы лежат в плоскости чертежа и угол между ними составляет 450, тогда модуль суммы этих двух векторов будет:
,
(см/с2);
см/с2.
Вектор находится в плоскости чертежа, а вектор – перпендикулярен плоскости чертежа, тогда результирующий вектор – вектор абсолютного ускорения будет:
или в скалярной форме:
(см/с2);
см/с2.
Ответ: см/с, см/с2.
Пример 2.
Точка М перемещается по окружности диска радиусом R = 2 см по закону из положения А. Диск вращается вокруг неподвижной оси по закону . Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1c.
Решение
Рис. 12.5
R = 2см;
l = 5см.
Анализ характера движения точки М (рис. 12.5) свидетельствует, что движение по окружности диска радиусом R является относительным, а движение диска вокруг неподвижной оси – переносное движение.
Определим положение точки М на окружности диска в момент t = 1c:
(см).
Длина дуги, пройденная точкой М за 1с, составляет см. Определим длину дуги в радианах:
(рад.)
Отсюда следует, что дуга, пройденная точкой М за 1с, составляет рад., или 900 (положение М). Направление вектора скорости будет направлено по касательной к окружности в этой точке (рис. 12.5).
Определим абсолютную скорость точки М в момент t = 1c. По правилу сложения скоростей:
.
Модуль скорости в относительном движении будет:
; при t = 1c.
(см/с) см/с.
В переносном движении точка М совершает вращательное движение по окружности с радиусом вокруг неподвижной оси (рис. 12.6а).
а) б) в)
Рис. 12.6
Направление вектора переносной скорости перпендикулярно плоскости чертежа в сторону «от нас».
Модуль скорости определим:
,
где – угловая скорость вращения диска вокруг оси.
; при t = 1c .
Тогда
(см/с);
см/с.
Векторы скоростей и ортогональны, так как расположены в двух взаимно пересекающихся плоскостях. Поэтому модуль результирующего вектора определим:
(см/с);
см/с.
Определим абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1c. Согласно правилу сложения ускорений:
.
В относительном движении ускорение точки М разложим на две составляющие и , так точка движется по окружности (рис. 12.6б):
,
где – нормальная составляющая вектора ускорения точки М в относительном движении.
(см/с); см/с.
Вектор направлен по радиусу к центру окружности О.
– касательная составляющая вектора ускорения точки М в переносном движении.
(см/с2); см/с2.
Вектор направлен по касательной и окружности и совпадает с направлением вектора скорости, так как движение ускоренное.
Так как в переносном движении точка М движется по окружности вокруг неподвижной оси, то ускорение разложим на составляющие (рис. 12.6а):
,
где – нормальная составляющая вектора ускорения в переносном движении.
(см/с2); см/с2.
Вектор направлен к неподвижной оси.
– касательная составляющая вектора ускорения в переносном движении.
;
– угловое ускорение диска в переносном движении:
; .
(см/с2); см/с2.
Вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа и совпадает с направлением вектора скорости переносного движения (так как движение ускоренное).
Определим кориолисово ускорение:
.
Модуль кориолисова ускорения равен:
,
где – угол между векторами и .
Согласно «правила буравчика» в данном случае вектор угловой скорости переносного движения направлен параллельно неподвижной оси, вокруг которой вращается диск. Тогда расположение векторов и будет таким, как представлено на рис. 12.6в. В этом случае вектор кориолисова ускорения, согласно правила Жуковского, будет направлен перпендикулярно плоскости чертежа «на нас».
Модуль будет равен:
(см/с2);
см/с2.
Таким образом, на точку М действуют пять составляющих ускорений (рис. 12.7).
Рис. 12.7
Векторы и лежат вдоль одной прямой в одну сторону, поэтому сумма этих векторов будет:
,
(см/с2).
Векторы и направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны, тогда результирующий вектор будет:
,
(см/с2).
Получившаяся система векторов , и образуют ортогональную систему, т.е. взаимноперпендикулярны, поэтому результирующий вектор можно представить:
,
(см/с2)
см/с2.
Ответ: см/с, см/с2.
Вопросы для самоконтроля
-
Что такое сложное движение точки? -
Что такое относительное движение? Его кинематические характеристики? -
Что такое переносное движение? Его кинематические характеристики? -
Что такое абсолютное движение? Его кинематические характеристики? -
Как определяется абсолютная скорость точки? -
Теорема Кориолиса? -
Как определяется величина и направление кориолисова ускорения?
Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 22.1 – 22.24, 23.1 – 23.66 [2].
Литература: [1], [3], [4].
Приложения
Приложение 1
Программа по теоретической механике (извлечение)
Статика твердого тела
Основные понятия и аксиомы статики
Предмет статики. Основные понятия статики: материальная точка,