Файл: Конспект лекций. Ч i для студентов направления 070104 Морской и речной транспорт, специальности Судовождение.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.03.2024
Просмотров: 39
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, то по формуле (10.2):
, так как .
Учитывая соотношение (10.3) получим
, ( )
, ( ),
отсюда следует:
, (10.4)
Некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей
1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, причем второе тело неподвижное, то точка касания Р является мгновенным центром скоростей (рис. 10.8а).
а) б) в)
Рис. 4.8
2. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек равны VA и параллельны ей. Следовательно, все точки тела имеют одинаковую скорость по величине и направлению, т.е. тело имеет мгновенное поступательное движение. Угловая скорость тела в этот момент равна нулю (рис. 10.8б).
3. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей Р определяется построением показанным на рис. 10.8в.
Пример 1. (16.17).
Определить скорость точки к механизма, изображенного на рис. 4.9 если известно, что ОА = 20см, АВ = ВО1, <ВАО1 = 300, угловая скорость кривошипа ОА = 2с-1. Точка к является серединой звена ВО1.
Решение
Рис. 10.9
Точка к принадлежит звену ВО1. Звено ВО1 вращается вокруг неподвижного центра О1. Поэтому направление вектора скорости в точке к будет перпендикулярно направлению звена ВО1.
Так как угловая скорость кривошипа известна, то скорость в точке А будет равна:
.
Вектор скорости будет перпендикулярен к ОА, так как кривошип вращается вокруг неподвижного центра О.
Направление вектора скорости в точке В известно: вектор скорости будет перпендикулярен ВО1.
Точки А и В принадлежат звену АВ: в точке А известны направление и модуль скорости; в точке В известно направление вектора скорости. Поэтому можно построить мгновенный центр скоростей для звена АВ. Для этого проводим через точку А линию, перпендикулярную направлению вектора , а через точку В проведем линию, перпендикулярную направлению вектора . Точка пересечения этих линий – Р является м.ц.с. для звена АВ в данный момент времени.
Используя соотношение (10.4) получим:
, отсюда следует, что
.
Из треугольника АРВ вследствие того, что <РАВ = 600 и <РВА = 600 следует, что данный треугольник равносторонний.
Поэтому РВ = РА, а это значит, что , т.е.
.
Так как О1 – центр вращения звена ВО1, поэтому точка О1 является м.ц.с. для этого звена. Так как точка к является серединой звена ВО1, то:
, или:
см/с.;
см/с.
Ответ: см/с.
Пример 2. (16.22).
Определить направления и значения скоростей точек обода колеса в положении I, II, III, IV, если колесо радиуса R = 0,5м катится без скольжения со скоростью V0 = 10 м/с (рис. 10.10).
Решение
Рис. 10.10
1. Определим скорость точки обода колеса в положении I. Так как точка МI принадлежит одновременно колесу и неподвижной плоскости, по которой это колесо перемещается, то эта точка является м.ц.с. Следовательно, ее скорость равна нулю, т.е. V1 = 0.
2. Определим скорость точки М в положении II. Определим направление скорости, для этого соединим точки МI и МII прямой линией и проведем через точку МII линию, перпендикулярную ей. Это будет направление вектора скорости в точке MII. Тогда составим соотношение (10.4):
, отсюда .
Отрезок MIMII из треугольника MIOMII равен , тогда
(м/с).
Так как точка MI является м.ц.с., то составим соотношение:
, отсюда ,
тогда (м/с).
Составим соотношение:
, отсюда
(м/с);
м/с.
Ответ: V1 = 0, м/с, м/с, м/с.
Вопросы для самоконтроля
Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 16.1 – 16.39 [2].
Литература: [1], [3], [4].
Лекция 11
Определение ускорений точек тела при плоском движении
Положение точки М по отношению к осям Оху (рис. 11.4) определится радиусом вектора:
, где .
Дифференцируя дважды уравнение по времени, получим:
, отсюда следует, что
, (11.1)
где – ускорение точки А (полюс);
– ускорение точки при вращении вокруг точки А.
Так как точка М вращается вокруг полюса А по окружности, то разложим на составляющие – нормальную и касательную (рис. 11.1):
Тогда с учетом (11.1), получим (рис. 11.1а):
.
Рис. 11.1
Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение будет слагаться из касательного и нормального и тогда
, (11.2)
Пример 1 (18.11).
Для механизма, представленного на рис. 5.2 угловое ускорение кривошипа ОА , ОА = 15см. Определить ускорение звена АВ в данном положении механизма, при t = 1c.
Решение
Рис. 11.2
Вначале определим ускорение точки В, выбрав за полюс точку А:
. (1)
Так как точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О, тогда:
,
где ; – угловая скорость кривошипа ОА.
.
; , тогда: ;
.
Точка В совершает вращательное движение вокруг точки А по окружности, тогда
,
где – нормальная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;
;
– касательная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;
.
Для определения и определим скорость в точке В. Построим мгновенный центр скоростей для звена АВ. Точка О является м.ц.с. для звена АВ. Тогда
.
Так как , тогда
, отсюда .
Изобразим отдельно звено АВ с соответствующими ускорениями (рис. 11.3):
Рис. 11.3
С учетом сделанных расчетов уравнение (1) запишем в виде:
.
Спроектируем это векторное уравнение ВА на оси координат:
.
Подставляя полученные значения, получим:
.
Из треугольника ОАВ сторона см.
; .
Тогда
Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и . Решая эту систему относительно неизвестных, получим: см/с2, знак минус (-) означает, что истинное направление ускорения точки имеет противоположное направление выбранному; – угловое ускорение звена АВ.
Так как точки D и В принадлежат одному звену DB, которое совершает возвратно-поступательное движение, поэтому все точки этого звена имеют одинаковые скорости и ускорения по величине и направлению. Вследствие этого ускорение точки D будет: см/с2 и направлено вертикально вверх.
Ответ: см/с2, .
Пример 2.
На рис. 11.4. представлен механизм в данном положении: , , , , , I1 = 0,6м, I2 = 1,2м, I3 = 1,4м, I4 = 0,8м, . Определить VA, VB, VD, VE, , , аА, аВ, аD, аЕ, , , , . Точка D является серединой звена I2.
Рис. 11.4
Решение
Определим скорость точки А. Так как точка А движется по окружности, то
м/с.
м/с.
Вектор скорости перпендикулярен I
1.
Вектор скорости точки В направлен перпендикулярно звену I4, а для вычисления модуля, определим мгновенный центр скоростей звена I2, которому принадлежат точки А, В и C2 – является мгновенным центром скоростей звена I2. Составим соотношение:
, отсюда .
Так как угол С2ВА = 600, угол ВАС2 = 180-120 = 600, то угол ВС2А = 600.
Это означает, что треугольник ВС2А является равносторонним поэтому
ВС2 =АС2, тогда VB = VA = 5,4 м/с., т.е. VB = 5,4 м/с.
Для определения скорости точки D соединим точку С2 с точкой D и проведем линию, перпендикулярную DC2. Так как в равнобедренном треугольнике медиана является высотой и биссектрисой, то направление вектора скорости точки D совпадет с направлением звена I2. Модуль скорости точки D определим из соотношения:
, отсюда .
Из прямоугольного треугольника DC2A следует, что
(м)
(м/с); м/с.
; .
Направление скорости точки Е совпадает с направляющей ползуна, т.е. имеет вертикальное направление. Зная направления векторов скоростей точек D и Е, принадлежащих звену I3, определим мгновенный центр скоростей звена I3. Это будет точка С3, тогда составим соотношение:
, отсюда .
Рассмотрим треугольник С3DE. Так как угол С3 = 300 и угол Е = 300, то этот треугольник равнобедренный, т.е. DE = DC3;
(м);
Тогда (м/с); м/с.
; .
Определим угловую скорость звена I4:
; .
Определим ускорение точки А (рис. 11.5).
Рис. 11.5
Точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О1. Поэтому ускорение точки А разложим на нормальную и касательную составляющие:
,
где (м/с2); м/с2.
, так как по условию задачи , а , то , тогда . Поэтому м/с2; м/с2.
Определим ускорение точки В, выбрав точку А за полюс. Тогда
, (1)
где – ускорение, связанное с вращением точки В вокруг А.
, (2)
Подставляя (2) в (1), получим:
. (3)
Так как точка В вращается вокруг неподвижного центра О2, то разложим ускорение точки В на нормальную и касательную составляющие:
. (4)
Подставляя уравнение (4) в уравнение (3), получим:
. (5)
Выберем оси координат таким образом, что ось х будет направлена вдоль звена I2.
Спроектируем уравнение (5) на оси координат:
(6)
Так как: (м/с2); м/с2.
м/с2.
(м/с2); м/с2.
В системе двух уравнений (6) имеется две неизвестные: и , т.е. система уравнений имеет решение и притом только единственное. Подставим численные значения в систему уравнений (6):
Решая это уравнение, получим:
, отсюда следует, что
В связи с тем, что ,
; .
Ускорение точки В будет:
(м/с2);
м/с2.
Определим ускорение точки D, выбрав за полюс точку А. Тогда
, (7)
Так как , а ускорение разложим на составляющие и (рис. 11.6).
Рис. 11.6
Учитывая, что , уравнение (7) примет вид:
. (8)
Спроектируем векторное уравнение (8) на выбранные оси координат:
на ось х:
на ось у: .
Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и , так как м/с2; (м/с2); м/с2; (м/с2); м/с2. Тогда полученная система двух уравнений примет вид:
Отрицательное значение указывает, что истинное направление вектора противоположно выбранному.
Ускорение точки D будет:
(м/с2);
м/с2.
Определим ускорение точки Е. Направление вектора ускорения точки Е, будет совпадать с направляющей ползуна (рис. 11.7). На рис. 11.7 изображен фрагмент механизма, включающий звено I3 и ползун Е.
Рис. 11.7
Ускорение точки Е будем определять, выбрав за полюс точку D, тогда:
, (9)
Учитывая, что , и , тогда уравнение (9) примет вид:
, (10)
Выберем оси координат, как показано на рис. 11.7, т.е. ось х направим вдоль направления звена I3 и спроектируем векторное уравнение (10) на оси координат:
на ось х:
на ось у: .
Представленные два уравнения образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными: и , так как м/с2; м/с2; (м/с2), т.е. м/с2. Подставляя численные значения, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
После преобразований получим:
отсюда следует
Ускорение точки Е составляет м/с2 (знак минус указывает, что истинное направление вектора ускорения имеет противоположное значение выбранному).
Так как , то , т.е. .
Таким образом, определены все значения кинематических характеристик, указанные в вопросе задачи.
, так как .
Учитывая соотношение (10.3) получим
, ( )
, ( ),
отсюда следует:
, (10.4)
Некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей
1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, причем второе тело неподвижное, то точка касания Р является мгновенным центром скоростей (рис. 10.8а).
| | |
а) б) в)
Рис. 4.8
2. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек равны VA и параллельны ей. Следовательно, все точки тела имеют одинаковую скорость по величине и направлению, т.е. тело имеет мгновенное поступательное движение. Угловая скорость тела в этот момент равна нулю (рис. 10.8б).
3. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей Р определяется построением показанным на рис. 10.8в.
Пример 1. (16.17).
Определить скорость точки к механизма, изображенного на рис. 4.9 если известно, что ОА = 20см, АВ = ВО1, <ВАО1 = 300, угловая скорость кривошипа ОА = 2с-1. Точка к является серединой звена ВО1.
Решение
Рис. 10.9
Точка к принадлежит звену ВО1. Звено ВО1 вращается вокруг неподвижного центра О1. Поэтому направление вектора скорости в точке к будет перпендикулярно направлению звена ВО1.
Так как угловая скорость кривошипа известна, то скорость в точке А будет равна:
.
Вектор скорости будет перпендикулярен к ОА, так как кривошип вращается вокруг неподвижного центра О.
Направление вектора скорости в точке В известно: вектор скорости будет перпендикулярен ВО1.
Точки А и В принадлежат звену АВ: в точке А известны направление и модуль скорости; в точке В известно направление вектора скорости. Поэтому можно построить мгновенный центр скоростей для звена АВ. Для этого проводим через точку А линию, перпендикулярную направлению вектора , а через точку В проведем линию, перпендикулярную направлению вектора . Точка пересечения этих линий – Р является м.ц.с. для звена АВ в данный момент времени.
Используя соотношение (10.4) получим:
, отсюда следует, что
.
Из треугольника АРВ вследствие того, что <РАВ = 600 и <РВА = 600 следует, что данный треугольник равносторонний.
Поэтому РВ = РА, а это значит, что , т.е.
.
Так как О1 – центр вращения звена ВО1, поэтому точка О1 является м.ц.с. для этого звена. Так как точка к является серединой звена ВО1, то:
, или:
см/с.;
см/с.
Ответ: см/с.
Пример 2. (16.22).
Определить направления и значения скоростей точек обода колеса в положении I, II, III, IV, если колесо радиуса R = 0,5м катится без скольжения со скоростью V0 = 10 м/с (рис. 10.10).
Решение
Рис. 10.10
1. Определим скорость точки обода колеса в положении I. Так как точка МI принадлежит одновременно колесу и неподвижной плоскости, по которой это колесо перемещается, то эта точка является м.ц.с. Следовательно, ее скорость равна нулю, т.е. V1 = 0.
2. Определим скорость точки М в положении II. Определим направление скорости, для этого соединим точки МI и МII прямой линией и проведем через точку МII линию, перпендикулярную ей. Это будет направление вектора скорости в точке MII. Тогда составим соотношение (10.4):
, отсюда .
Отрезок MIMII из треугольника MIOMII равен , тогда
(м/с).
-
Определим скорость точки М в положении III.
Так как точка MI является м.ц.с., то составим соотношение:
, отсюда ,
тогда (м/с).
-
Определим скорость точки М в положении IV.
Составим соотношение:
, отсюда
(м/с);
м/с.
Ответ: V1 = 0, м/с, м/с, м/с.
Вопросы для самоконтроля
-
Что такое плоскопараллельное движение твердого тела? -
Определение скорости тела при плоском движении? -
Что такое мгновенный центр скоростей твердого тела? -
Метод построения мгновенного центра скоростей?
Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 16.1 – 16.39 [2].
Литература: [1], [3], [4].
Лекция 11
Определение ускорений точек тела при плоском движении
Положение точки М по отношению к осям Оху (рис. 11.4) определится радиусом вектора:
, где .
Дифференцируя дважды уравнение по времени, получим:
, отсюда следует, что
, (11.1)
где – ускорение точки А (полюс);
– ускорение точки при вращении вокруг точки А.
Так как точка М вращается вокруг полюса А по окружности, то разложим на составляющие – нормальную и касательную (рис. 11.1):
Тогда с учетом (11.1), получим (рис. 11.1а):
.
Рис. 11.1
Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение будет слагаться из касательного и нормального и тогда
, (11.2)
Пример 1 (18.11).
Для механизма, представленного на рис. 5.2 угловое ускорение кривошипа ОА , ОА = 15см. Определить ускорение звена АВ в данном положении механизма, при t = 1c.
Решение
Рис. 11.2
Вначале определим ускорение точки В, выбрав за полюс точку А:
. (1)
Так как точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О, тогда:
,
где ; – угловая скорость кривошипа ОА.
.
; , тогда: ;
.
Точка В совершает вращательное движение вокруг точки А по окружности, тогда
,
где – нормальная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;
;
– касательная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;
.
Для определения и определим скорость в точке В. Построим мгновенный центр скоростей для звена АВ. Точка О является м.ц.с. для звена АВ. Тогда
.
Так как , тогда
, отсюда .
Изобразим отдельно звено АВ с соответствующими ускорениями (рис. 11.3):
Рис. 11.3
С учетом сделанных расчетов уравнение (1) запишем в виде:
.
Спроектируем это векторное уравнение ВА на оси координат:
.
Подставляя полученные значения, получим:
.
Из треугольника ОАВ сторона см.
; .
Тогда
Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и . Решая эту систему относительно неизвестных, получим: см/с2, знак минус (-) означает, что истинное направление ускорения точки имеет противоположное направление выбранному; – угловое ускорение звена АВ.
Так как точки D и В принадлежат одному звену DB, которое совершает возвратно-поступательное движение, поэтому все точки этого звена имеют одинаковые скорости и ускорения по величине и направлению. Вследствие этого ускорение точки D будет: см/с2 и направлено вертикально вверх.
Ответ: см/с2, .
Пример 2.
На рис. 11.4. представлен механизм в данном положении: , , , , , I1 = 0,6м, I2 = 1,2м, I3 = 1,4м, I4 = 0,8м, . Определить VA, VB, VD, VE, , , аА, аВ, аD, аЕ, , , , . Точка D является серединой звена I2.
Рис. 11.4
Решение
Определим скорость точки А. Так как точка А движется по окружности, то
м/с.
м/с.
Вектор скорости перпендикулярен I
1.
Вектор скорости точки В направлен перпендикулярно звену I4, а для вычисления модуля, определим мгновенный центр скоростей звена I2, которому принадлежат точки А, В и C2 – является мгновенным центром скоростей звена I2. Составим соотношение:
, отсюда .
Так как угол С2ВА = 600, угол ВАС2 = 180-120 = 600, то угол ВС2А = 600.
Это означает, что треугольник ВС2А является равносторонним поэтому
ВС2 =АС2, тогда VB = VA = 5,4 м/с., т.е. VB = 5,4 м/с.
Для определения скорости точки D соединим точку С2 с точкой D и проведем линию, перпендикулярную DC2. Так как в равнобедренном треугольнике медиана является высотой и биссектрисой, то направление вектора скорости точки D совпадет с направлением звена I2. Модуль скорости точки D определим из соотношения:
, отсюда .
Из прямоугольного треугольника DC2A следует, что
(м)
(м/с); м/с.
; .
Направление скорости точки Е совпадает с направляющей ползуна, т.е. имеет вертикальное направление. Зная направления векторов скоростей точек D и Е, принадлежащих звену I3, определим мгновенный центр скоростей звена I3. Это будет точка С3, тогда составим соотношение:
, отсюда .
Рассмотрим треугольник С3DE. Так как угол С3 = 300 и угол Е = 300, то этот треугольник равнобедренный, т.е. DE = DC3;
(м);
Тогда (м/с); м/с.
; .
Определим угловую скорость звена I4:
; .
Определим ускорение точки А (рис. 11.5).
Рис. 11.5
Точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О1. Поэтому ускорение точки А разложим на нормальную и касательную составляющие:
,
где (м/с2); м/с2.
, так как по условию задачи , а , то , тогда . Поэтому м/с2; м/с2.
Определим ускорение точки В, выбрав точку А за полюс. Тогда
, (1)
где – ускорение, связанное с вращением точки В вокруг А.
, (2)
Подставляя (2) в (1), получим:
. (3)
Так как точка В вращается вокруг неподвижного центра О2, то разложим ускорение точки В на нормальную и касательную составляющие:
. (4)
Подставляя уравнение (4) в уравнение (3), получим:
. (5)
Выберем оси координат таким образом, что ось х будет направлена вдоль звена I2.
Спроектируем уравнение (5) на оси координат:
| на ось х: |
| на ось у: |
(6)
Так как: (м/с2); м/с2.
м/с2.
(м/с2); м/с2.
В системе двух уравнений (6) имеется две неизвестные: и , т.е. система уравнений имеет решение и притом только единственное. Подставим численные значения в систему уравнений (6):
Решая это уравнение, получим:
, отсюда следует, что
В связи с тем, что ,
; .
Ускорение точки В будет:
(м/с2);
м/с2.
Определим ускорение точки D, выбрав за полюс точку А. Тогда
, (7)
Так как , а ускорение разложим на составляющие и (рис. 11.6).
Рис. 11.6
Учитывая, что , уравнение (7) примет вид:
. (8)
Спроектируем векторное уравнение (8) на выбранные оси координат:
на ось х:
на ось у: .
Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и , так как м/с2; (м/с2); м/с2; (м/с2); м/с2. Тогда полученная система двух уравнений примет вид:
Отрицательное значение указывает, что истинное направление вектора противоположно выбранному.
Ускорение точки D будет:
(м/с2);
м/с2.
Определим ускорение точки Е. Направление вектора ускорения точки Е, будет совпадать с направляющей ползуна (рис. 11.7). На рис. 11.7 изображен фрагмент механизма, включающий звено I3 и ползун Е.
Рис. 11.7
Ускорение точки Е будем определять, выбрав за полюс точку D, тогда:
, (9)
Учитывая, что , и , тогда уравнение (9) примет вид:
, (10)
Выберем оси координат, как показано на рис. 11.7, т.е. ось х направим вдоль направления звена I3 и спроектируем векторное уравнение (10) на оси координат:
на ось х:
на ось у: .
Представленные два уравнения образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными: и , так как м/с2; м/с2; (м/с2), т.е. м/с2. Подставляя численные значения, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
После преобразований получим:
отсюда следует
Ускорение точки Е составляет м/с2 (знак минус указывает, что истинное направление вектора ускорения имеет противоположное значение выбранному).
Так как , то , т.е. .
Таким образом, определены все значения кинематических характеристик, указанные в вопросе задачи.
