Файл: Сивый В.Б. Метод множественной корреляции в анализе и планировании угольных предприятий.pdf

-4 ) концентрации подготовительных работ

^пров

где L'np0B — общая протяженность проводимых

подготовительных выработок, м;

Концентрация производства в целом харак­

теризуется среднесуточной добычей шахты D. Ввиду громоздкости и трудоемкости обра­ ботки группировок, а также для большей точ­ ности расчетов были использованы счетно-пер­ форационные машины. Исходная информация кодировалась и размещалась на макетах перфо­

карт, а затем передавалась на машиносчетную

станцию для обработки.

Дисперсионный анализ, расчет и построе­ ние гистограмм и кривых распределения под­ твердили зависимость между выбранными пока­ зателями, себестоимостью и производительно­ стью труда и подчинение совокупности нормаль­ ному закону. Всего было построено 35 корреля­ ционных таблиц. По тем же таблицам для изу­ чения формы связи были построены корреля­

ционные поля с нанесением эмпирических и

теоретических линий регрессии и определены 35 значений коэффициентов парной корреляции

и коэффициентов надежности. Это позволило установить наличие прямолинейной зависимос­

ти, оценить надежность и достоверность функ­ ций. Между показателями интенсификации К 1Юцг

и концентрации ^ пров подготовительных работ,

с одной стороны, производительностью труда и себестоимостью угля, с другой, были получены

очень малые коэффициенты линейной корреля­

ции и надежности.

Таблица 35

Для изучения совместного влияния К 0.в,

ТСконц) -Крем и D на производительность труда и себестоимость угля, а также влияния каждого

из них при постоянных значениях других были определены зависимости между показателями интенсификации и концентрации работ. Как видно из табл. 35, переменные, влияние которых исследуется, находятся между собой в корреля­

ционной зависимости и, следовательно, каждая

из парных зависимостей искажается неявным влиянием других показателей.

Системы нормальных уравнений, у которых

в качестве коэффициентов при неизвестных при­ няты внутренние коэффициенты корреляции между показателями интенсификации и концент­ рации работ, а свободными членами служат

коэффициенты корреляции между этими пока­ зателями, с одной стороны, производительно­

148

стью труда и себестоимостью угля, с другой, имеют следующий вид:

1^ — 0,350402 + 0,4108рз + О,451804= 0,5441; —0,35040!+ 102+ О,ОО4503 +О,О5О604=О,177О;

0,41080!+ 0 , 0 0 4 5 0 2 + 10з + 0 , 3 4 8 8 0 4 = 0,5515;

0,451801 + 0,050602 + О,34880з + 104= 0,6950;

' 101 — 0,350401 + 0,410801 + 0,451801 == = — 0,4930;

— 0,350401 + 101 + 0,004501 +

+ 0,050601 = — 0,1359;

0,410801 + 0,004501 + 1 0 ' 3 + 0,348801 = = — 0,5362;

0,451801 + 0,050601 + 0,348801 + 101 = = — 0,6757.

Обе системы симметричны и имеют одинако­ вые коэффициенты при неизвестных, поэтому целесообразно решать подобные системы с по­

мощью обращения матрицы.

Матрицей называется прямоугольная табли­ ца, состоящая из т строк и п столбцов (т п чи­ сел). Например, систему линейных уравнений

общего вида

1 4 9

можно записать в матричной форме так:

или кратко А$ = В.

Таблицы заключаются в прямые или круг­

лые скобки и называются матрицей А, матри­

цей р или матрицей В. Коэффициенты я,у, Р,-,

Ь{ называются элементами матрицы (где i —

номер строки, j — номер столбца).

Единичной называется матрица, у которой

ны единице, а остальные элементы равны нулю.

Единичная матрица n-ого порядка обозначется

Е п или Е.

Обратной матрицей по отношению к данной называется матрица, которая, будучи умножен­ ной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу. Если для матрицы А

обратная ей равна ^4—*, то по определению имеем

А~*А = АА~* = Е.

Определив обратную матрицу А ~1для мат­ рицы А и умножив обе части уравнений (42) на А ~1, получим (умножение ведется слева)

А$А-' = В А ~\ Е§ = ВА~';

откуда

р = В А ~ \

Таким образом, с помощью обратной матрицы Л- 1 можно решить обе системы уравнений умно­

150

жением обратной матрицы на свободные члены уравнений каждой системы в отдельности.

Обращение матрицы может быть выполнено

несколькими способами, в том числе методом по­

следовательного исключения неизвестных, ко­

торый рассмотрен нами выше. Вычисления сво­

дятся в таблицу, аналогичную приведенной

(табл. 36). Вместо столбца свободных членов

(коэффициентов корреляции между функцией и

аргументом) записывается единичная матрица

с числом столбцов, равным числу переменных.

Значения в столбце «контрольные суммы» поду­

чаются путем алгебраического суммирования элементов матрицы в каждой строке.

Порядок расчетов и обращения матрицы крат­ ко формулируется так:

1. Последовательно исключаются неизвест­ ные Р,, р2 и рз по строкам и столбцам матрицы

(прямой ход).

2. Обратным ходом определяются элементы четвертой строки обратной матрицы. Для этого используется строка раздела А3 таблицы, со­ держащая единицу. Если элементы обратной

а4з)= —0,21850; а $ = 1,37777. (Определение прямого и обратного хода приведено на стр. 90).

3. Для нахождения элементов третьей стро­

ки нужно последовательно в уравнение послед­ ней строки раздела Аъ подставить известные

корни а{\\ а $ , а $ , аЦ>:

«si + 0,15860aJ, = .— 0,58328,

151

4 = — 0,48262;

4 + 0,158604 = — 0,20992,

<4 = — 0,16375;

4 -f 0,158604 = 1,24052;

4 = 1,27517;

4 + 0,158604 = 0> 4 = — 0,21851.

Аналогично определяются все последующие элементы второй и первой строк обратной мат­

рицы.

Достоверность полученных значений aip

проверяется путем перемножения обратной мат­

рицы на исходную. В результате перемножения должна получиться единичная матрица.

Правило умножения матриц заключается в следующем. Пусть заданы матрицы А и В. Чтобы получить элемент первой строки и пер­

вого столбца (Си) новой матрицы С, нужно

элементы первой строки матрицы А, т. е. ап, а1 2 , ..., а1п, умножить на соответствующие эле­ менты первого столбца матрицы В , т. е. на Ьп, Й2 1 , •••, Ьп1, и полученные произведения сложить. Действие умножения имеет смысл толь­ ко в том случае, когда число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матри­ цы В.

Решим с помощью обратной матрицы систе­ му уравнений и найдем коэффициенты Pi, Рг,

Рз, р4 для уравнения множественной корреля­ ции, которое в стандартизованном масштабе характеризует зависимость производительно-

153

ми труда от показателей интенсификации и концентрации производства.

Коэффициенты Pi, р2, Рз, Р*, получаются

умножением строк обратной матрицы на столб­

цы свободных членов:

_ 1,70654 0,63214 —0,48250 —0,63474”

0,63226 1,23670—0,16375 0,29114

—0,48262 —0,16375 1,27517 0,21851 Х

_ —0,63463 —0,29112—0,21850 1,37777_

"0,5441 “

0,1770

Х 0,5515 =

_ 0,6950 _

”1,70654 • 0,5441 + 0,63214 • 0,1770 —

—0,48250 • 0,5515 — 0,63474 • 0,6950"

—0,16375 • 0,5515 — 0,29114 ■ 0,6950

+ 1,27517 • 0,5515 — 0,21851 • 0,6950

— 0,21850 • 0,5515 + 1,37777 • 0,6950_

‘0,92853 + 0,11189—0,26610 —0,44114

0,34401 + 0,21889—0,09031 —0,20234

—0,26259 — 0,02898+0,70326 —0,15186

_ _ 0,34532 — 0,05153—0,12050 +0,95755_

154