Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

Скачать файл (5,02Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

тонометрию», где при обычном разделении угла через каждые 10" даны логарифмы тригономет рических линий с 10 знаками. После появления этих таблиц громадный труд вычисления первых обширных таблиц десятичных логарифмов был закончен.

Следует отметить, что впервые в России таблицы деся тичных логарифмов, в основу которых были положены таблицы Влакка, были изданы в 1703 г., а затем переиз даны в 1719 г. под названием «Таблицы логарифмов и си нусов, тангенсов и секансов тщанием и засвидетельствова нием математических и навигацких учителей Андрея Фархвардсона, Стефана Гвина и Леонтия Магницкого».

Теперь рассмотрим, чем было вызвано вве дение десятичных логарифмов.

В старой системе логарифмов усложнялись правила логарифмирования, которые имеют про стой вид только тогда, когда логарифм единицы принят равным 0. Кроме того, разность лога рифмов чисел, находящихся в отношении 1:10,

выражалась громоздким числом 23 025 842.										Так,
при	умножении			или	делении		числа		иа	10"
(/г =	1,2,	...)	приходилось			прибавлять		или вы
читать кратное предыдущего числа. Гораздо
проще перенести запятую в десятичной системе
логарифмов.				на двух методах, которые дал
Остановимся
Непер для вычисления десятичных логарифмов.
Первый метод с современной точки зрения за
ключается в основном в следующем.								числа а
Допустим,			нужно		найти	логарифм
с 14 знаками логарифма. Предположим, что
число заключено между 1 и 10. Если									возве
дем а в степень				с показателем			1014, то		харак
теристика		числа		а \|0“	даст	14	первых		знаков 37

после запятой для логарифма числа а. Для того

чтобы	найти	характеристику,		нужно	знать,
сколько цифр заключается в степени а 1014.					Найти
все цифры — трудно			выполнимая	задача,	опре
делить	же их	число	значительно легче,		т. е.

для нахождения числа цифр нужно пользоваться следующим правилом: число цифр произведения равно сумме чисел цифр множителей, когда произведение начальных цифр представляет двузначное число, или сумме цифр множителей

минус единица,		когда	произведение		начальных
цифр представляет однозначное число.
Бригс	применял		этот метод	к	числу 2
и нашел,	что	в	числе 210‘4	заключается

30102999566399 цифр, и соответственно этому получил lg 2 = 0,30102999566398.

Так как вычисление логарифмов по этому методу было очень трудоемким, ученый им пользовался лишь в отдельных случаях, а в основном применял другой метод. Если глубже вникнуть в этот второй метод, то можно утверждать, что Бригс пользовался приближен ным равенством

I n N ^ r n t y f r — 1),

где т — достаточно большое число.
В	самом деле,		легко		показать,	что
j_
N m _ j		Для		этого	достаточно	вое-
lim ----- j-----= \nN.
т-юо	*
т
пользоваться правилом"Лопиталя или это можно
сделать	элементарным		способом.
Для	получения	натурального логарифма 10
38 Бригс	последовательно			извлекал квадратный


корень 54	раза	с числом знаков от 27				до	33.
Здесь мы видим, что т			заменяется		на 254.
Это объясняется		тем, что удобнее		всего		после
довательно извлекать квадратный корень.							а
Вычисления		эти занимают много			места,
поэтому	дадим	последнее	число:	2“*/--
				/ 1 0 — 1 =
= 0,00000000000000012781914932003235.						Если

умножим это число на 264, то получим нату ральный логарифм 10.

Далее можно найти модуль десятичной


системы логарифмов				[М = -j		1Q■).
Чтобы		найти логарифм				2,	Бригс	делает
сорок семь		последовательных				извлечений			квад-
ратного	корня,		получая		в результате			\f	1024,
а затем отнимает 1 и после							умножает		это
число	на М и, наконец, после 47 удвоений
находит	десятичный			логарифм			1024 = -210, а
отсюда и lg 2:
	lg 2 =		0,301029995663981195.
Для	вычисления			lg 5	Бригс		воспользовался
следующим: lg 10 =				lg 2 + lg 5,			откуда	lg 5 =

=	l - l g 2 .
11	Далее Бригс находит логарифмы чисел 3, 7,
11	и т. д.	Он дает	таблицу простых чисел
до	100.	заметить,	что нахождение логариф
	Следует	заметить,	что нахождение логариф

мов составных чисел сводится к нахождению

сумм	логарифмов	простых чисел,	например
lg 15 =	lg (3 • 5) = lg 3 + lg 5.
Вычисление логарифмов по этому методу,
как видим, очень		трудное дело; в	особенности

трудной операцией является многократное извле39

чение квадратного корня, хотя Бригс и дает

особый способ.	двух	методов, Бригс
Кроме рассмотренных	двух	методов, Бригс
и Влакк еще пользовались	для	приближенного

вычисления логарифмов методом вставки средне


геометрических	и среднеарифметических						членов
прогрессий.					Если lg у = z
Дадим пояснение этого метода.
и lg v = х, то lg V vy =		х 2 Z--		Если данное чис
ло N заключается между			границами			102	и	103,
логарифмы которых будут			2	и 3,		то	найдем
21	Число	N	будет		заключаться
значение 10 2.
между границами 102 и			21	или	между			21
		10 2						10 2

и 103. Какой бы из этих случаев ни имел место, мы, взяв среднее пропорциональное, получим более близкие границы и, таким образом, можно будет дойти до таких границ, промежуток между которыми меньше заданного числа, с ко торым данное число N может быть отождест влено.

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти приближенное значение для логарифма числа 5. Так как 5 заключается между границами 1 и 10, логарифмы которых 0 и 1, то установим непре рывное извлечение корней следующим образом (пока не придем к границам, неотличимым уже от числа 5):

А = 1,000000

В= 10,000000

С= 3,162277

D = 5,623413 40 Е = 4,216964