Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 59
Скачиваний: 0
Если в пространстве объем V ограничен сферой хвЧ-
4-у2 |
+ z2 = R2, |
то при вычислении тройного интеграла |
по V целесообразно перейти к сферическим координатам: |
||
|
х == р cos |
sin 6; у = psln<psin6; z==pcos0, |
при |
этом |
|
|
|
JJf f(x; у; z)dxdydz = |
J J /(pcos<psin6; p sin? sin 6; p cos 6) p2 sin hd p dyd 0 =
V,
= J dtp |
j* |
d 0 J / • p2 sin 0 d p. |
(36,c) |
0 |
0 |
0 |
|
Криволинейный интеграл
Пусть в плоскости хоу дана некоторая линия ЬАВ и в
каждой точке ее дан вектор А = Р(х; y)i-[-Q(x', у)]'-
Разобьем линию LAB в |
направлении от Л к В на п |
|||
участков точками А =.Мо, |
Mi, М2,...., |
Mlt |
М п= В. |
|
На каждом из |
участков построим вектор |
стягивающей, |
||
хорды |
|
|
|
|
Д г,- = г |
+1) — г (Mi> = М |
+/Д yz. |
||
На каждой из дуг Л1/+1 Mt выберем произвольно точку
Ci, вычислим значение вектора Л (С, ) и составим ин
тегральную сумму скалярных произведений:
п |
п |
X |
X (^(^)д+Q(^)Ал)- |
4=1 |
4=1 |
_ Предел |
интегральной суммы, когда все 1 AI ->0, |
называется криволинейным интегралом по линии ЬАВ от вектора А:
Г Р (х; y)dx-(-Q (х-, у) dy
^АВ
107
|
« Игл |
S P (Q д xt + Q (Q A yP. |
|
(ЗГ, c) |
||||
|
| Arz |~0* |
/-1 |
|
|
|
|
|
|
Вычисление криволинейного интеграла |
сводится |
к |
||||||
вычислению обыкновенного интеграла. |
Пусть линия L Ав |
|||||||
задана |
параметрически |
уравнениями х = <p(?p; у=<р2(Г). |
||||||
Точке А соответствует значение параметра t = а, |
а точ |
|||||||
ке В — значение t = (3. |
Функции <р'(7) |
и <p2(f) непрерыв |
||||||
ны на |
отрезке |
[а; ], |
а функции Р(х\ |
у) и |
Q(x; |
у\ |
не |
|
прерывны во всех точках линии ЬАВ. |
Тогда |
|
|
|
||||
|
J Pdx+Qdy= j [Р (?(/); ?2(/))?;Н + |
|
|
|||||
|
lab |
|
® |
|
|
|
|
|
пт |
|
|
|
|
др |
д$ |
не |
|
Если L — замкнутая линия и функции |
-gj- |
и -уу |
||||||
прерывны во всех точках области S, ограниченной лини |
||||||||
ей L, то справедлива следующая формула |
Остроград |
|||||||
ского: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pdx-+-Qdy = |
|
- ~-\dxdy. |
|
(38,с) |
|||
Здесь |
интегрирование |
в |
криволинейном интеграле |
со |
||||
вершаете^ в направлении, противоположном направле нию движения часовой стрелки.
Площадь фигуры, ограниченной замкнутым |
конту |
ром L, может быть вычислена с помощью криволиней |
|
ного интеграла: |
|
пл. S = у (j) xdy — ydx. |
(39, с) |
Теорема о среднем
Относительно определенного, двойного и тройного ин теграла справедлива теорема о среднем; Значение ин теграла равно произведению значения подынтегральной функции, взятой в некоторой внутренней точке области интегрирования на меру области интегрирования:
ь
J f(x)dx = f(c) (b—а); |
(40,с) |
108
^f(M)dxdy ~f(c) (пл. P); (пл. Pплощадь
г
области Р)
40, с
f(M)dxdydz = f(c) • V ,
где С — некоторая внутренняя точка области интегри рования.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
||
Введение ......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Глава |
I. |
Скалярное поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||
§ |
1. |
Производная скалярногополя................................ |
|
|
|
13 |
||||||||
§ |
2. |
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
..... |
|||||
Градиент скалярного поля...... |
|
|
|
|
|
21 |
14 |
|||||||
|
|
Упражнения . |
. |
’...................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Глава II. Векторное поле. |
поля |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|||||
§ |
1. |
Поток векторного |
поля |
|
.... |
|||||||||
§ |
2. |
Дивергенция |
векторного |
|
29 |
|||||||||
§ |
3. |
Теорема |
Остроградского |
|
. . |
. |
. |
. |
|
37 |
||||
§ |
4. |
Упражнения |
|
|
поля . |
. |
............................................. |
|
|
|
|
43 |
||
Циркуляция |
|
|
|
|
|
|
|
48 |
||||||
§ |
5. |
Вихрь поля.Теорема Стокса............................................. |
|
|
|
|
||||||||
§ |
6. |
Упражнения......... |
|
|
вихря |
поля |
|
|
|
|
55 |
|||
Физический смысл |
|
|
|
Лап |
56 |
|||||||||
§ |
7. |
Символический |
вектор V |
(набла).. |
Оператор |
|
||||||||
|
|
ласа А |
(дельта). |
Основные |
формулы |
векторного’ |
|
|||||||
|
|
анализа |
|
. |
|
.................................................61 |
|
|
||||||
|
|
Упражнения |
... ............................................. 66- |
|
||||||||||
§ 8. Потенциальные и соленоидальные поля |
|
... 67 |
||||||||||||
Глава |
III. Вычисление основных |
величин поля в |
|
криволи |
|
|||||||||
§ |
1. |
нейных координатах. |
|
|
координаты |
. |
72 |
|||||||
Криволинейные |
ортогональные |
|||||||||||||
§ |
2. |
Цилиндрические |
и |
сферические |
координаты . |
, • |
/5 |
|||||||
§ |
3. |
Коэффициенты Ламэ................................................ |
|
|
|
|
|
|
'° |
|||||
§ |
4. |
Вычисление основных величин поля в криволиней |
|
|||||||||||
|
|
ных координатах..................................... |
|
|
: |
|
1 |
’ |
о |
“6 |
||||
|
Упражнения................................. |
|
|
по |
|
|
: |
|
: |
|||||
Приложение. Краткий |
справочник |
высшей |
математике |
9Д |
||||||||||
Борис Дмитриевич Никитин, Сергей Владимирович Родионе»
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Редактор Бахишян Ф. А.
Редактор издательства Аношина К. И. Технический редактор Горохова С. С
Сдано в набор 1/VIII—59 |
г. |
Подписано к печати 20/1—00 г. |
|
Бумага 84ХЮ81/13 = 7.0 печ. л. = 5,74 усл. печ. л. уч.-пзд. |
л. 3,99 |
||
Тираж 35.500 |
|
Заказ 147 |
|
Заказ 147 |
|
Цена 1 р. 20 к. |
|
Государственное издательство «Высшая школа» |
> |
||
Москва, |
Б-62, Подсосенский пер., 20 |
||
Тип. изд-ва сВысшая |
школа», |
Неглинная, 29/14. Зак. |
1233 |
