Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 56

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

функции в точке Л1в:

lim /(Ж)=/(М0).

(15,с)

м->м0

 

Геометрическим изображением функции у = f(x) яв­

ляется некоторая линия на координатной

плоскости

хоу — совокупность точек Л1(х; у), координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).

Геометрическим изображением функции двух пере­ менных и = f (х; у) является некоторая поверхность

втрехмерном пространстве хоуи — совокупность точек

М(х; у, и)' координаты которых удовлетворяют урав­ нению и = f(x\ у).

Функция трех переменных и = f(x; у, z) геометриче­

ски изображается поверхностями равного уровня. (Более

подробно об этом сказано в главе I).

Производная функция

Пусть на некотором множестве Р задана функция y = f(x). Если аргумент х, изменяясь, получит некото­ рое приращение Дх, т. е. примет новое значение х'-|-Дх, то и функция примет новое значение f (х-|- Дх). Раз­ ность А у =- f (х + Д х) —f (х) называется приращением функции f(x) в точке х, соответствующим приращению аргумента Д х.

Производной f' (х) функцией у = f (х) называется предел отношения приращения функции Д у к прираще­ нию аргумента Д х, когда последнее стремится к нулю:

Um Ах~>0

- Если в точке М (х) функция у = f (х) имеет произ­ водную f(x), то приращение ее в точке М (х) можно

представить в виде:

Ау-»7(’х+Дх') — f(x) = /у(л)Д х;4-8(Дл-) • Д х,

гд«

•(Дх)->0, когда Дх->0.

Вэтом случае функция f (х) называется дифферен-

7 Векторный анализ

97

цируемой в точке М(х), а линейная, относительно Дх, часть приращения f' (х)Дх называется диффе­ ренциалом dy функции:

dy = /' (х) Дх.

Как известно, kx — dx, поэтому dy =.f' (х) dx.

Дифференциал функции определяет главную часть

приращения функции. Полное приращение функции оп­

ределяется через производную при помощи

формулы

Лагранжа:

 

Если

функция y = f(x) непрерывна на закрытом ин­

тервале

[х; х-|- Д х] и дифференцируема хотя бы на от­

крытом интервале (х; х-|-Дх), то

 

Дг/=/’(х4Дх) —f(x) — /'(х-|-0Д х) Дх,

(16с)

где 0< 0

<1.

 

Действия вычисления производных и дифференциалов функции называется Дифференцированием функции.

Правила-дифференцирования

1.(С)'=0.

2.(и -j- vy = u' + v'.

2-а. (и + v +... +w)' = и' 4- v' 4- ... 4-аЛ

3. (и v)' = u'v 4-u v'.

3-а. (uv ... Sw)'=u' -v ... Sw 4-... -]-uv .. .Sw'.

3-6. (Cu)' = Cu'-

=;= A (»)' = -£"•

.

/ и

u'v— uv'

 

 

4.

— )

= ------------ .

 

 

 

\v J

v2

 

 

5.

Если y=f(u), где u=><p (x), to

 

 

=

=

■ W.

5-a. Если y=.f (u), где u = 9 /у), a v= ф (x), to.

98

Таблица производных основных

элементарных функций

Простые функции

Сложные функции

i.

и'

(pi — любое действительное число)

'■а-(/i-'=2TF

п - 1

l-б. (КX)' =---- *------

 

п ____

1-в. (-)'=-4

\ X /

ла

1-Г. (X)’ = 1

2.(аг)' = ах1п а

2-а. (ехУ = ех

3.(loga|x|)' = ^

3-а. (In | х |)' = 4-

4.(«in х)' = cos х

5.(cos х)' = — sin х

(tg х)

с0;>2 х

1

7.(ctgx) =--^7-

1

8. (arc sin л)

9. (arccosx)>=- yrl_

10. (arctgx)'= ——J—-

1 + ла

1 11. (arc etg л) = — т—j-

(a")' = au In a(u)’

(eu)"= e“ it’

(log | и I)' - 4г1

(In | и I)' = -4

(uvy= vtiv~l- u' + v'uv In u.

(sin и)' = cos и и'

(cos и)' = — sin и и’

,

,

и'

 

(arc sin и) , =

и'

8

 

,

и'

(arc cos и) = — —т=г

v

'

/1

- иа

 

(arctgzz)

и'

 

 

 

 

(arcctg и)', = -

и"

7*

У9

Частные производные

Если в функций u=f(x; у) аргумент у остается неиз­

менным, а изменяется лишь аргумент х, то

и — f (х; у)

будет функцией лишь одного переменного х.

Производная функции u = f

(х; у), где у считается по-

стоянным,

„

„

д f ,

называется частной

производной

функции

u—f(x; у)

по переменному х:

 

 

эт0 производная функция f(x; у), где z/=const.

и аналогично:

~ эт0 производная функция f(x; у), где х = const;

df(x\ у;

z)

 

производная

,

rz

у;

х

где

-—----- — это

функции

/(х;

z),

у — const и г = const;

 

rz

 

\

 

дf(x-, y;z)

—это

производная

,

у;

где

■

 

функции

/(х;

Z),

х — const

и z = const;

j

2z

 

\

 

dftx\ у;

z\

—это

производная

у;

где

— дг—-

функции

/ (х;

Z),

х = const и f — const;

Таким образом, для отыскания частных производных

■остаются справедливыми формулы и правила дифферен­

цирования функции одного переменного.

и' Л4](х-]-Дх;

Пусть даны

две

точки;

М (х; -у; г)

z/4-А У,

zf-f-Az).

Тогда приращением функции

в точке М называется

разность Д« = /(Л11)—f(M).

Если

в

точке М (х; у; z)

производные функции

и = f (М)

непрерывны, то приращение функции в точке

.М можно представить в виде;

 

 

 

А «-/(«,)-/( И)АХ + ^еду +

 

+

 

bz + «(Дх;

Ду;

Дг) ■ р,

(17,с)

где p=’j/{Aх)2 -f- (A t/)2+ ( A z)2 и

е->0.

когда р->0.

В этом случае функция u=~f (М) называется дифферен­

цируемой в точке М, а сумма первых трех слагаемых,

линейная относительно приращений Ах, Д у,

Az, назы­

вается дифференциалом du. Как известно,

А х — dx,

100

Смотрите также файлы