Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 54
Скачиваний: 0
Б. Д. НИКИТИН, С. В. РОДИОНОВ
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Допущено Методическим Управлением
Министерства высшего образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов заочных высших технических
учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва — 1960
ГОС. ПУБЛИЧНАЯ
НАУЧН-ТЕХНИЧЕСКАЯ
I БИБЛИОТЕКА СССР
6о
4/
/Ш/
ПРЕДИСЛОВИЕ
Векторный анализ находит широкое применение во многих профилирующих инженерных дисциплинах (ос новы радиотехники, теплотехники, электротехники и др.)« Предлагаемое пособие по векторному анализу пред назначается, преимущественно, для студентов заочных вузов. В соответствии с этим в нем устанавливается,
прежде всего, физический смысл основных понятий век
торного анализа, а чисто математическая сторона этих
вопросов, без ущерба точности, отодвинута на второй план. В пособии приведены решения типичных задач
(примеры) и подобраны задачи для самостоятельного
решения (упражнения).
В упражнениях приведено лишь минимальное число задач. Поэтому в целях приобретения необходимых на
выков в вычислениях и прочного закрепления основных фактов теории рекомендуется решить все задачи из уп ражнений.
При работе с настоящим пособием мы настоятельно рекомендуем составление конспекта. Составление кон спекта способствует активному усвоению материала, по могает установить связи между основными фактами.
От читателя требуется знакомство с общим втузов ским курсом высшей математики. Перед изучением век
торного анализа целесообразно повторить основные по нятия и факты из курса высшей математики. Это можно сделать, например, по краткому справочнику, помещен ному в конце настоящего пособия в качестве приложе ния. В тексте книги делаются ссылки на соответствую щие формулы справочника. Эти ссылки снабжены зна ком «С».
3
Аналогичное пособие авторов этой книги дважды из давалось Всесоюзным заочным энергетическим институ- "том? Второе издание его обсуждалось и было"одобрено, 'в^основном, коллективами кафедр высшей математики ряда заочных вузов (Всесоюзный заочный энергетичес
кий институт. Всесоюзный заочный политехнический ин ститут, Всесоюзный заочный институт связи и др.) и
предметной комиссией по высшей математике при мето дическом управлении Министерства высшего образова ния СССР.
Настоящая книга возникла в результате переработки указанного выше пособия. Здесь учтены замечания и предложения кафедр высшей математики заочных вузов. Эта переработка выполнена Б. Д. Никитиным, им же написано и приложение — краткий справочник по выс шей математике. Задачи к главе II дополнены С. В. Ро дионовым.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Предметом исследования векторного анализа являет
ся понятие поля, заимствованное из механики и физики.
Понятие поля, как и другие математические понятия,
представляет собой выражение определенных количест венных отношений и пространственных форм материаль ного мира.
1° Определение. Скалярным или векторным полем называется часть пространства, каждой точке которой от несено значение некоторой скалярной или векторной ве личины. Из этого определения очевидно, что с логиче ской стороны понятие скалярного поля ничем не отлича ется от понятия скалярной функции ф (х; у, z), а век
торного поля—от понятия векторной функции А (х; у, z).
Таким образом, задание скалярного поля сводится к за данию некоторой скалярной функции <р (х; у; z). Зада ние векторного поля сводится к заданию некоторой век
торной функции А (х; у, г), что в свою очередь эквива лентно заданию тройки скалярных функций; Ах(х; у; z),
Ау (х; у; z), A z (х; у, z) —проекций вектора на оси де картовой системы координат.
Приведем примеры скалярных и векторных полей.
Пусть в некоторой декартовой системе координат нахо дится неравномерно нагретое тело и температура в каж дой точке его нам известна: t= ф (х; у; z). Тогда часть пространства, занятую этим телом, можно рассматри
вать как скалярное поле температур данного тела.
Так же можно рассматривать поле плотности массы данного неоднородного тела. Другим примером скаляр ного поля является поле атмосферного давления.
Векторными полями являются, например:
5
I. Электрическое поле точечного заряда q. Здесь каждой точке пространства ставится в соответствие век
тор напряженности Е = ~ г, представляющий силу взаимодействия данного заряда q с единичным зарядом
вданной точке М (г).
2.Поле сил тяготения: каждой точке пространства
ставится в соответствие сила тяжести единичной массы, помещенной в этой точке.
3.Важным примером векторного поля является поле
магнитной напряженности.
Пусть, например, по прямолинейному проводнику L
течет постоянный ток плотности J (см. рис. 1); тогда согласно опытным данным, в любой точке М, не лежа
щей на L, элемент тока Jdl порождает вектор магнитной напряженности dH. Согласно закону Био-Савара:
d/у = 1у1 dl.
К*
А вектор магнитной напряженности Н в точке М, по рожденный всем током проводника L, очевидно, опреде лится криволинейным интегралом
Н = *j HJQ-dl.
'l
2°. Для наглядности представления полей пользуются графическим изображением их.
|
Графическое |
изображение |
скалярного |
|||
поля. Пусть нам |
дано |
некоторое |
скалярное поле |
|||
<р |
(х; у\ г). Зафиксируем некоторое постоянное число с |
|||||
и |
построим точки М (х; у, г), в которых значение поля |
|||||
<р |
равно постоянному числу: |
'!*И |
У, %) — с- |
Геометри |
||
ческое место точек, |
для которых |
(х; |
у; г) |
= с, состав |
ляет, вообще говоря, в пространстве некоторую поверх ность. Эта поверхность называется эквипотенци альной, или поверхностью равного уровня. Таким же
образом строятся поверхности равного уровня для чисел:
с-ф/i, с'4-2Л, ..., c-\-nh, где h — произвольно выбранное
число.
Совокупность (семейство)' этих поверхностей и слу жит геометрическим изображением скалярного поля.
6
Например, поле функции <р (х; у, г) — V х2-|-(/2-фг2
изображается геометрически семейством концентриче
ских сфер с центром в начале координат радиусов о, h, 2h, .... nh, ...
Если функция ср зависит только от двух координат,
например от х и у, то поле функции <р называется плоскопараллельным. Поверхностями уровня в
этом |
случае |
будут цилиндрические |
поверхности |
<р (х< |
У) — с |
с направляющими линиями, |
расположен |
ными в плоскости хоу. Эти линии и могут служить гео
метрическим изображением плоскопараллельного поля.
На рис. 2 изображено семейство направляющих линий плоскопараллельного поля:
'f(x; у;) == х’ «г- у* . .
Пример. Построить семейство поверхностей равного уровня поля:
|
у; |
Решение. Уравнение поверхностей равного уровня |
|
в данном случае будет; |
= с или г — с (х’-фу2)-^ |
параболоиды вращения . Величина с определяет «раст вор» параболоида (см, рис. 3),
7
Семейство поверхностей равного уровня дает нагляд ное представление о скорости изменения поля: где эти поверхности располагаются близко друг от друга, там скорость изменения поля будет больше, чем там, где э?и поверхности располагаются дальше друг от друга. Так,
из рис. 2 видно, что скорость изменения поля <р = х2—у2
в точках, расположенных у асимптот, будет больше,
чем в точках, расположен ных у координатных осей.
Графическое изо-
бра ж е ни е |
вектор |
|||
ных |
полей |
осуще- |
||
ствляется |
при |
помощи |
||
векторных |
линий |
(см. |
||
рис. |
4). |
Векторная |
||
линия |
поля |
векто |
||
ра Л — это такая |
ли |
ния, во всякой точке ко
торой вектор А направлен по касательной к этой
линии. Векторные линии характеризуют только направ
ление поля в каждой точке.
Для графического изображения векторными линиями модуля вектора А поступают обычно следующим обра
зом: через площадку AS, перпендикулярную к вектору А в данной точке М, проводят векторные линии в количе
стве N, пропорциональном модулю вектора А в точке М
ивеличине площадки A S:
М= /<|А| • AS .
8
Таким образом, в точках, где модуль вектора А боль ше, векторные линии проводят гуще, плотнее, чем в точ
ках, где модуль вектора А меньше.
На рис. 5 изображено продольное сечение поля ско ростей жидкости, текущей по трубе, имеющей перемен ное поперечное сечение. Где размеры поперечного сече-
Рис. 5
ния меньше, .там скорость течения жидкости больше, и векторные линии располагаются плотнее друг к другу.
Векторное поле, как и скалярное, может быть плоско
параллельным, когда функция А зависит только от двух
координат.
Если функция ср или А зависит и |
от координат X; у\ |
z, и от времени t, то поле называется |
нестационар |
ным. Поле, которое не меняется с |
течением времени, |
называется стационарным. В дальнейшем рассмат риваются только стационарные поля.
Глава 1.
СКАЛЯРНОЕ поле
§ 1. Производная скалярного поля
Пусть нам задано скалярное поле.функции <р (х: у; z) в некоторой области V. Вместо ср (х; у; z) мы будем в дальнейшем писать сокращенно ср (М), подразумевая под этим, что величина <р зависит от координат точки
М (х; у; г). |
|
производной |
\ |
<р |
(А4) в |
данной |
|||
Введем понятие |
поля |
||||||||
точке М по данному |
направлению /п. |
Зафиксируем в |
|||||||
данной точке М (х; |
у-, z) поля |
некоторый |
единичный |
||||||
вектор |
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
70 |
— i |
cos а + / cos Р -ф k cos 7 |
|
|
|
||||
|
|
|
(см. рис. 6) |
и возьмем на |
|||||
|
|
|
направлении |
этого |
век |
||||
|
|
|
тора точку All (хх; yt; zj, |
||||||
|
|
|
отстоящую |
от М на рас |
|||||
|
|
|
стоянии А/. |
Разность Аср== |
|||||
|
|
|
= cp(Mi)--(М) |
опреде |
|||||
|
|
|
ляет изменение |
(или |
|||||
|
|
|
приращение) |
поля |
при |
||||
|
|
|
переходе |
от |
точки |
М |
|||
|
|
|
к точке Alj, а отнощенив |
||||||
|
|
|
|
Д<Р |
|
|
— <p(Af) |
|
|
X |
|
|
|
д/ |
|
|
д/ |
|
|
0 |
|
определяет среднюю ско |
|||||||
рнс |
|
||||||||
|
|
|
рость |
изменения |
поля ср |
||||
на участке Д/. Предел этого”отношения, когда |
Д( ->• 0 (ес |
||||||||
ли он существует), |
называется производной |
поля |
<Р |
фМ) |
ю