Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 57

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ky^dy, kz^dz и поэтому

du.^dx + ^dy^- !™аг. (18,e)

Для функции двух переменных u=- f (х; у):

da.^Ldx+±f^Ldy. (i9,c)

Частные приращения функции u=.f (х; у, z) — (при­ ращения, обусловленные приращением лишь одного пе­

ременного) — могут быть выражены через

частные про­

изводные по формуле Лагранжа:

 

 

 

 

 

f(x фДх; у; z) — f(x; у;

z) =

 

 

 

 

 

= ^/(x'-f-S Дл;

y;z)&x;

 

 

 

 

 

f(x; у-\-/\у;

z) — f(x; у;

z) =

 

 

 

 

 

д

г,

,

сд

, .

 

 

 

■

 

(20,с)

-■^уНх;

у + бАу;

z)- Ду;

 

 

 

 

 

f(x;

у, z + Д z) — f(x; у;

г) =

 

 

 

 

 

 

 

У; г + 0Дг)-Дг„

 

 

 

 

 

Пусть

дана

поверхность

и = f

(х;

 

у)

и

точка

М (х0; у0;

f (х0; у0)), лежащая на этой

поверхности.

Тогда вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-^о; Уо) ^+(-^о; Уо)7

“^’

 

(21,с)

будет перпендикулярен к поверхности f = f(x; у)

в точ­

ке Мо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в функции u—f

(х; у; Z) переменное z есть функ­

ция от х;

у: z= <р

(х; у), то й = f (х;

у,

<р (х;

у))

будет

сложной функцией от х и у. Ее частные производные

вычисляются по формулам:

ди

df

'

df

dz _

ди _

df

.

df

dz

'

,

dx

dx

'

dz

dx ’

dy

dy

'

dz

' dy ‘

,C'

 

Пусть уравнение F (x; y; z)—C определяет z как не­

которую

функцию от

х

и у:

z = f

(х; у),

так

что

Р (х-, у, f (х; у) ) =С.

101

Тогда производные функции z-f (х; у), заданной

неявно уравнением F (х; у; z) =«С, определяются по фор­

мулам:

дг

дР

дг

dF

 

дх .

ду

(23, с)

дх

”

ду

dF •

 

dz

 

дг

 

Вектор

(24, с)

будет перпендикулярен к поверхности F (х; у; z)=C в точке Мо (х0; yn; гп), лежащей на этой поверхности.

Вычисление производных от производных функций называется повторным дифференцированием.

Так. функция и = f (х; у) может иметь четыре част-

ных производных второго порядка:

(df\-

 

-ЙЗ/

 

д

(df Y

d2f

д

 

дх2

 

дх

( дх у’

ду2

ду

1

ду !’

 

д2/

 

д

р/ у

d2f

д

 

. (25, с)

 

 

< df\

 

дхду

~ ду

дх у’

дудх

дх

{

ду ]■

„

d2f

и

д2 /

 

 

то

 

 

Если

5——

-----~ непрерывны,

 

 

 

дхду

 

дудх

t

>

 

 

 

 

 

 

 

d2f

_

 

 

(26, с)

 

 

 

 

дудх

~~ дхду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта формула выражает независимость частных про­ изводных от порядка дифференцирования.

Интегральное исчисление

Пусть на отрезке [а; 6] определена некоторая функ­

ция f (х). Разобьем отрезок [а; Ь] каким-либо образом

внаправлении от а к b на п отрезков Д хг, Д х2...;

ДЛр..; Дх~х;+1-хг.

В каждом из отрезков Дх; выберем произвольно

точку С/ и составим интегральную сумму:

п

102

Если 1(х) непрерывна на [д; 6], то предел интеграль­ ной суммы, когда все существует и называ­ ется определенным интегралом от функции f (х) в преде­ лах от а до Ь:

Ь

 

п

 

f

f(x)dx = lim

f(Cl)^xl.

(27, c)

a

*x‘

l-l

 

Во многих’случаях определенный интеграл вычисляет­ ся при помощи формулы Ныотона-Лейбница:

ь

ь

(28, с)

J f (x)dx = F (х)

| =F(b)—F(a),

а

а

 

где F (х) —первообразная функция f(x).

 

Функция F(x) называется первообразной

функции

f(x~). если F', (х) =J (х).

 

 

Множество первообразных F(x) -|- С данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функ­ ции f(x):

J f(x')rfx=f (х) -f- С, если F',(x) =f(x).

Таблица простейших интегралов

 

dx

_ /

arctgx+C,

 

 

1 + х*

(

— arc ctg x + C.

 

IV.

dx

 

14- x |

 

 

 

T^x I

 

 

 

 

 

у C

dx 1

I arc sin x 4- C,

J

— x2

I —- arc cos x + C.

P

dx

 

,_____

VL

17==-=ln lx 4/x2

±1|+C.

J

V xa ± 1

 

 

VII

. f

*adx=

— +C

(a>0); \ exdx = ex + C,

J

In a

J

 

103

VIII, J sin х dx — - s*e x 4- Q.

IX.

X.

XI.

XII.

XIII.

XIV.

XV.

j* x dx ■« -In x 4- G.

J sin’ X «-ctgx + C.

f -dX- = tg x + C.

*j sh x'dx = ch x + C.

j* ch x dx — sh x + C.

[ ,.dx.. = —cthx + C. ) sh2 x

1Г —— = th x + C. ) ch2 x

Основные методы интегрирования

1)

Если

J f(x)dx = F(x) + С и

и — <р (х) —дифференци­

руемая

функция, то J f(u)du — F(и) -ф- С;

2)

J [CJ1 (х)' -ф- C2f2(x)~\dx = С,

J fi (x)dx -j- С2 J fs(x)^xi

3)

Пусть функция х=: <р(0 имеет непрерывную произ­

водную,

тогда

 

 

 

$f(x)dx= J

(t)dt;

4)

J udv = uv — J vdu.

 

Двойной и тройной интегралы

Пусть в некоторой области Р плоскости хоу, ограни­

ченной линией L, задана функция f (х; у).

Разобьем область Р каким-либо образом на п эле­ ментарных площадок а,; выберем в каждой из площа­

док а. произвольную точку Mt (х(; уг) и составим ин­ тегральную сумму

п

S

1-1

104

Если f (х; у) непрерывна в области Р, то предел инте­ гральной суммы, когда каждая площадка а(. стягива­ ется в точку, существует и называется двойным интегра­

лом от f (х; у)

по области Р:

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

(29, с)

ff

f (х;

у) dxdy ==. lim

£

 

V

 

 

*0D(a/)-

 

 

 

 

где D (в/)—диаметр площадки,

—расстояние между

двумя наиболее

удаленными

точками площадки

oz.

Запись Z)(a;.)—=0 означает, что каждая площадка az

стя>

гивается в точку.

 

 

 

 

 

Двойной интеграл вычисляется при помощи повтор­

ного интегрирования.

 

 

 

 

 

Пусть область Р ограничена двумя линиями: у=^г

(х),

у—. <р2 (х)

и двумя прямыми х = а

и х = Ь.

Тогда

 

Р

 

 

а

<р,(х)

 

 

 

 

 

b

<р (х)

 

 

 

 

 

= J dx

*j f (х; у) dy.

(30,с)

 

 

а

<н(х)

 

 

 

 

Если область Р ограничена двумя линиями

х= ?1(г/),

х=4 4>2(у)

и двумя прямыми у = с и у =-d, то

 

JJ

 

у) dxdy = J (

j /(х; у)й?х)б/у =

 

Р

 

 

с <р,(у)

 

 

 

 

 

d

<р,(у)

 

 

 

 

 

= J dy

J f(x; y)dx.

(31,с)

 

 

с

?1(У)

 

 

 

 

Аналогично определяется и тройной интеграл от непре­

рывной функции по некоторому объему V;

Ш У(х; У> z)dxdydz= lim Е/(^)ДК-

(32, с)

Если объем V ограничен двумя поверхностями г= <р, (х; у)

и z = ф2 (х; у) и проектируется на плоскость хоу в не­ которую область Р, то

105

У)

Ч> (-г; у)

(33, с)

Ру)

Если объем V ограничен двумя поверхностями у— ср, (х; г)

и у — ср2

(х; z)

и проектируется на плоскость xoz в не­

которую область Р, то

 

 

 

 

 

 

 

Z^dxdydz=

<f,(x: z)

 

dxdz =

JJJ ^Х’

(

J f(x-,y,z)dy

' V.

 

 

 

Р

<f,(x;z)

 

 

 

 

= УУ dxdz

z)

 

у;

z)dy.

 

 

 

 

у /(х;

 

(34, с)

 

 

 

 

<fi(x; z)

 

 

 

 

 

Если

объем

V ограничен

 

двумя

поверхностями

х = ср,

(у,

z) и х = <р2

(у z), Р — проекция объема V на

плоскость yoz, то

 

 

 

 

 

 

JJj

/(-r;3z;z)£(-r^y^z== JJ (

?»(у: г)

у;z) dx) dydz =»

j"

/(;*

v

 

 

 

p

<pi(y; *■)

 

 

 

 

 

= JJ

dydz

<p»(y; z)

 

 

z) dx.

(35, с)

 

 

J f(x\ y;

 

 

p

?.(y; z)

 

 

 

 

 

При вычислении двойных и тройных интегралов иног­ да бывает целесообразно предварительно произвести за­ мену переменных с тем, чтобы пределы интегрирования

в каждом из повторных интегралов были независимы от

переменных.

Например, если в плоскости хоу область Р есть круг: х2 + У2<%2, то при вычислении двойного интеграла по Р целесообразно перейти к полярным координатам:

x = rcos ср; z/=rsin ср.

при этом:

УУ f(x',y)dxdy=* уу f (гcos <?; rsin<p)rdrd^>

р р, «и Р

=» у dcp у /(rcoscp; rsin<p)rdr, 0 О

Юб

Смотрите также файлы