Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Рис.

7

Рассмотрим

теперь

вопрос о

существовании

и

установим

формулу для ее

вычисления.

Пусть

через

точку Mt

(х0; у0”> z0)

поля

функции <р (М)

проведена

поверхность

равного

уровня;

<р

(М) ■»

<р

(Aft)

(см.

рис. 7). Тогда вектор

jy =

д^М°^ 7 4-

дфрИо)

-7

■

д<?(М0)

-Г

0

дх

‘

ду

J

'

дг

будет нормальным к этой поверхности в точке М9

(см.

Теорема.

Если функция

7 (Мо) дифференцируема в

точке Мо, то производная поля функции

<р (М)

по лю­

бому направлению

I = Zcos а + / cos р 4~ kcos у

в точке Мб существует и

численно

равна

скалярному

произведению векторов No и I:

“

(2)

Или в координатной форме (см. форм. 6, с):

=

Cosa + JWM cos? +

COST. (2,а)

Доказательство.

Согласно

определению

диф­

ференцируемой функции (см. форм. 17, с), ее

полное

приращение в точке Мо

представляется в виде:

Ш) =

Ах +

Ду +

_|_ ^<ЛЦ

е(дх.

Ду. Дг) д/,

(а)

где

г-» 0,

когда

AZ —> 0,

а

Дх;

Ду;

Аг — проекции век­

тора

Д/ = М0М

на оси

координат: А х = A Zcos а; Ду=

= А/cos р;

Д г = A I cos 7 . Подставив эти

значения при­

ращений в

формулу (а)

и разделив на Д/,

получим:

зависит от Д I

и,

кроме

того,

эта сумма может

быть

представлена в

виде Л;о/,

а последнее слагаемое — е -► О,

когда AZ-> 0. Таким образом,

получим:

д1

дг^0 AZ

В дальнейшем

мы всегда

будем предполагать

диф­

В плоскопараллельном поле

<р

не зависит от z,

по­

тому

—■ = 0 и

<W)

_ <Рд(/И)

.

дт(Л1)

-

<2б>

di

-

cosa “Г“77“ cos Р-

Пример. Найти производную плоскопараллельного

поля <f>

(Л1) =_х2 — у2 в точке М ( Y 3; 2)

По

направле­

нию вектора / = i

j ■ ]/ 3.

Решение. 1. Определим направляющие косинусы

вектора I:

I I | =1^ 1

+ (/З)2 = 2;

cos a =

cos§ =

.

2. Определим частные,

производные

функции <р

в

точке

(\/ 3;

2):

4“=2л;

-^Ж=2}/3’;

-^ = -2у;

=

ох

дх

г

ду

оу

= —2-2 = -4

По формуле (2 б)

определяем

:

^1. = 2 /3 •

- 4^- = — /3 •

(Отрицательный знак производной

поля

указывает

на

то, что в данной точке в

направлении данного вектора

поле убывает)

Упражнения

1.

Построить семейство поверхностей равного уров­

ня скалярного поля:

\

4

z

а) <? = arc tg V х2

+ у*

Ответ. Круговые конусы с вершиной в начале коор­

динат.

= у2 — 2 х.

б) ?

Ответ. Семейство парабол, симметричных оси ох.

2.

Найти производную поля:

a)

<p

= Зх24-2</3

в точке M (1;

1; 0) по направ­

лению от точки М (1;

1; 0)

к точке

(4;

5; 0).

Ответ.

= 8,4.

б)

<р

= -^~ в точке М (1; 2) по направлению

каса­

тельной к параболе_//2

= 4 х в точке М (1;2).

п

d<f

= -

V1 •

Ответ.-

§ 2. Градиент скалярного поля

Пусть в

поле функции

<р (М) дана

некоторая

экви­

потенциальная поверхность

(см. рис 8):

Возьмем на

этой

поверхности точку М и построим

в ней единичный

grad р (Л1) =

-~пй.

(3)

Теорема. Вектор grad

у(М)

в каждой точке М по­

ля равен нормальному вектору N:

gradHM) *'=«=^Й-^7+^

<4>

Производная поля в

каждой

точке М по любому направле­

нию I

есть проекция,

вектора

grad р

на направление I

(см.

—г,

, ду —

ду

-Г

—

ры Л/ = ~дх1 + ду '+

~дг

*

и п° паРаллельны между

собой.

Действительно,

оба они направлены по нормали

ними будет или 0°,

или 180°.

Кроме того,

| па | = 1.

Из

формулы (2)

и из определения скалярного произведения

(см. форм. 4,

с) имеем:

_л_

д___ _____

_

_л_

_

'dih

=

‘ nol gos(A/7i0)

= |jV| cos (Nm)

(б)

растания поля р_(Л1),

поэтому приращение функции р

в направлении п0 положительно: Др>0.

Тогда

,

31>0 „

дп

ф->0.

Л/io

йп-0

Таким

образом,

д

—

-Л-

0, что невоз-

= |JV| • cos

(Nn0) >

_л_

можно, если угол

(jV/20) = 180°,