Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
126 |
Основные теоремы дифференциального исчисления |
[гл. VII |
6. |
Для всех значений независимой переменной, |
найден |
ных согласно предыдущим пунктам, определяются соответст венные значения функции; эти значения располагаются в таб лице и используются для эскизного вычерчивания графика исследуемой функции (черт. 82).
УПРАЖНЕНИЯ
Проработку теоретического материала дополнить реше нием следующих задач:
I. Найти производную функций
1.у^2\Г х--~у~,
УJU
2- =
Уа2 — х2
3.у = V2рх ,
2 |
2 |
\ 3 |
3 |
3 |
Г2 |
, 1 I 1
ответ: у — ■■■■ -г--- -ф..../_ .
у х 4ху х
гЛ.
У=------ 7-----
(а2 — х2) а'2 — х2
4.а — х / >
II. Найти производную неявных функций
|
а2 |
Ь'2 |
1 ’ |
” |
J а2у ’ |
3. |
х3 + У3 — Заху = 0, |
„ |
у'= aylZax |
||
4. |
Показать, |
что параболы |
|
||
|
|
у2 = 2р [х 4- |
и у2 = 2р |
---- х} |
|
пересекаются под прямым углом. 5. Показать, что окружность
х2 4- У2 — Юх = О
касается окружности
х2 + у2— 16x4-8^ — 20 = 0
в точке (2; 4).
128 |
Упражнения |
III.Дифференцировать функции
1. |
f(x) = ln |
а |
— х |
|
ответ: f'(x) =—• —- . |
|||
|
'' |
z |
|
|
' ' ' |
a2*— x2 |
||
|
|
|
|
|
|
” |
y' = (exjf-e-xy ■ |
|
3. |
у — хх, |
|
|
|
„ |
y' = xx (Inx—1). |
||
4. |
= |
|
|
|
|
” |
'Р'^) = Г=4Г- |
|
5. |
f(x) = In |
|
|
, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
y = x)Z 1 |
—x (1 4-x), |
” |
dy _ 2 4~ 5x — x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
dx ~ 2/l~”T * |
||
|
|
IV. Дифференцировать функции |
||||||
i |
|
1 |
|
|
ответ: |
, |
sec2x |
|
|
/У==71y 8ГТ’ |
y=-----2(tg®)5— • |
|
|||||
2. |
|
y-=x*'nx |
|
„ |
у'=х^х{^±^озх\пх\ |
|||
3. |
у=1п/1±11ЕД, |
ответ: |
z/' = secx. |
|
||||
|
s |
r |
1 |
— sin X |
|
|
||
4.у = sin(%4- a)cos(x — a),
|
|
ответ: у' = cos 2x. |
5. |
y — exsmx, |
ответ у' — 2e*cos x. |
|
V. Дифференцировать функции |
|
, |
. |
X |
1. |
z/ = xarcsinx, |
ответ: r/z = arc sin x 4~ |
2. |
у = In arc tg ~ |
„ y' =---------- ?------ —. |
(4 4- X2) arc tg-2~
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
120 |
3. |
I(u) = и |/ |
а2 |
— и2a2 arc sin |
, |
|
|
|
|
|
|
|
ответ: j'(u) = 2]/^а2— и2. |
|||
4. |
у — |
х3 arc tgх---- | ■ х2Ц- - g- |
1п(х2 4 1), |
|
|||
|
|
|
|
ответ: у' = х2 aretgx. |
|
|
|
|
VI. Проверить каждое из следующих |
||||||
|
|
|
дифференцирований |
|
|||
]- |
|
= |
|
ответ: |
/iv (х) |
. |
|
2. |
a-24V = 4 |
, |
dx- |
= |
у- |
||
|
1 |
•' |
’ |
” |
|
||
3. |
у — r--y— arc tg х---- -- х In (1 |
4 |
|
|
|||
ответ : у"= arc tg :г.
Задачи па исследование функций и другие вопросы диф ференциального исчисления смотри в «Контрольных заданиях по высшей математике», изд. 3, ВЗЛТИ, Ленинград, 1958.
Митропольский Аристарх Константинович
Лекции по дифференциальному исчислению
Редактор А. Я. Брук |
|
Корректор Л. В. Безгодова |
||
Сдано в пр-во 21 ТХ-59 г. Под. к печ. |
8/П-59 г. Зак. 1418 Объем 8,125 и.л. |
|||
Изд. № 19 |
Тираж |
4000 М-24119 |
Цена 5 р. 70 к. |
Бум. 60х92'/1|; |
Типография Ленинградской ордена Ленина лесотехнической академии |
||||
|
имени С. |
М. Кирова. Ленинград, Институтский, |
5. |
|
