Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf

120 Основные теоремы дифференциального исчисления [гл. VII

В знаменателе этой дроби оба множителя бесконечно велики при х ->оо . Следовательно, и в этом случае

Таким образом,

lim хпе~х — 0.

Ж-* оо

§ 6. АСИМПТОТЫ

Кроме рассмотренных выше вопросов, при исследовании функции важно выяснить ее изменение при х ->оо. Сравнивая данную функцию y — f(x) с некоторой линейной функцией

у = ах-\-Ь при х->оо, иначе говоря, сравнивая бесконечные ветви кривой с некоторой прямой, мы приходим к понятию асимптоты кривой. ■

Асимптотой кривой называется такая прямая, что расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю

при беспредельном удалении точки от начала координат. а) Асимптоты, параллельные оси ОХ.

Если функция f(x) определена для сколь угодно больших значений х, то надо исследовать поведение функции при

х -> ± оо. Если при этом окажется, что

limffx) = b,

Жоо

то прямая

У = Ь

будет горизонтальной асимптотой данной кривой.

Чтобы узнать, проходит ли кривая y = f(x) при больших значениях х выше или ниже своей асимптоты у = Ь, надо определить знак разности

f(x)-b

при больших значениях х.

§ 6] Асимптоты 121

б) Асимптоты, параллельные оси OY.

Если функция дробная, то надо определить значения не­ зависимой переменной, при которых знаменатель обращается

в нуль, и выяснить, имеет ли числитель при найденных зна­ чениях независимой переменной значение, отличное от нуля

или равное нулю.

В первом случае исследуемая функция при найденных значениях независимой переменной обращается в бесконеч­ ность; т. е. имеет разрыв; во втором случае—обращается

О

в неопределенность вида -q-.

Черт. 81

Если разрыв функции имеет место при х = а, то

lim f(x) — оо ,

х->а

и прямая х = а служит вертикальной асимптотой кривой.

У= 1(х).

Вэтом случае надо исследовать, принимает ли f(x) поло­

жительные или отрицательные значения, когда х, увеличи­ ваясь, приближается к а; точно так же надо исследовать по­ ведение f(x), когда х, уменьшаясь, приближается к а. Дру­ гими словами, надо найти, какой из четырех возможных слу­ чаев обращения функции в бесконечность имеет место (черт. 81).

В случае же неопределенности функции при х = а тре­

буется раскрыть истинный смысл неопределенного выраже­

ной ветви

х-> со

ичтобы существовали пределы

нию следующих вопросов. Решение каждого из этих вопросов выполним, исследуя функцию

ипостепенно изображая на чертеже найденные результаты.

1.Определение области существования функции; т. е. на­ хождение значений независимой переменной, при которых

исследуемая функция имеет действительные значения. Многие элементарные функции определены при всяком

значении х, т. е. от — оо до -|-оо, таковы рациональные алге­ браические функции, например:

у = хз_3х2 + 2, У = ^~х,

тригонометрические функции sin х, cos х и др. Такие же функции, в выражения которых входят радикалы четных сте­ пеней, логарифмы, арксинусы и арккосинусы, могут иметь бо­ лее узкие границы изменения аргумента х, так как аргумент корня четной степени должен быть неотрицательным числом,

аргумент логарифма — положительным числом, а абсолютное

■значение аргумента арксинуса и арккосинуса не больше 1.

Обращаясь к функции (А), мы видим, что в выражение этой функции не входят радикалы четных степеней, следова­

тельно, мнимых значений функции не будет; функция опреде­ лена для всех значений х. Таким образом, область существо­ вания функции будет

I — 00,4- °°|,

за исключением значений х, при которых знаменатель дроби

(А) обращается в нуль.

2. Определение точек пересечения графика функции с осями координат.

а) Определение значения функции при значении незави­ симой переменной, равном нулю, т. е. нахождение ординаты

точки пересечения графика исследуемой функции с осью ординат.

Для решения этого вопроса надо в уравнении д'анной кри­ вой положить х = 0 и найти ух=о.

Для функции (Л) имеем

= — 1.

б) Определение значений независимой переменной, при которых рассматриваемая функция обращается в нуль, т. е.

нахождение абсциссы точек пересечения графика исследуе­ мой функции с осью абсцисс.

Для решения этого вопроса надо в уравнении данной кри­ вой положить г/ = 0 и найти корни полученного таким обра­ зом уравнения.

Для функции (Д) имеем

х2 + 3х—1=0,

Х[ = —3,3; %2== “НТЗ-

3. Определение значений функции на границах области ее

существования. В тех случаях, когда функция определена для сколь угодно больших значений независимой переменной, надо исследовать поведение функции при х = +оо. Следова­ тельно, вопрос сводится к нахождению асимптот, параллель­ ных оси ОХ.

Для функции (А) имеем:

Таким образом, прямая

У — +1

служит асимптотой рассматриваемой кривой как при х=-фоо, так и при х — — оо .

Для определения того, проходит ли кривая выше или ниже своей асимптоты, определим знак разности

асимптоты, а при х->-фоо—выше своей асимптоты.

4. Определение точек разрыва исследуемой функции. Решение этого вопроса сводится к нахождению асимптот,,

параллельных оси ОУ.

Исследуя функцию (А), приравняем нулю знаменатель

х2 — Зх + 1 = 0.

в знаменателе дроби, будут отрицательными, так что

(х —0,4) (х — 2,6) >0;

в то же время и числитель при значениях х, близких к -ф 0,4, будет положительным. Следовательно, в этом случае

г/ > -ф со .

Если же х ->-ф0,4 убывая, то первый множитель знамена­ теля будет положительным, а второй отрицательным, так что

(х — 0,4) (х — 2,6) <0;

числитель же остается положительным. Следовательно, в этом

Эти вопросы решаются при помощи способов, рассмотрен­ ных выше (гл. V, §§ 5—10).

Для функции (А) первая производная равна

,— 6х2 + 4х

У= (х2-Зх-|-1)2 •

Приравнивая производную нулю и решая полученное уравнение, находим критические значения:

максимум, равный — 2,6.