Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 0
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 1. механический смысл производной
Теория пределов является введением в дифференциаль ное исчисление. Умение находить пределы переменных ве личин дает возможность установить основные понятия диф ференциального исчисления — понятия производной и диф ференциала.
Чтобы ясно представлять, |
что такое производная, рас |
||
смотрим две задачи, при |
Z.CV |
||
ведшие к открытию диффе- |
|||
ренциального |
исчисления. |
X. |
|
Одна из этих задач, решен- |
|||
ная |
Ньютоном, |
относится |
\ |
к |
определению |
скорости |
х. |
движения тела; |
другая за- |
тД, и |
|
дача, решенная Лейбницем, |
|||
состоит в проведении каса- |
|
||
тельной к кривой. |
|
||
Остановимся |
сначала на |
|
задаче Ньютона, решение -----------------------------------------
которой приведет нас к вы |
|
|
яснению |
механического |
Черт. 1 |
смысла производной.
Положим, что требуется определить скорость движения
поезда между Ленинградом (L) и Москвой (М) (черт. 1).Же лезнодорожный путь между этими городами почти не от
личается от прямой линии. Для определения скорости движе ния надо знать величину пути, т. е. расстояние между этими пунктами, и время, т. е. число часов, потраченное на прохо
ждение этого расстояния. Расстояние между Ленинградом и
Москвой будем считать равным 650 км; а время пробега все го пути пусть будет равно 10 часам. Тогда, если бы движение поезда было равномерным, мы нашли бы скорость — т. е.
путь, пройденный за единицу времени, — равной
650
—- = 65 км в час.
10 |
Производная |
[гл. I |
Но движение поезда |
не является |
равномерным. Поэтому, |
разделив путь на время, |
мы находим только среднюю ско |
|
рость, т. е. скорость воображаемого |
поезда, который, дви |
гаясь равномерно, за промежуток времени в 10 часов прохо дит путь в 650 км. Если же мы хотели бы найти скорость поезда в некоторый момент времени, то мы должны были бы наблюдать движение поезда в некоторый малый промежуток времени. Тогда, разделив величину пути, пройденного за этот промежуток времени, на этот промежуток, и перейдя к пре делу, когда величина промежутка стремится к нулю, мы на шли бы скорость движения поезда в данный момент.
Переходя к общей постановке вопроса, мы можем рас
сматривать путь s, пройденный точкой, движущейся по пря мой, как функцию времени t:
s = f(t).
Возьмем два момента времени I и Л; тогда путь, пройден ный за промежуток
tx — t,
будет равен
Среднюю скорость оср за этот промежуток получим, разде лив путь, пройденный за этот промежуток времени, на этот промежуток:
Чем меньше будет промежуток времени Л •— t, тем с боль шим основанием мы можем считать движение рассматривае мой точки за этот промежуток равномерным. Предел же отношения (1) при стремлении ti к t даст скорость v в дан
ный момент t:
t, -»t • ч — * |
(2) |
|
Скорость v так же, как и путь s, есть функция от време
ни t; эта функция, будучи произведенной из данной функции,
называется производной рассматриваемой функции f(t) по независимой переменной t; таким образом, скорость дви жения материальной точки по прямой выражается производ ной от пути по времени.
Определим, например, скорость свободно падающего тела в пустоте. При помощи опыта установлено, что путь, прой
§ 2] Геометрический смысл производной 11
денный свободно падающим телом за время t, пропорциона лен квадрату времени, т. е. путь выражается функцией вида:
s = f (Q — at2,
где ti = 2“, причем g" = 981 см!сек2 есть постоянная величина
представляющая ускорение силы тяжести. По формуле (2)
имеем
|
at2, — at2 |
|
t) |
— 2at, |
|
v = lim —----- — : - a lim (^i |
|
||||
t,-~t |
и —« |
t, -> t |
|
|
|
т. е. скорость при свободном падении |
возрастает пропорцио- |
||||
нально времени. Подставляя |
|
|
g |
вместо а, |
|
в это выражение у |
|||||
получим |
v ■ = gt- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ |
|||||
Перейдем теперь |
к задаче |
Лейбница, |
решение |
которой |
приведет нас к выяснению геометрического смысла производ ной.
Положим, что дана функция
изображаемая |
некоторой |
|
|
||||
кривой (черт,- |
|
2). |
Тре |
|
|
||
буется |
провести |
каса |
|
|
|||
тельную к этой кривой в |
|
|
|||||
точке М, т. е. определить |
|
|
|||||
тангенс угла наклона ка |
|
|
|||||
сательной |
к |
кривой в |
|
|
|||
этой точке к оси абс |
|
|
|||||
цисс. |
|
|
|
|
к |
|
|
Касательной |
|
|
|||||
кривой в некоторой точке |
|
|
|||||
называется |
предельное |
|
|
||||
положение секущей, |
про- |
Черт. |
2 |
||||
веденной |
через |
данную |
|
|
|||
точку и |
через |
другую точку кривой, беспредельно прибли |
|||||
жающуюся к данной. |
|
и какую-нибудь |
|||||
Возьмем на кривой данную точку М(х; у) |
|||||||
точку М\ (xi; z/i). |
Построим ординаты NM и |
NiM\ этих точек |
и из точки М проведем прямую МР, параллельную оси ОХ. Положение секущей, проходящей через эти точки, т. е. ее
12 Производная [гл. I
угловой коэффициент, определяется из прямоугольного тре угольника MPMi, а именно:
_PMi _f(Xi) — f{x)
|
Xi — X |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть теперь точка Mi, перемещаясь |
по |
кривой, |
будет |
||||||
стремиться к совпадению с |
данной точкой М. Вместе с |
|
этим |
||||||
перемещением точки Mi весь чертеж придет |
в |
движение: |
|||||||
1) будет изменяться положение секущей, |
которая, |
вращаясь |
|||||||
около точки М, будет стремиться к своему |
предельному по |
||||||||
|
ложению МТ, т. е. положению |
||||||||
|
касательной в точке М; 2)точ |
||||||||
|
ка |
будет приближаться |
к |
||||||
|
точке N; 3) прямая A^iAfi |
бу |
|||||||
|
дет стремиться слиться с пря |
||||||||
|
мой NM-, |
4) |
угол |
си |
будет |
||||
|
стремиться |
к |
совпадению |
с |
|||||
|
углом |
а наклона |
касательной |
||||||
|
к кривой в точке М; а следо |
||||||||
|
вательно, |
и tg си |
будет |
стре |
|||||
|
миться к tga. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Таким образом, предел вы |
||||||||
|
ражения (3), |
когда |
Xi -> |
|
х, |
и |
|||
|
будет |
определять |
положение |
||||||
|
касательной, т. е. будет равен |
||||||||
|
тангенсу угла |
наклона |
каса |
||||||
|
тельной к кривой в точке М: |
||||||||
tg a = lim-f(x,} — f(x) |
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
Xi •* X |
Xi — X |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (4) показывает, что при проведении касательной |
|||||||||
к кривой в данной точке мы пришли к тому же самому |
по |
нятию производной, которое было установлено выше при
решении задачи об определении скорости движущейся точки
по прямой.
Рассматриваемая с геометрической точки зрения произ водная является такой функцией, которая определяет угловой
коэффициент касательной к кривой, изображающей данную функцию.
Таким образом, существование производной связано с су ществованием касательной к кривой, изображающей данную функцию. Непрерывная кривая может в отдельных точках не иметь касательной или иметь касательную, параллельную оси ОУ, с бесконечно большим угловым коэффициентом (черт. 3), и при соответствующих значениях независимой пе ременной х функция f(x} не будет иметь производной.
§ 3] Аналитический смысл производной 13
Итак, для существования производной необходимым усло
вием является непрерывность начальной функции; однако, это условие является недостаточным. Поэтому в дифференциаль ном исчислении рассматриваются только дифференци руемые функции, т. е. такие непрерывные функции, кото рые имеют производные по крайней мере почти повсюду, т. е. за исключением только отдельных точек внутри данного про
межутка. Кроме того, изучаемые функции должны быть однозначными.
Таким образом, функции, изучаемые в дальнейшем, пред полагаются однозначными, непрерывными и диф ференцируемыми.
§3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Кпонятию производной мы приходим при изучении самых различных явлений. Так, скорость химической реакции в дан ный момент времени есть производная от количества веще ства, вступившего в реакцию к моменту времени, по времени;
теплоемкость тела при данной температуре, т. е. скорость, с которой изменяется количество тепла в зависимости от тем пературы, есть производная от количества тепла по темпера туре; сила переменного тока в данный момент есть производ ная от количества протекшего электричества по времени, и так далее.
Поэтому, нецелесообразно связывать понятие производной с каким-либо одним представлением. Мы можем говорить только о том или ином смысле производной; например, с ме ханической точки зрения производная выражает скорость прямолинейного движения тела в некоторый данный момент времени; с геометрической точки зрения производная пред ставляет тангенс угла наклона касательной к кривой в дан ной точке.
Единственно целесообразным является рассмотрение про
изводной с аналитической точки зрения. В этом случае
мы получаем общий метод исследования того, каким
именно образом изменяется величина рассматри ваемой функции f(x) при изменении независимой перемен ной х. Этот общий метод может быть применен к каждому
конкретному случаю.
Основная задача дифференциального исчисления и со
стоит в планомерной оценке этого изменения функции.
Эта оценка изменения величины функции, происходящего в зависимости от изменения величины независимой перемен ной, достигается путем сравнения приращения функции с приращением независимой переменной.