Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf

114 Основные теоремы дифференциального исчисления [гл. VII

вает, что конечное приращение f(x-]-h)—f(x) функции f(x)

равно соответственному конечному приращению h независи­ мой переменной, умноженному на величину производной

важного предложения анализа.

Как известно, производная постоянной равна нулю. Вы­ ведем теперь обратное предложение: если производная f'(x)

во всех точках промежутка (а, Ь) равна нулю, то функция }(х) постоянна в этом промежутке.

Действительно, взяв произвольное значение х из проме-.

жутка (а, Ь) и применяя формулу Лагранжа к промежутку

(а, х), получим:

f(x)—f(a) = (х — a)f'(l)

(a<g<x),

но по условию

следовательно

f(x)—f(a)=O,

т. е.

f(x) = f(a) = постоянной.

Заметим, что формула Лагранжа не дает возможности

точного вычисления приращения функции через производную,

так как относительно величины с, входящей в формулу (10),

нам известно только то, что она заключается между а и Ь. Однако с помощью этой формулы можно произвести оценку той ошибки, которую мы делаем, заменяя приращение функ­

ции ее дифференциалом.

Выясним геометрическое значение формулы Лагранжа

(а<^с<^Ь).

Рассматривая график функции y = f(x) (черт. 79), мы ви­

есть тангенс угла наклона касательной в некоторой точке М дуги АВ кривой. Таким образом, формула Лагранжа равно­

§ 4*] Теорема Коши 115

сильна следующему утверждению: если кривая имеет в каж­

дой точке единственную и определенную касательную, то на дуге АВ кривой найдется по крайней мере одна такая точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей эту

Дугу.

Частным случаем этого утверждения, когда хорда парал­ лельна оси ОХ, т. е. f(a)=f(b), является теорема Ролля.

В этом случае получим

0= (b'-a)f'(c),

откуда

f'(c) = 0. ■

Теорема Лагранжа дает возможность аналитически уста­ новить признаки возрастания и убывания функции.

Положим, что внутри некото­ рого промежутка первая произ­

водная существует и везде поло­ жительна,

и пусть х и х 4- h — две точки

этого промежутка. Тогда из фор­

мулы Лагранжа (13) следует, что

при положительных h разность

f(x + h) -f(x)> О,

так как оба множителя в произведении, стоящем в правой части (13), в этом случае положительны. Следовательно, если первая производная в некотором промежутке положительна, то функция в этом промежутке возрастает. Точно так же из

вует такая точка, что отношение разностей значений функций на концах промежутка равно отношению значений их произ­

водных в этой точке. 8*

§ 4*] Теорема Коши 117

Принимая во внимание (12) и (13), мы можем эту фор­ мулу написать в виде:

(o < e< i)

или

+= f (as + Aft)

—f (с)

или

f(b)—f(a) =

= (b-a)f'(c). (17)

Таким образом, формула

Лагранжа является частным случаем формулы Коши.

Если, далее, будет дано

f(a)=f(b),

то из (17) следует, что при некотором с

Г(с)=О. (18)

Таким образом, теорема Ролля Лагранжа.

Выясним геометрический смысл теоремы Коши.

Положим, что кривая АВ дана при помощи параметриче­

ских уравнений х = <р(7) и у — f(t) (черт. 80). Пусть коорди­ наты точек А, В, С будут соответственно ср(а) и f(a), гр(Ь) и f(b), q(c) и f(c). Тогда полученное из треугольника ABD ра­

венство

DB = ADtg £DAB

примет вид:

/(79 - f(a) = [ф(Ь) - ,

[см. гл. III, (39)], или

f(b)-f(a) = Г (с)

118 Основные теоремы дифференциального исчисления [гл. VII

§5*. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Теорема Коши лежит в основе вывода правила Лопиталя, служащего для раскрытия неопределенностей.

Неопределенными называются такие выражения, которые

предела выражения в точке неопределенности, если он суще­ ствует.

деленность вида -q- . Предположим, что рассматриваемые

функции являются непрерывными и имеют первую производ­

ную вблизи значения х — а, причем производная ty'(x) при значениях, близких к а (но не равных а), в нуль не обра­ щается.

При сделанных предположениях можно доказать тео­ рему: если при х -> а отношение

<_(®) 'У (®)

стремится к некоторому определенному пределу, то к тому же пределу стремится и отношение функций

ф(о?)

Так как, по предположению,

—О,

то можно написать, что

При сделанных предположениях относительно <р(х) и ty(x) мы можем к правой части равенства (19) применить

теорему Коши (16); имеем

где £ заключается между х и а; так что если х стремится к а, то к тому же пределу будет стремиться и Отсюда следует