Файл: Лапицкий Е.Г. Радиопередающие устройства. Основы теории нелинейных цепей [учебное пособие].pdf

Подставляя полученное выражение для 1а в равенство (57), производя группировку членов и освобождаясь от коэффи­ циента при производной второго порядка (деля все члены на этот коэффициент), получаем следующее дифференциальное уравнение относительно тока в индуктивной ветви контура:

Полученное уравнение является линейным -дифференциаль­ ным уравнением с постоянными коэффициентами.

Введем следующие обозначении для постоянных коэффи­ циентов:

9 1 ; SDr

~1 с

Тогда уравнение (61) можно вписать в виде:

Уравнение (62) аналогично дифференциальному уравнению, описывающему собственные колебания в контуре, известному из курса теории цепей. Отличие полученного уравнения от уравнения собственных колебаний в контуре заключается в том, что коэффициент затухания колебаний в контуре

г

зависит исключительно от параметров самого контура, тогда как эквивалентное затухание колебаний в автогенераторе

и от параметров лампы и цепи обратной связи. Наличие обрат­ ной связи уменьшает сопротивление потерь в контуре на вели­ чину, равную

S M " DSL S ( M - D L )

с " с ' ... С

внося в контур как бы некоторое отрицательное сопротив­ ление (т, е. сопротивление, которое не поглощает, а постав­ ляет энергию).

-82 -

Задача дальнейшего анализа сводится к нахождению реше­ ния дифференциального уравнения (62), которое и будет описывать поведение исследуемой автоколебательной системы.

Напомним метод решения дифференциальноголинейного уравнения с постоянными коэффициентами. Частное решение такого уравнения имеет вид:

Се,л. (63)

Подставляя это решение в исходное уравнение (62) и произ­

г д е ю --У «> оа— &э* .

Общее решение дифференциального уравнения (62) можно записать в виде суммы двух частных решений (63), соответ­ ствующих найденным значениям X, и Х2:

iL ^ : / ^ - r C2e4 l =C,e,<-Зэ+Л“Ч : СУ( - 3 э -ym) Ч .

начальных условий.

«

Представим равенство (68) в несколько ином виде, а именно:

63

В справедливости такого перехода от (6 8 ) к (69) легко убедиться, если раскрыть косинус суммы двух углов:

Сравнивая (70) и (6 8 ), видим, что

5=A cos® ;

Н ——А sin®.

Отсюда находим соотношения, позволяющие определить постоянные А и ®:

.4 | В- /Я;

Я

tg? Я

( Л и ® определяются начальными условиями).

Таким образом, решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

iL=Ae~bf>t-cos(u>/-j-®). (71)

Из полученной формулы следует, что в рассматриваемой системе (рис. 3.5) возможен колебательный процесс с изме­ няющейся во времени амплитудой

64

Неравенство (73) определяет не только необходимую вели­ чину коэффициента взаимоиндукции, но и его знак, при кото­ ром возможно возникновение незатухающих колебаний (в схеме рис. 3.5) с частотой, равной

Иными словами, неравенство (73) определяет не только ампли­ тудные условия самовозбуждения, которые зависят от вели­ чины М, но и фазовые условия самовозбуждения, которые зависят от знака М.

Амплитуда возникших колебаний нарастает во времени, стремясь при t-+ оо к бесконечности, и зависит от начальных условий.

Однако опыт показывает, что по истечении некоторого вре­ мени в автоколебательной системе устанавливаются колебания с вполне определенной амплитудой, которая имеет одну и ту же величину независимо от начальных условий. Такое противоре­ чие между опытом и теорией объясняется тем, что мы рас­ сматривали линейную теорию автогенератора, в которой не учитывается нелинейность ламповой характеристики.

Поэтому линейная теория автогенератора дает ответ лишь па вопрос, при каких условиях в автоколебательной системе могут возникнуть колебания, и не дает ответа на вопрос, ка­ кова будет амплитуда установившихся колебаний.

Выражение для частоты генерируемых колебаний (74) также является приближенным, так как оно получено па основе ли­ нейной теории и не учитывает влияния на частоту автоколе­ баний высших гармонических составляющих анодного тока.

Полученное выше условие самовозбуждения (72) для авто­ генератора с трансформаторной обратной связью может быть представлено в более общем виде и распространено на другие схемы автогенераторов. Для этого несколько преобразуем вы­ ражение (72).

Введем обозначение

:_ p m g _ и>/И _М

и"« Л " Т

( к — коэффициент обратной связи) и умножим обе части равен­ ства (72) на С. Тогда

S k > D s V - f - ■

Принимая во внимание, что

резонансное сопротивление колебательного контура, получаем

1

S ( k - D )

R^O

или окончательно

Неравенство (75) является условием самовозбуждения лам­ пового автогенератора.- Оно позволяет по известной крутизне анодного тока лампы (5) и параметрам колебательного кон­ тура (Л?9о) определить необходимую’ величину коэффициента обратной связи, при котором возможно самовозбуждение си­ стемы.

§ 3.3. Квазилинейная теория автогенератора. Условие стационарности

Сущность квазилинейной теории автогенератора состоит « том, что все переменные напряжения и токи, действующие в цепях лампового автогенератора, предполагаются изменяю­

66

щимися но гармоническому закону, а гармониками высших порядков пренебрегают. Такое предположение основывается на высоких избирательных свойствах колебательных систем автогенераторов.

равляющим напряжением некоторым эквивалентным парамет­ ром лампы, зависящим от величин

ляет для анализа установившегося режима применить метод комплексных амплитуд (символический метод), широко исполь­ зуемый в теории линейных цепей.

Дадим определение средней крутизны. Средней крутизной