Файл: Лапицкий Е.Г. Радиопередающие устройства. Основы теории нелинейных цепей [учебное пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
Чтобы найти закон установления амплитуды колебаний, вос пользуемся вторым уравнением системы (105), которое не за висит от частоты (ш):
2Л '+[а |
[ЗЛ2 ) Л ^ 0 . |
(109) |
Домножим его на. Л и, учитывая, что
гЛ'ЛтДЛ2)',
*
введем новую переменную /?= Л2. Тогда уравнение (109) запи шется так:
ИЛИ
(iJ* |
,„ув [ i |
J |
А в |
at |
\ |
4 |
а |
В полученном уравнении переменные легко разделяются. Действительно,
dB
-adt. ( 110)
В ^1— \ - — В
4 а
Преобразуем несколько левую часть уравнения (ПО), для чего разложим дробь в левой части на простейшие следующим образом:
1
4 а
J |
J L A |
|
||
4 |
a |
( Ш ) |
||
В |
_L_P_ |
|||
В |
||||
|
4 |
a |
|
Чтобы убедиться в справедливости такого разложения, до статочно правую часть равенства (1 1 1 ) привести к общему зна менателю и получить очевидное тождество. С учетом” (111) уравнение (ПО) принимает вид:
dB |
“(в Т 1 г) |
adt |
( 112) |
||||
~В~ |
|
|
|
|
В |
||
1 |
J |
L |
! |
|
|
||
|
|
4 |
а |
|
|
и легко может быть проинтегрировано почленно. Действительно,
*dB
In В С,-
I В
1 __р
4 а
В |-f С.)
| adt- --zt г С3,
где Cj, С2 и С8— постоянные интегрирования.
Таким образом, интеграл уравнения (112) есть
InВ — In (1 —-i- я] —at— С
или, меняя знаки на обратные и учитывая, что In a —in b~\n получаем:
или
1 1 |
■— С |
(113) |
В 4 а |
|
|
Принимая во внимание, что согласно (107)
1 . |
р _ |
1 |
|
4 |
а' |
Л*уст ’ |
|
и производя обратную замену |
переменных В |
А 2, перепишем |
|
равенство (113) в следующем |
виде: |
|
|
1 |
|
--Не*, |
(114) |
Л 2 |
|
||
А 2уСТ |
|
где Н —постоянный множитель (Н ~ е~с), определяемый началь ными условиями.
Разрешая равенство (114) относительно А, получаем
V'\ + HA2y(.Te*
или, вводя обозначения А/'=ЯЛ2уСТ и подставляя значения а*; ю02 (гС—а1/'И), окончательно будем иметь:
А уСТ
А
У 1 + NeЩг'г рс-м*) t ’
84
Выразим произвольную постоянную интегрирования N через начальную амплитуду Л0 колебаний, имеющих место при t —0:
<г> |
л |
* у с т |
Л0 |
= |
|
откуда |
|
V 1 + N ’ |
|
Л2уст -Л 2 |
|
|
N- |
|
|
А 2 |
|
|
|
и окончательное выражение для амплитуды колебаний прини мает вид:
Л = -----^ ------- 'V l |
- ........- |
. |
(115) |
|
л а |
—А а |
|
|
|
чггтуСТ •*±А |
|
* |
|
|
V >+ |
- |
|
|
|
А 'УСТ |
|
|
|
Проанализируем полученное выражение. Из (115) следует, что
в автогенераторе возможно самовозбуждение, |
если |
a - ^ ^ i r C - c ^ M X O , |
(116) |
так как в противном случае колебания будут затухать (при t-+ °о знаменатель (115) стремится к бесконечности и Л-*0). При
выполнении |
условия. |
(116) |
|
|||||
процесс |
установления |
ко |
|
|||||
лебаний зависит от вели |
|
|||||||
чины |
начальной |
|
ампли |
|
||||
туды Л0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в начальный момент |
|
|||||||
( t —0) Л0 < Л уст, то амплитуда |
|
|||||||
колебаний увеличивается со |
|
|||||||
временем от величины Л0 до |
|
|||||||
значения |
амплитуды |
|
в |
ста |
|
|||
ционарном |
режиме, |
|
т. е. |
|
||||
Л(/.*„)=Луст, так как экспо |
|
|||||||
ненциальный множитель под |
|
|||||||
радикалом |
(115) |
при |
|
^ |
|
|||
стремится |
к нулю, ибо з--. |
|
||||||
--(о02 (гС—а\М) < 0 , |
причем |
|
||||||
время |
установления |
ампли |
|
|||||
туды |
колебаний |
зависит |
не |
|
||||
С, а\ |
и М, |
но |
и от |
вели |
|
|||
чины |
начальной амплитуды: |
|
||||||
чем |
меньше |
начальная |
|
|||||
амплитуда Л0, тем больше |
|
|||||||
время |
установления |
ампли |
|
|||||
туды |
колебаний. |
|
|
|
|
для данного |
||
График, |
изображающий зависимость A ~ f ( t ) |
|||||||
случая, представлен |
на |
рис. 3.16а. |
\ |
85
Если же в |
момент включения |
(£--0) А0 > Л |
усх, |
то амплитуда |
||
колебаний со |
временем убывает, |
стремясь к |
Лусх (рис. 3.166). |
|||
В частном |
случае, |
когда Л0 —Луст, амплитуда |
колебаний в |
|||
процессе установления |
не меняется |
и остается равной ампли |
||||
туде в стационарном режиме Луст |
(рис. 3.16б). |
Во всех рас |
смотренных случаях, независимо от начальных условий, ампли туда установившихся колебаний оказывается одной и той же. определяемой равенством (108).
Независимость амплитуды в стационарном режиме от на чальных условий является характерным свойством автоколеба тельной системы.
Решая первое уравнение системы (105) относительно ша, по лучаем следующее выражение для частоты автоколебаний:
а--- - - - йЛ2) А '
~ ' ~А~
или, подставляя значение А' из второго уравнения той же системы (105), получим:
шО СО2 |
<*>п ? (t). |
О |
Так как в процессе установления колебаний А меняется, то, казалось бы, должна меняться и частота, потому что она зависит от А, и, следовательно, исходное предположение, что to—const, несправедливо. Однако величина
3^ |
зл2 |
_1 |
ВЛ2 |
4 |
|
4 |
|
?(*)' = |
2Л |
|
|
|
|
|
|
есть величина второго порядка малости, |
которыми мы. выше |
пренебрегли (см. получение укороченных уравнений). Поэтому в первом приближении следует считать «(£)■=0 , тогда ш—ш0, т. е. в процессе установления частота колебаний практически не меняется.
Таким образом, решение нелинейного дифференциального уравнения автогенератора позволило получить ответ не только
на вопрос о частоте и амплитуде |
установившихся |
колебаний, |
||
но и о том, как происходит |
процесс |
установления |
колебаний. |
|
В заключение отметим, |
что |
мы |
рассмотрели |
простейший |
случай применения метода медленно меняющихся амплитуд для анализа нестационарных процессов в ламповом автогенераторе. При более строгом рассмотрении допущение о постоянстве частоты генерируемых колебаний недопустимо. Если бы мы учли,
86
что и частота колебаний является медленно меняющейся функ цией времени, то зто несколько усложнило бы промежуточные выкладки |в частности, дифференцирование решения уравне ния (1 0 0 )], но зато позволило бы установить закон изменения частоты в процессе установления колебаний.
§3.5. Основные схемы автогенераторов
Впредыдущих параграфах в основном была рассмотрена схема автогенератора с трансформаторной обратной связью и колебательным контуром в анодной цепи (см. рис. 3.5).
Рассмотрим теперь некоторые дру гие схемы автогенераторов синусо идальных колебаний, широко приме няемых па практике.
На рис. 3.17 |
представлена |
схема |
||
с трансформаторной обратной связью, |
||||
но в |
отличие от схемы рис. 3.5 |
ко |
||
лебательный контур включен не в анод |
||||
ную цепь лампы, |
а в цепь сетки. |
В та |
||
ком |
генераторе, |
в виду малой |
вели |
|
чины |
переменного напряжения |
на |
аноде, реакция анодной цепи практи |
|
|
|
|||
чески отсутствует. Поэтому условие |
|
|
|
|||
самовозбуждения для такого |
автогенератора принимает вид: |
|||||
|
|
S> |
1 |
|
|
|
|
|
kz. |
|
|
|
|
Сопротивление Rg (рис. 3.17) предназначено для создания |
||||||
автоматического смещения за счет постоянной |
составляющей |
|||||
iff |
|
анодного тока. Величина этого со- |
||||
|
противления должна быть много боль |
|||||
|
|
шей резонансного сопротивления кон |
||||
|
|
тура |
(/?£>/£,о), чтобы не шунтировать |
|||
|
|
контур по высокой частоте. |
|
|||
|
Ха„ \иа |
Конденсатор Ср..разделительный, |
||||
У |
1 * 0 |
препятствующий |
прохождению |
по |
||
ч* |
стоянной составляющей сеточного тока |
|||||
|
через контурную катушку L. |
|
||||
|
|
На рис. 3.18 изображена обобщен |
||||
|
|
ная |
трехточечная |
схема , (источники |
||
|
|
постоянного напряжения не показаны). |
||||
Рис. 3.18. |
Такое название схема получила по |
|||||
|
|
тому, что колебательный контур под |
||||
ключается к лампе тремя точками. |
|
|
|
|||
Частота генерируемых колебаний в такой схеме определяется |
||||||
из условия баланса фаз |
(82), |
которое с учетом |
высокой |
доб- |
87
ротности колебательного контура может быть представлено в следующем виде:
(117)
где х ак, x ug и ^ — реактивные сопротивления контура, вклю ченные соответственно между анодом и катодом, между ано дом и сеткой и между сеткой и катодом.
Чтобы в такой схеме возникли колебания, |
необходимо вы |
полнить условие самовозбуждения: |
|
(k D) г,! . |
(118) |
‘ЭКэО |
|
Все величины, стоящие в правой части равенства (118), за ведомо положительны, поэтому условие (118) выполняется, если
£>().
Выразим коэффициент обратной связи через параметры ко лебательной системы:
кJ h :_ _____
11a I(Xag+ X eK) '
Принимая во внимание условие баланса фаз (117). имеем
(^ag Хаи-
I огда
ХаК
и должен быть положительным, т. е.
^ > 0 . |
(119) |
х
^ак
Это значит, что для возникновения колебаний в рассматри ваемой схеме необходимо, чтобы сопротивления, включенные между сеткой и катодом, а также между анодом и катодом, имели одинаковый знак (характер реактивности один и тот же), а сопротивление x ag -обратный.
Требование (119) выполняется в следующих двух случаях:
а) x gK >0 ; А' а ; . > 0 и а^ с О;
б) х„к < 0 ; х ак<0 и x ag > 0 .
Схема автогенератора, соответствующая первом)’ случаю, представлена на рис. 3.19 и называется трехточечной с авто трансформаторной обратной связью. Коэффициент обратной
88
связи в этой схеме |
равен |
|
|
|
|
к ■ V«v.' |
/со/., |
Z,j |
> 0 . |
|
~xaK |
~J°>L2 ' |
1% |
|
Колебательный |
контур, |
подключаемый к участку ан о д - |
катод лампы (рис. 3.19), представляет собой контур второго
вида, |
для которого |
|
|
|
|
|
|
|
„ - П - ф П |
_ . па '»4Ll+ L*Y |
------- , |
||
|
|
■Сэ—Кэ—Р К)!’. |
р - ------------- |
|||
где р |
L |
< 1 |
коэффициент включения контура. |
|||
Z.r f l |
||||||
Поэтому условие |
самовозбуждения для |
данной схемы мо |
||||
жет быть записано так: |
|
|
|
|||
|
S> |
1 |
|
|
1 |
|
|
(к D) z3 |
(к |
[)) Rэ /Л. |
D )(и2/.. |
||
|
|
|
|
|
|
На рис. 3.20 представлена схема авто генератора, соответствующая второму случаю и называемая трехточечной с емкостной обратной связью. Коэффициент обратной связи в этой схеме определяется формулой:
|
1 |
|
|
vgi: 7 |
ю |
> 0 . |
|
_ 1 |
_ С, |
||
|
;u)C2
Колебательный контур, включенный между анодом и катодом, является кон туром третьего вида, и его эквивалентное сопротивление равно
|
п |
2 п |
2 (Q |
• Q '- |
1 |
|
|
- |
/V, |
/К/г,о |
;> 2 |
|
.,,-V |
- 5 7 т |
2 Г |
|
|
|
|
u)JC12 C22r (0 2Ц2 |
г |
||
где Р '-ут-сг,-т^'К 1 — коэффициент |
включения |
контура. |
|||||
Gj~p Go |
v |
|
|
|
|
|
|
Условие самовозбуждения приобретает следующий вид:
S > |
1 |
CJr |
(к D) гэ |
и2 ^ 2 |
|
|
£> |
|
|
|
|
|
|
С, |
Следует отметить, что в схеме с емкостной обратной связью всегда приходится применять параллельное питание анодной
89