Файл: Лапицкий Е.Г. Радиопередающие устройства. Основы теории нелинейных цепей [учебное пособие].pdf

Продифференцируем выражение (98) по времени'

Перенося все члены в левую часть равенства и собирая коэффициенты при одинаковых степенях производных, полу­ чаем

ния (1 0 0 ) и последующему исследованию полученного решения. В настоящее время нет регулярных методов решения нелиней­ ных уравнений, в силу чего пользуются различными прибли­ женными методами. Из множества известных методов ( .энер­ гетический “ метод, метод фазовой плоскости и т. д.) мы оста­ новимся лишь на одном--методе медленно меняющихся ам­ плитуд.

Этот метод, так же как и рассмотренный ранее метод средней крутизны, относится к квазилинейным методам.

Это объясняется тем, что решение уравнения (100) предпо­ лагается „гармоническим“ (в том смысле, что высшими гармо­ никами пренебрегают), но с изменяющейся во времени, „ампли­ тудой “, т. е.

73

Справедливость такого предположения основывается на малости величин а и (3, входящих в исходное уравнение ( 1 0 0 ). Если допустить, что а= 0 л р = 0 , то уравнение (1 0 0 ) превращается в линейное дифференциальное уравнение второго порядка с по­ стоянными коэффициентами, решение которого является чисто гармоническим. Если же « и Р близки к нулю, то и решение уравнения (100) должно быть близким к гармоническому. При больших значениях а и р указанное предположение сделать нельзя. В реальных автогенераторах синусоидальных колебаний а и р являются величинами действительно малыми, в силу чего решение в виде (1 0 1 ) справедливо.

В выражении (101) A(t) (в дальнейшем просто А) есть мед­ ленно меняющаяся во времени амплитуда колебаний. Термин „медленно меняющаяся" означает, что изменения „амплитуды" за период колебаний незначительны. В общем случае некото­ рая функция /j (t) считается медленной по сравнению с функ­ цией / 2 (t), если скорость изменения первой много меньше ско­ рости изменения второй:

80

Итак, дифференцируя (101), получаем:

и' A' COS (at—Лев S in (at;

ll" - A" COS (at—A 'to Sin (at— A’vi s in <o t—Avr c o s u>t~-

— A" c o s u)t--2A'(i> s in w/- -Лю2 c o s at.

Подставим значения и и его производных в уравнение (100), тогда

A" COS (at2А'<а Sin (at—Am2COS io/i+(a р Л 2 c o s 2 (at)Yc

Х (Л ' COS (at—Л to s in 0)£) г и>02Л COS (at -().

Преобразуем полученное выражение, для чего сначала рас­ кроем скобки:

Л" cos (at—2А'(о sin (at—Лш2 cos wt :-аЛ' COS (at—aA(o sin (at—

— р Л 2Л ' COS3 (at- ф Л 3ш COS2 (at s in Ю ^-уо)02Л COS (ot—0.

и отбрасывая члены, содержащие cos и sin тройного аргумента (Зю£), как противоречащие допущению о гармоничности коле­ баний, сгруппируем члены, содержащие только cosai^ и только sin (at

Поскольку cos (at и sin (at не равны нулю тождественно (т. е. при всех значениях (at), то для выполнения равенства (103) необходимо приравнять нулю коэффициенты при cosa>£ и sinutf, т. е.

A "A -L -^ -P A s )A '~ I(ю02 - ю2 ) ЛЛ) ;

Первое из полученных уравнений можно упростить, если учесть условие медленности ( 1 0 2 ) и пренебречь производной второго порядка (А"). В результате будем иметь

].( а)о9 _ а>9)Д -.0 ;

(105)

2 А/+ ( а - - | - 8 A2j А --0 .

Уравнения (105) называют укороченными, так как они по­ лучились путем пренебрежения членами, содержащими высшие гармонические составляющие. Укорочение уравнений (104) по­ зволило понизить их порядок и несколько упростить.

Система уравнений (105) является системой нелинейных уравнений, так как коэффициенты уравнений зависят от неиз­ вестной амплитуды А.

Решение этой системы позволяет определить не только ам­ плитуду и частоту колебаний в установившемся режиме, но и закон их установления.

Найдем сначала амплитуду и частоту установившихся коле­ баний.

Поскольку в установившемся режиме амплитуда есть вели­

жение (8 8 ) принимает вид:

т. е. полностью совпадает с выражением (108).

82