Файл: Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие].pdf

Скачать файл (4,79Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 67

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4. Основные теоремы 2			- преобразования
В теории дискретных систем используются следующие
основные	теоремы Z	- преобразования.
I .	Теорема линеЯяостж:
			.	а . « >
Это	соотношение	следует из	определения	пре-
образования. Согласно		определению,

I [ f A,/.(iT*ffT)ji

1*0

ЯЗменяя порядок суммирования и вынося постоянные множители Ак за знак суммы, получим

Z ,f£ A, f M h £ Ш 'вт и

что и требовалось доказать.

2 . Теорема о начальном значении оригинала. В тео рии преобразования Лапласа имеется теорема о начальном значении оригинала, которая записывается в виде:

/( б )	= iinisT(s)	(1 .4 8 )
	£-ьоо
Аналогично	этому, для обичного Z	- преобразовав

кия начальное значение оригинала рпределяется но форму ле

!1 ° ) - ь * г т - Н * ) ■	й .49)
Применительно к Z ff - преобразовании	теорема о

Начальном значении оригинала дает начальное значение функции при i*6T, т . е .

{(бТ)=%-*•СО

(1.50)

3 * Теорема о конечном значении оригинала. Теорема аналогична известной теореме о конечном значении ориги нала в теории преобразования Лапласа

pm			f w is f ( s )	а . 51)
t	—-во		о
и записывается в			виде
Ь.m			■	(1.52)
t—оо			z - м
Для Z*		-	преобразования
О
&mf(LT+6T)=^^Y~F(iz,6)=A(e).				(I .5 J )

Конечное значение функции £ (lT+6T) в общем слу

чае зависит от параметра Q ; при этим сигнал имеет

колебательный характер. Если такой зависимости нет, то сигнал с течением времени стремится к постоянной вели чине.

4 . Теорема о смедении аргумента в оригинале

а) Смещение аргумента на	целое число периодов Т .
Теорема позволяет находить	- преобразование для функ

ции, запаздывающей на целое число периодов дискретности

п.Т (рис.1.12) относительно первоначальной функции

№по известному ее изображению

(1.54)

б) Смещение аргумента на величину <Г , меньшую периода Т •

Пусть	известно Z*.	- преобразование для функции
№	О
№	Z g -\|/W ] =^(н,<з)		(1.55)
	Z g -\|/W ] =^(н,<з)		(1.55)
и требуется	найть Zff -	преобразование	для функции
/(£ -£ ") ,	где 0< Т< Т . Тогда

F ( z ,e - T ) при <^<б' < i

ф * )]-				(1 .5 6 )
				(1 .5 6 )
	Z* F(j,\+6-T)	при	0 < { j<	T
г» е	относительное смещение.
где Т = - ^ г	относительное смещение.
Для некоторых систем смещение		‘Г	мохет	представ

лять собою временное запаздывание при прохождении сиг налов (в линиях задержки, в устройствах цифровой вычис лительной машины и т . д . ) . Из (1 .5 6 ) следует, что Z ^ =

- преобразование смещенной функции имеет различные ана

литические		выражения в зависимости от_того, выбирается
•параметр	С?	в интервале	/ ^ ^ и л и [ T J ) .
В случае если запаздывание в системе имеет произ
вольное	значение
			(1 .5 7 )
где п	-	целая часть,	а Т' - дробная часть числа,

то изображение смещенной функции мохет быть определено с помощью формул

6 * Теорема об умножении изображений. В теории пре образования Лапласа известна формула свертки

L ^ f l ( t T j f t ( t ) d t J = $ (* ) $ ( * ) .

(1 .5 9 )

В теории модифицированного Z - преобразовании ис пользуется аналогичная теорема, которая выражается фор мулой

z J z f jJ t - H		T jf , (кТ^’ Г (*■ ,<?)F (г),								а	.60)
где JV	- максимальное				целое число, которое не						пре
	вышает				(а н ть е ). В		(1 .6 0 )		зависит		от
	времени		t	только функция J .						Поскольку
	t* LT+ 6"Т				,	то модифицированное Z					-
	преобразование					берется	только		для функции
	,	а для функции					берется			обычное
	Z -	преобразование.
Формула (1 .6 0 )			позволяет находить					Z ,	-	преобразо
вание для	выражения							®
	Ы^—
	н*о
•ели извсст1Ш изображения функций /							и	/		в отдельно
сти.								2
Если	S’ - 0 ,	то	из	(1 .6 0 ) получим
zjz, f/t-HTjffrrfrfrj/r^;										a . 6i)
	f К*О			2		1

7 . Теорема об изображении конечной суммы. Пусть

п
H f( iT ) = s ( £ T j и известно Z		-	преобразование от
с=0
Функции	j(L Т) , Г(л) = Z ff( c TjJ\		тогда 2	- преобра
зование	от конечной суммы s(c Т )определяется			выражени
ем
	гФ Ф т 7	F(*>		(1.62)
	гФ Ф т 7	F(*>

для значений /'SLJ > J.

8 . Теорема об изображениях функции при ее кванто вании с кратными интервалами дискретности. Пусть дана непрерывная функция Из функции путем кван тования с различными интервалами дискретности if и Т

получены две дискретные функции ^(mT^J и ^(iTjt причем

T f« —j— , где	v/	- целое число (рис.1.13).
Известно Z	-	преобразование для функции ^.fm ITj,
т .е .	=	Gfx^) , где tl = в = е " = х Ф