Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
.МИНСКОЕ ВЫСШЕЕ ИНЖЕНЕРНОЕ ЗЕНИТНО-РАКЕТНОЕ • УЧИЛИЩЕ ПРОТИВОВОЗДУШНОЙ о б о р о н ы
л. М. БЕРЕЗКИН, Н. М. ТАБАТАДЗЕ
ЗАДАЧИ ПО СТРЕЛЬБЕ И ИХ РЕШЕНИЯ
Учебное пособие
1 969
_____________________\
ГОС ПУБЛИЧНАЯ |
1| |
|
мл* |
* г е х м « ч е с и А Я |
|
а и ь / |
гЮТЕНД СССР |
I |
l$5 g |
Ь - |
|
V? |
||
|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Обычно при решении задач слушатели испытывают опре деленные затруднения из-за слабых навыков в умении само стоятельно приложить общие принципы теории вероятностей к другим дисциплинам. Особые трудности вызывают такие вопросы, как нахождение единственно возможного события, составление ряда распределения, правильное применение сим волики для перехода от общих смысловых формул к конкрет ным рабочим формулам, вычисление числовых характеристик случайной величины, определение невозможных и достовер ных событий в стрельбовых задачах, вычисление числа ком бинации событий и т. д.
Из-за недостатка времени невозможно уделить этим воп росам должного внимания при чтении лекций и на практиче ских занятиях. При этом особенно в затруднительном поло жении оказываются слушатели заочного факультета.
Целью настоящего учебного пособия является оказание помощи слушателям в приобретении навыков правильно и с полным пониманием решать чисто стрельбовые задачи.
Исходя из этого в пособии даны очень кратко теоретиче ские положения, необходимые для решения данного круга задач. Решение наиболее характерных задач дается подроб но, а для остальных задач даны только ответы.
Материал сгруппирован по видам наиболее часто встреча ющихся в практических -приложениях законов распределений случайных величин, а также по соответствующим разделам курса стрельбы, например, законы поражения цели, стрельба по наземным целям и др.
Книга' может быть использована как для самостоятель ной работы, так и во время практических занятий со слуша телями.
3
ВВЕДЕНИЕ
Вероятность — мера возможности появления случайного события или число, дающее количественную оценку возмож ности появления случайного события.
Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений, но не всяких, а только таких, которые возникают в некоторых определенных условиях, могущих повторяться не ограниченное число раз.
Поэтому математической вероятностью называют число вую характеристику степени объективной возможности появ ления какого-либо определенного случайного события в неко торых фиксированных условиях при неограниченном их по вторении.
Вероятность — это объективная характеристика случай ного явления. Она выражает связь между закономерностью (необходимостью) и случайностью, между условиями и собы тием.
В основе определения вероятности событий лежит стати стическая вероятность. Статистической вероятностью называ ется число, вокруг которого колеблется частость появления случайного события при фиксированной совокупности усло вий и при большом числе независимых испытаний в серии, когда этих серий достаточно много. Существует классическое определение вероятности, как отношение числа благоприят
ных событию случаев к числу всех возможных случаев. Од нако в последнем случае необходимо обеспечить условия симметричности (равной возможности) и взаимной исклю чаемости (попарной несовместимости) случаев.
5
Математически это можно записать следующим образом:
РИ> = | , |
№1) |
рде Р (А ) — вероятность события А;
~ N — -полная группа равновозможных попарно несов местимых событий;
М— число случаев появления события А (число бла гоприятствующих событию А случаев).
Следует подчеркнуть, что понятие вероятности является исходным, основным понятием, и в общем случае его нельзя определить через более простые понятия.
Таким образом, для классического определения вероятно сти существенным является допущение о равной возможности исходов испытания. Все задачи, к которым применимо клас сическое определение (0.1), укладываются в следующую схе му случайной выборки: из совокупности N элементов (пред метов, явлений и т. п.) выбирается наудачу один элемент, причем каждому элементу обеспечивается одинаковая с ос тальными возможность быть выбранным; событие .4 заклю чается ;в выборе элемента, обладающего определенным при
знаком, |
причем этим |
признаком |
обладают |
точно |
М |
из |
|||
N элементов рассматриваемой совокупности. |
|
|
|
||||||
|
Основные |
свойства |
вероятностей |
|
|
|
|||
1. |
Вероятность случайного |
|
события есть число неотрица |
||||||
тельное: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Р (А) > |
0. |
|
|
(0.2) |
|||
2. Достоверное |
событие, |
то |
есть событие, |
которое |
при |
||||
данном |
комплексе |
условий |
непременно должно произойти, |
||||||
имеет вероятность, |
равную |
единице: |
|
|
|
||||
|
|
|
Р (ростов)—1- |
|
(0.3) |
||||
3. Если событие С состоит в осуществлении одного из двух |
|||||||||
несовместимых событий А или В |
(безразлично, |
какого |
нмен- |
6
но), то вероятность события С равна сумме вероятностей со бытий А и В:
Р ( С ) = Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ) . |
(0.4) |
Это свойство называют правилом сложения вероятностей, или свойством аддитивности вероятностей.
Первые два свойства вытекают из формулы (0.1), так как М > 0, N > 0 и для достоверного события М = N.
Третье свойство доказывается для схемы выборки элемен тарно.
■ Пусть в урне находится N шаров, из них К красных,
Z синих, остальные белые. Испытание состоит в вынимании из урны одного шара. События состоят в вынимании:
К
А — белого шара с вероятностью Р(А) = ^ ;
В — синего шара с вероятностью |
|
Z |
|
|
Р{В) — |
|
|||
С — цветного |
шара (цвет безразличен) с вероятностью |
|||
Р ( С ) = ? |
|
|
|
|
Число случаев, |
благоприятствующих |
событию |
С = А + В |
|
стремится к K + Z. Тогда по формуле |
(0.1) |
имеем |
|
|
Р(С) = Р(Л + £ ) = - ^ Ь ? = ^ + ! |
= Р(Л) f ОД . |
(0.5) |
■ Следствия, вытекающие из основных свойств вероятностей (приводим без доказательств):
1. Если события А ь Л2,..., Лп попарно несовместны, то
Р ( А + -[- А3 -f ... + Л„) — Р(Л1)Т-Р(Л3) + |
+ |
|
1 |
|
|
+ Р(ДП) = 2 |
P(Ai). |
(0.6) |
i |
л |
|
2. Если события Аъ Аъ ..., Ап попарно несовместны и об разуют полную группу событий N. то
7
|
р(/1, + /1* + ... + Л ,) - |
2 / w = l. |
(0.7) |
|
|
i--l |
|
3. |
Вероятности двух взаимно |
противоположных |
событий |
(попадание и промах при одном выстреле)' в сумме дают еди
ницу: |
|
|
|
|
Я(Л) + Р(Л) = 1. |
|
|
(0.8) |
|
Противоположными событиями называют два несовмести |
||||
мых события, образующих полную группу. |
Их |
обозначают: |
||
А — прямое событие,- А — событие, |
противоположное |
А |
||
(не А). |
|
|
|
|
Невозможным событием называют |
событие, |
которое |
не |
|
может произойти ни при каком испытании, |
сколько бы их ни |
повторяли. Поэтому вероятность невозможного события счи тают равной нулю:
Р(Аяевози) -= 0 . |
(0.9) |
Это следует из (0.1).
Однако обратное утверждение: если вероятность равна нулю, то событие невозможно, неверно.
4. Если событие С состоит в одновременном (совместном) появлении событий А и В, то событие С называют произведе нием событий А и В, т. е.
С = АВ.
Вероятность события С Р(С) равна произведению вероят ностей Р(Л) ,и Р(В), если А и В независимые события, т. е.
Р(С) = Р( А В) = Р(А)Р(В). |
(0.10) |
Событие А независимо относительно события В, если ве роятность события Л не зависит от того, произошло событие В или нет.
Событие А называют зависимым от события В, если ве роятность события А зависит от того, произошло событие В или -нет.
Правило умножения вероятностей зависимых событий вы разится формулами:
Р(С) — Р(А В) - Р(А)Р(В/А), |
I |
Р(^) = Р{Л В) = Р ( В ) Р ( А / В ) . |
(0. 11) |
I |
5.Если событие С заключается в появлении событий А
или В, то событие С называют суммой событий А и |
В, т. |
е. |
||||
|
|
С = А + В. |
|
|
|
|
Вероятность события |
С Р{С) для независимых |
совмест |
||||
ных событий .выразится формулой |
|
|
|
|
||
Р { С ) = Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ) —Р ( А ) Р ( В ) . |
|
(0.12) |
|
|||
Правило сложения |
вероятностей совместных |
зависимых |
||||
событии |
выразится формулами: |
|
|
|
|
|
Р ( С ) = Р { А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ) - Р ( А ) Р{В/А), | |
|
|
||||
Р(С) |
Р(А + В ) = Р { А ) + Р ( В ) —Р(В) |
P(AjB). |
| |
|
|
|
Если |
события Л и |
Б независимы, |
то Р (В/А ) = |
Р(В) |
и |
P(AjB) —Р(А) и из (0.11) получаем (0.10), а из (0.13) -по лучаем (0.12).
Вероятности Р(А/В) и Р{В/А) называют условными ве роятностями событий А и В соответственно. Условная вероят ность события А (В) при условии В (А) равна частному от деления вероятности совместного наступления этих двух со бытий на вероятность условия:
Р(А/В) = Р(АВ) |
Р(В/А) Р(Л_В) |
(0.14) |
Р(В) |
Р{А )" |
|
Можно сформулировать -общие правила сложения и ум ножения дтя случайных событий, безразлично, имеем ли мы
9