Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf

дело с совместными или несовместными, зависимыми или независимыми событиями.

Общее правило сложения вероятностей случайных собы­ тий: вероятность случайного события С = А + В ра:вна сумме

вероятностей случайных событий А я В минус произведение вероятности одного события на условную вероятность второ­ го события (см. формулу 0.13).

Общее правило умножения вероятностей случайных со­ бытий: вероятность случайного события С = АВ равна произ­ ведению вероятности одного из событий на условную вероят­ ность второго события (см. формулу 0.11).

Полезно помнить, что произведение вероятностей несовме­ стных событий равно .нулю.

Формула полной вероятности. Если случайные события

В [, В 2,...,Вп попарно несовместны и образуют полную группу

Эта формула носит название формулы полной вероятно­ сти события А. Она дает возможность вычислить вероятность осуществления события А независимо от того, с каким из со­ бытий Б; оно осуществилось. Эта формула является след­ ствием одновременного приложения правил сложения и ум­ ножения вероятностей случайных событий.

События В, называют гипотезами относительно А, а их вероятности Р(В;)— вероятностями .гипотез.

Вероятности P(A/B t) называют вероятностями события А при данной гипотезе.

10

Д о к а з а т е л ь с т в о При высказанных условиях событие А

равносильно совмещению событий ( В и В2,...,Вп) и А, а так как события образуют полную группу событий, то это означает, что событие А обязательно произойдет совместно с какимлибо из событий By. т. е.

Из несовместности гипотез By (по условию) вытекает не­ совместность комбинаций

В\А, В2А,...,Вп А.

Поэтому, применив к выражению для А правило сложе­ ния для вероятностей несовместных событий (0.4), получим

и, применив к/каждому из событий Ву А правило умножения вероятностей в общем /виде (0.11), получим

Подставив выражение (0.18) в (0.17), получим конечный результат

П

Р(А) = '^Р(Ву)Р(А/Ву). i=l

Кроме понятия случайного события, к основным'понятиям теории вероятностей относится случайная величина. Случай­ ной величиной называется такая переменная величина, кото­ рая при осуществлении /некоторых фиксированных условий может принимать различные заранее неизвестные численные значения.

11

Случайные величины могут быть дискретными и непре­ рывными. Удобство пользования случайными величинами за ­ ключается в том, что они просто могут быть связаны со слу­ чайными событиями и характеризовать их. Например, если случайную величину X связать со случайным событием попа­ дания и промаха при одном выстреле и положить У =1 при получении одного попадания и 1 = 0 при получении нуля по­ паданий (промаха), то указание на то, что в результате опы­ та (выстрела) случайная величина X может принять значе­ ния 1 и 0, равносильно указанию, что случайное событие А может наступить, а может и не наступить.

Случайные величины, связываемые со случайными явле­ ниями (событиями) и характеризующие их, называются -ха­ рактеристическими. ■

Широкое внедрение в теорию вероятностей случайные ве­ личины получили посредством трудов Чебышева, Маркова, Ляпунова.

Законы распределения случайных величин

Пусть некоторая случайная величина X па некотором ин­ тервале может принять к значений, т. е.

жет принять случайная величина X в результате опыта, явно ■ недостаточно для всесторонней ее оценки. Так, повседневный

измерения, где в качестве случайной величины будет высту­ пать ошибка измерения, то опыт показывает, что малые ошибки измерения будут чаще встречаться, чем большие, т. е. малые ошибки измерений более вероятны, чем большие.

Таким образом, полное представление о случайной вели­ чине X. мы получим, если будем знать не только все ее част­ ные значения, но и то, ка/к часто будет их принимать случай­ ная величина, т. е. вероятности этих частных значений.

■ Связь между частными значениями случайной величины и отвечающими им вероятностями называют законом распреде-

12

ления вероятностей случайной величины, или распределени­ ем случайной величины.

Xi 'II X2 | Xз

Pi Pi P2 1P\i

Этот закон распределения для дискретных случайных ве­ личин называют рядом распределения.

Сумма вероятностей всех частных значений случайной ве­

Из этой формулы видно, что суммарная вероятность как-то распределена между частными значениями случайной вели­ чины X.

Ряд распределения не может применяться для характери­ стики непрерывной случайной величины, так как нельзя фи­ зически написать ряд распределения для всего множества возможных значений случайной величины, всюду плотно за­ полняющих весь интервал. Однако и в этом случае можно утверждать, что различные области возможных значений слу­ чайной величины не являются равновероятными. Для харак­ теристики непрерывной случайной величины используется не

ятность зависит от значения х, т. е. является , функцией х и обозначается F (х) = Я (А < х ).

Функция F (х) называется функцией распределения слу­ чайной величины X.

Функцию F (х) также называют законом распределения случайной величины, или интегральной функцией распреде­ ления случайной величины, или интегральным законом рас­ пределения случайной величины..

13

F(x) является универсальной характеристикой случайных величин, так как она относится и к дискретным, и к непре­

чины удобно использовать для определения вероятности по­ падания случайной величины на некоторый участок.

Тогда имеем А = В + С и Р(А) = Р(В) + Р(С),

Р(Х < ,3) = Р(Х < а) + Р(Я < Х < ?),

14

отдельного частного значения непрерывной случайной величи­ ны равна нулю.

Подобно тому, как ряд распределения вероятностей И (X хi) характеризует случайную дискретную величину или плотность распределения единичной массы (суммарной веро­ ятности) в дискретных точках на числовой оси, вводят спе­ циальную характеристику для плотности распределения не­ прерывной случайной величины вдоль числовой оси.

Для этого запишем вероятность попадания случайной ве­ личины на участок А х\

Р(х < X < .г Л л) = F(x + А х) — F(x).

Средняя вероятность на участке А х будет

F(x + А х) -F(x)

А х

Если теперь взять предел при Ам->0, то получим

т. е. в пределе средняя вероятность на интервале Ат, когда Ах-^0, равна производной от'функции распределения в точке

Х = х.

15