Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
Введем' специальное обозначению / (х) — F'(x).
Функцию f (х) называют функцией плотности распределе ния (плотностью распределения вероятностей), пли диффе ренциальным законом (дифференциальной функцией) рас пределения. В механической, интерпретации дифференциаль ная функция распределения характеризует распределение еди ничной массы на числовой оси.
Таким образом, мы получили следующие формы законов распределения случайных величин:
Дискретные
а) -интегральная функция распределения (см. рис. 0.1)
т- 2 р№ ) ;
X i<x
б) ряд распределения (рис, 0.3)
^(д );
И
Рис. 0.3
Непрерывные
а) интегральная функция аспредоления (см. рис. 0.2)
X
Fix) = \Цх)1х;
- С О
б) плотность распределе ния (рис. 0.4).
/ W-
ДО* Г
Рис. 0.4
Используя функцию/(х), можно получить вероятность по падания случайной величины на интервал ( а < Х < | з ) . Для этого введем понятие элемента вероятности (см. рис. 0.4)
dp = f(x)dx.
16
Здесь участок dx примыкает к точке х, т. е. |
|
|||
Pi* < X < |
,3) = j |
f(x)dx. |
(0.22) |
|
|
а |
|
|
|
F (х) можно выразить через |
f (х): |
|
|
|
|
|
|
X |
|
Р{Х < х) — F(x) — Р( — со < |
X |
< х) — | |
f(x)dx, |
|
|
|
|
_0О |
|
т. е. |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
F(x) |
= Jf(x)dx. |
|
(0.23) |
|
|
--- X ! |
|
|
|
Основные свойства функции / ( v): |
|
|
|
|
\ . f ( x ) > 0 . |
|
(0.24) |
||
Это вытекает из определения |
(0.21), |
где Л я > 0 и |
||
/’( * ) > 0.
2.Интеграл в бесконечных пределах от плотности рас пределения f(x) равен единице, т. е.
ОО
\f(x)dx=*l . (0.25)
__00
Это следует и,з того, что указанный интеграл дает вероят ность достоверного события, так как из (0.23) имеем /г(со)=1.
Вообще следует помнить, что всякая неотрицательная функция ®(а'), удовлетворяющая условию (0.25), может слу жить плотностью распределения вероятностей некоторой слу чайной величины.
?. Зак. №579 |
17 |
Примеры непрерывных распределений вероятностей:
1. Простейший вид нормального распределения вероятно стей случайной величины.
Простейший вид нормального распределения вероятностей случайной величины X имеет место, или, что то же самое, случайная величина X распределена по нормальному закону,
если ее плотность на всей числовой оси определяется форму лой
Ф0(х) = Се |
2 |
(0.26) |
|
где |
|
- 4 - . |
(0.27) |
/ 2 я |
|
Значение коэффициента С выбрано таким, чтобы удовлет ворялось условие (0.25).
Кривая |
распределения |
вероятностей |
? 0 (х) |
дана на |
|
рис. 0.5. |
Она |
симметрична |
относительно |
своего |
максимума, |
равного |
1 |
и имеет две точки перегиба при х = ±1 . При |
|||
__ |
|||||
У 2 т.
х-> + со кривая распределения асимптотически приближается к оси абсцисс, причем приближается весьма быстро (напри-
Рис. 0.5
18
мер, уже при ? 0 (3) =0,0044; ? 0 (4) = 0,00013). Так как интеграл от функции плотности ?„(*) не выражается в конечном виде
через элементарные функции, то для расчета вероятностей со ставлены весьма подробные и достаточно точные таблицы ин теграла вероятностей вида.
|
|
t _ 'х* |
|
|
|
Ф (0 |
- J L - |
Г е |
2 dx. |
|
(0.28) |
|
V 2 * |
J |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
При вычислениях |
надо помнить, |
что функция |
Ф (/) явля |
||
ется нечетной: |
|
|
|
|
|
Ф (-0 |
\Г2т. |
dx |
ш |
(0.29) |
|
|
|
|
|
||
Поэтому в таблицах даются значения Ф(/) только для поло жительных значений/. При изменении t от 0 до -fco функ ция Ф (/) довольно быстро возрастает от 0 до 1 (например,
уже при Ф(3) =0,9973; Ф(4) =0,999937).
График функции Ф(/) дан на рис. 0.6.
Функция Ф (/) позволяет легко вычислять вероятности по
падания случайной величины X в любой |
интервал |
(хь х2) : |
х2 |
|
|
/> |
|
|
Р{х1< X < А'г) = j ср0(А) ах |
|
|
Xi |
о |
|
о |
|
|
Учитывая (0.28), получаем |
|
|
P(xi < X ^ -'-'г) — 2 |
Ф (*.)] |
(0.30) |
19
При симметричном интервале (—Х \ \ х 2) формула (0.30) пе репишется в виде
Р( - х , < Х < х2) = ^ [Ф(Л'2) - Ф ( - x j ] ,
а учитывая (0.29), получаем
Р( - х , < Х < х2) = I [Ф(*.) + Ф(-3)]. |
(0.31) |
При (xi) = х 2 = х
Р ( — хi < X < х2) = ^-2Ф(х) = Ф(х).
2. Общий вид нормального распределения вероятностей. Таи называют распределение (вида
__1___ |
(х— а)г |
|
2а2 |
(0.32) |
|
?(*) = а ]/2 п |
|
|
|
|
20
|
|
; |
где з > 0 . |
При а== 0 и о—1 плотность о (х) |
превращается в |
плотность |
'т'о(х) простейшего нормального |
распределения. |
Кривые общего нормального |
распределения вероятностей при |
различных значениях а и |
при а = 0 даны на рис. 0.7. |
|
!/>(*■) |
|
Рис. |
0.7 |
|
|
|
|
Они отличаются от кривой ®0 (х ) только изменением мас |
||||||
штаба вдоль осей. С увеличением о |
кривые распределения |
|||||
становятся более пологими. При а ф 0 кривая |
®(.г) сдвигается |
|||||
вдоль оси х вправо (при а > 0 ) |
или |
влево |
(при а < 0). |
На |
||
рис. 0.8 изображена кривая при а > 0 . |
Эта |
кривая распределе |
||||
ния симметрична относительно прямой х = |
а. |
|
|
|||
Для расчета вероятностей |
попадания |
случайной величи |
||||
ны X на интервал (хь х2) |
также используется функция |
Ф{/) |
||||
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
Р(хх< Х < х 2) = Р |
^ ----- < |
X < |
Х2 — а |
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0.33) |
|
21
где
4 х} — a |
t |
хг — а |
• |
|
П — |
-------О |
5 Г2 -- |
5 |
|
|
|
|
||
Кроме симметричных .распределений, существует множе ство несимметричных. Примером несимметричного распреде ления может служить распределение Релея:
|
С 0 |
|
при х |
О, |
|
ср(лг) = |
^ |
|
(0.34) |
|
I Схе |
|
при ж > 0 , |
|
где |
х |
так, |
чтобы |
выполнялось условие |
С1 = — (выбирается |
||||
|
G“ |
|
|
|
0.25).
Рис. 0.8
Кривая распределения приведена на рис. 0.9.
Расчет вероятностей и в этом случае производится с ис пользованием специальных, таблиц.
22
Функция распределения вероятностей, или интегральная функция распределения случайной величины
Выше мы уже встречались с этим понятием при рассмот рении видов законов распределения случайных величин. Те перь дадим ее определение. С математической точки зрения функцией (интегральной функцией) распределения случай ной величины X называется вероятность того, что величина X примет значение, меньшее некоторого числа х. Эту функцию обычно обозначают F(x) —P(X < х).
Рис. 0.9
Для дискретной случайной величины функция распреде ления равна сумме вероятностей всех ее значений (,vK< x ):
|
В Д = |
2 рк- |
(0.35) |
|
хк< х |
|
|
Например, |
|
|
|
хк |
1 |
2 |
3 |
Як |
0.8 |
0,16 |
0,04 |
F(x) |
0,8 |
0.96 |
1.00 |
Для непрерывной случайной величины |
|||
|
|
X |
|
|
F ( x ) = |
| |
(0. 36) |
|
— 00 |
|
|
23
