Файл: Балуев В.М. Прицелы воздушной стрельбы учебное пособие.pdf

ный вектор (орт)

Ь°,

а

также

скалярное

произведение

ортов

а 0

и Ь°.

На основании равенства

(1-2) имеем

ab°

a cos (а, Ь) — a cos 7;

(1.3)

а 0Ь° =

cos (а,

Ь) =

cos 7.

(1.4)

Из рассмотрения равенства (1.3) и рисМ.4 видно,

что ска­

лярное произведение вектора

а__на

орт

Ь°

равно

проекции

вектора а на направление орта

bv.

_

Часто возникает задача проектирования вектора

а

на

на­

правление орта

Ь°, но угол

7 между векторами Непосредст­

венно неизвестен.

Тогда,

если

каким-либо

образом можно найти скалярное произведе­

ние

а 0 Ь°,

то, как

видно

из

равенства

(1.4), его можно использовать как косинус

угла между этими ортами. Скалярное про­

изведение

а0 Ь°

можно

найти,

если

известны проекции ортов

а 0

и Ь°

на оси

Рис.

1.4

одной и той же системы координат. Если

известны,

например,

проекции ортов а 0

и

ои

на оси xi, yt

и Z\, то через эти проекции орты можно запи­

сать в следующем

виде:

а 0=

х° 4- a°Yi у° +

zj;

Ъ° — b°Xlx° + b°Vt у\

+

z ° .

Перемножим

левые

и правые

части этих

двух

равенств.

При этом будем иметь в виду, что

х°х° =

у°у^

=

— 1

и

Х^у® = х\ Z° — у Ч2° = 0.

Получим

cfi b° =

ах, Ьх, 4-

ау, Ьу, -Ь aZl bc2i.

( 1.-5)

Проекцию

а”, можно записать в виде скалярного произ­

ведения

а 0 Х1

или на основании равенства

(1.4)

в

виде

cos (а, х1). Аналогично

выражая

так

же

другие

проекции,

равенство (1.5) можно переписать в следующем виде:

a 0 b° =

cos (a, b) = cos (a, x j

cos (b, ду) -f-

+ cos (a, y x) cos (b, у j) + cos (a, z j cos (b, z x).

( 1.6)

В

нашем

случае

ориентация

визирного

устройства

и

пушки

на

подвижной

установке

определяется

относительно

связанной

системы

координат xiyiZi. Поэтому

можно

найти

проекции ортов

л®

, x°D

и т. д.

на оси одной и той же

систе­

рим одну

вспомогательную задачу.

Пусть плоскости Р и Q перпендикулярны друг к другу или,

как говорят,

образуют

прямой двугранный угол (рис. 1.5). Че­

рез точку О на ребре двугранно­

го

угла

проведем

прямую

ОА,

лежащую на плоскости Р и обра­

зующую с ребром угол

а.

Да­

лее через ту же точку О прове­

дем прямую

ОБ,

лежащую

на

плоскости

Q и

образующую

с

ребром угол

(3.

Прямые ОА и ОБ

образуют угол, который обоз­

начим

через

-р

Найдем угол

^

в

предположении,

что

углы

а

и

р.

известны.

Пусть отрезок ОА равен еди­

нице. Из точки А опускаем пер­

пендикуляр АС к ребру ОС.

Тогда ОС =

cos а.

Затем из точки

С опустим перпендикуляр СВ к прямой ОВ• Получаем

’

0 5 =

ОС cos р = cos a cos J3.

(1-7)

Соединим точки А и В.

На основании теоремы о трех перпенди­

кулярах

отрезок АВ также перпендикулярен

к

прямой ОВ.

Следовательно,

имеем

ОВ =

cos

f.

(1.8)

Из сравнения равенств (1.7) и (1.8) следует, что

cos f =

cos a cos р.

(1.9)

Теперь нам легко найти скалярные произведения единичных

векторов

Л°,

и т. д. как косинусы углов

между этими

ортами

в

соответствии с

последней формулой.

Действительно, углы

s'

и

р'

на рис.

1.2 лежат

на двух пло­

нус угла

между ортами

и

равен произведению cos р,

И COS s'

_ ■ _

Х °

= COS Р ' COS s ' .

Угол между осями x V) и

у х равен

— — s', откуда

Наконец,

найдем косинус угла между осями хщ

и z u

Здесь

угол е'

лежит на одной плоскости,

а на другой плоскости угол

р а в е н ------1- р'. Следовательно,

,

1 ~

(i+

cos s' = — sin p' cos s'.

zn

— cos

Полученные

значения

косинусов

угла между осями

x Vo и

XI, у I или Z\ можно написать в виде следующей таблицы,

кото­

рая называется

таблицей косинусов-

Таблица

1.1

Х\

У1

Ч

ч

COS Р' CCS s'

sin s'

— sin Р' cos s'

Т а б л и ц а 1.2

X,

У1

4

x D

cos p cos S

sin £

— sin p cos г

— cos p sin s

COS £

sin P sin e

Например, найдем значение косинуса

угла, образованного

осями y D и 21. На основании рис. 1.3 имеем

cos (yD, x'D) = cos f y + э| =

— sin s;

cos {zD,x'D) = cos|-^- + F*j =

— sin p.

'Гогда в соответствии с формулой (1.9), получаем

y°D 2“

=

= sin р sin е. Именно это значение фигурирует в табл.

1.2

на

пересечении строки zD со столбцом 21.

ствола пушки x V{i и осями х п,

у п и zD визирного устройства.

Получаем

XvaXD = С05?' cos s' cos р cos s f

sin г' sin г + sin р' cos s' sin p cos e;

( 1. 10)

(1.11)

х°

= cos (Г cos s' sin р — sin р' cos s' cos Ji.

( 1. 12)

ной начальной скорости

“v0 как по величине, так и по направ­

лению.

Найдем

величину скорости т\>,. Для этого возводим обе

части

равенства

(1.1) в

квадрат. Получаем

(U 3 )

Для того чтобы вычислить vai по

этой формуле, нужно

знать взаимную ориентацию векторов

v0 и щ или ориентацию

ной его оси,

т. е.

v1 =

x°.

Положение вектора vo определим

углом Yo>

заключенным между

вектором

г»0 и

продольной

осью самолета и лежащим

в произвольной

наклонной плоско­

сти (рис.

1.6),

или

углами

jS' и s' поворота

оружия на