Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

3)

■--- — cos —

4) — — sin — ;

V p

p

V p

p

5)

c h 2 l / ар

6)

s h l V ap

------— .

V

яр

V a n

,, . shap

2) ch V а р _

p s h b P'

p c h V b i ’

(*

cos t

ci (•*) = —

— — dt ■

22. Найти изображения интегралов Френеля:

х

cos t

sin t

2)

c (x)

1) s ( x ) =

dt;

—

dt.

V

2я t

V

2ftt

23.

К-м синус'ой порядка' п

называется-

функция, изображение ко ­

торой имеет вид

nk—1

Р п +

(At

2 , . . . ,

п).

1

Обозначим 6-й синус порядка п символом f (х ; к, п).

Показать,

что

1

I

X

X

X

X

1)

f (х;

1 ,4 ) = — — [ ch — — sin —— — sh — —- cos

V

2

\ V 2

V 2

V 2

V 2 ]’

2)

f ( x ;

2,

4) =

s h —^ tzsin

/ 2

V

2

3)

f (x;

3,

X

X

X

X

4) = — — f ch —— sin —— + sh — — cos

V

2

{ V 2

V~2

V 2

V IJ

4)

f ( x \

4,

4) =

X

X

c h — — co s--—.

V

2

V 2

24.

К)-м гиперболическим

синусом порядка n называется функция,

изображение которой имеет вид

1

р п -

■(* = 1,

2 ........ л).

1

Обозначим

к-й

гиперболический синус

порядка п

символом

h (х ; k, я ) . '

что

Показать,

1)

h{x\

1,

4) =

- ^ - (s h x

— sin х);

2) h(x-

2,

4) =

—

(ch x — cos*);

3)

h( x\

3,

4) =

—

(sh x

4- sin x)\

4)

h(x;

4,

4) =

1

(ch x ■+ cos x).

—

~аЧг - Т г „

=

У

*

-•2аЪ

dt

-------- е

2

а

найти изображение функции

о.-

/(-»•) =

е

~4х

V л х

26.

Найти изображения функций

1) ех Erf ( 1 /7 ) ; 2)

Erf с ( -----

\

2 У х

)

X

•

где Erf х = ---- — \

e ~ l*dt и Erf сх =

1 Erf х.

1) ~ ~ Н 2п ( / 7 ) ;

2) / / M +‘ ( V 7 ) .

V*

30.

Доказать, что

1) L ~ T (х ) =

( ~ 1)Я H m ( V x ) \

22п п\

2) LI (х) :

( - 1 )»

я 2„+1( у У )

V I

22л+1я!

31.

Пользуясь теоремой смещения

и теоремой дифференцирования

оригинала, доказать, что

„х

лп

ех х - а л п

1) Ln (x) =

d x n

(хпе~х )\

2) L° (х) = — — — (хп ^ ae - v).

п\

п\

d x n

32.

Пусть

?и (р)-т> sin” д:

и

<ря г2(/») -г»- sin"

i 2JT.

„

(я +

1) (п 4- 2)

Доказать, что ?Л42 (д) = — ——— — — ■?«(/>).

1) / (лг) = sin2/!je;

2) ,§• (х) = sin2n+ix.

* Символ

означает целую часть числа