Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 4
45. Определить общую ПереДатОчнуЮ функцию последовательного соединения инерционного и интегрирующего звеньев (рис. 16).
XSxItl Инерционное ZnpW Интегрирующее Xluilt! зВено зВено
Рис. 16
46. Определить общую передаточную функцию параллельного соеди нения инерционного и дифференциального звеньев (рис. 17).
47. Определить общую передаточную функцию замкнутой системы звеньев (см. рис. 18) с отрицательной обратной связью при нулевых начальных условиях.
Рис. 18
Дупр (0 — «управляющее рассогласование», х ос (t) — сигнал «обратной связи».
19
48. Определить общую передаточную функцию замкнутой системы звеньев (см. рис. 19) с положительной обратной связью при нулевых начальных условиях.
Рис. 19
Ра з д е л в т о р о й
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
49. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным
начальным условиям: |
|
|
|
|
|
|
||||
I) |
у' |
-Р иу — b , |
|
г/ (0) = |
0; |
|
|
|
||
2) |
у' |
+ a y = f { x ) , |
|
г/(0) = |
-4; |
у' (0) = В; |
||||
3) |
у" + |
2 у' + |
2г/ = |
0 , |
2/( 0) = |
Л, |
||||
4) |
0" - |
6/ +• 9у = |
0 , |
2/ (0) = |
-4. |
2/' (0) = |
В; |
|||
5) |
у" — у' — % = |
2 , |
2/ (0) = |
11 |
2/' (0) |
= |
0; |
|||
6) |
у" — 9у = 2 — х, |
(1 о 5Si |
' o |
У' (0) = |
1; |
|||||
7) |
2/" |
1 |
I! |
rt* |
|
у (0) = |
1, |
у' (0) |
= |
0; |
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
8) |
У” + |
4t/ = |
2 cos 2л:, |
2/ (0) = |
0 , |
У' (0) |
= |
4; |
||
9) |
у' |
-\- аУ = |
f (л ), |
2/( 0) = |
/ ( 0); |
|
|
|
||
10) |
у" + |
«V = |
/" (-0 . |
2/ (0) = |
/ (0), |
/ ( 0) |
= |
/ ' ( 0) |
||
21
50. Найти часФнЫе реШейий уравнений, удовлетворяющие Нулевым на чальным условиям:
1)у" + у = А'3 + 6а;
2)у" + У — sin 2а ;
3) |
у" + |
У = cos а + sin 2а; |
4) |
у '+ |
у = е~х + 2; |
5)у " — 4у = № х ;
6)у” + 6у' + Ъу = / ( а);
7) у" + |
9г/ = / (а ); |
|
8) |
у" + |
6г/ + 13* = / ( а); |
9) |
* ' + |
4 * '+ 4 * = /( д с ); |
10)у’" + у’ = 10е2Х.
51.Найти общие решения уравнений:
1) у'" — 3у' + 2у = (4а2 + 4а — 10) е~х\
2) |
у"’ - |
Ъу" + П у' — 6 у = |
1 2а2йзх — е2А. |
3) |
|
+ 2у’" + 3*ff + 2у’ + |
у = 1 + а + а2; |
4)г/1у + у'" = cos а ;
5)0IV- 0 = / ( * ) ;
6)* IV + 4* = / ( а);
7) y lv - у = f ( x ) ;
8)0 VI + * = Л (а).
52.Найти частные решения следующих уравнений:
1) |
у" + |
2(/' + |
у = /( А ) , |
1 |
(0 < |
а < 2), |
0 (0) |
= |
О, |
г д е / ( а ): |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
(а > |
2), |
0 ' ( 0 ) |
= |
0 ; |
|
|
|
|
0 |
(0 < а < а) |
0 (0) = |
О, |
||
2) |
у" + |
у' = f |
(а), |
где / ( а) = 1 |
(а < а < Ь) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. О |
(а > |
ъ у |
0' (0) |
= |
2; |
22
3)у" + у = /(* ),
4)у" — у = / (х),
.5) у " + 4 y = f (х ),
■х |
(0 < х < 1) г/ (0) = |
О, |
|
где f ( x ) = 2—х (1 < х < 2) |
|
||
. 0 |
( х > 2 ) |
у' (0) = |
1; |
1 — Jt (0 < jk < 1) |
у (0) = |
0; |
|
где / (х) = |
(* > 1 ) |
у’ {0) = 0; |
|
О |
|||
О |
(0 < х < а) |
у (0) = А; |
|
где / (х) = |
|
у , (0) = |
В. |
5е-(.х-а) (х > а) |
|||
53. Найти частные решения систем уравнений:
1) |
У |
= 3 2 ~ |
У |
|
U ( 0) = |
0 , г (0) = |
0 . |
|
||||
|
z |
= у + z |
+ е |
|
|
|
|
|
||||
2) |
у ’ — 2у — 4z = cos x |
|
z |
(0) = |
0. |
|||||||
z ' |
|
|
|
|
|
j </ (0) = 0, |
||||||
|
4- у Н- 2.z = sin х |
|
|
|
|
|||||||
3) |
У' + 7 у — г = О |
у ( 0 ) ~ 1 < г ( 0 ) = 1. |
|
|||||||||
г ' |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
+ 2у + 5z = О |
|
|
|
|
|||||||
4) |
у' |
+ г ' |
— г = ех |
% (0 ) = 0, Z (0)=0. |
||||||||
2у' + г ' |
+ 2г = |
|||||||||||
|
cos х |
|
|
|
|
|||||||
|
и' |
|
|
|
|
3 |
! |
|
|
|
|
|
5) |
— и 4 г *=-- х2 |
|
|
г (0) = |
0. |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
U ( 0 ) = 0, |
||||||
|
г ' + 4у + 2г = 4х 4- 1 ) |
|
|
|
|
|||||||
|
у' — — у A- z у t \ |
|
|
|
|
|||||||
3) |
г ' = |
y - |
z |
+ |
t |
\ у (0) = 1, z |
(0) = 0 , |
t (0) = 0 . |
||||
|
t' |
= |
г/ + |
г |
+ |
^ |
J |
|
|
|
|
|
|
I у' |
= |
z - |
t |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
7) |
\ z ’ = t ~ 2 y |
|
[ ?/ ( 0 ) = 1 , |
г (0) = |
О, |
*(0) = 0. |
||||||
W = 2 у - г )
8) Гу" + 2г = 0 | у (O') = 0; у' (0) = 1, гг (0) = 0.
\г" — 2у = 0) г ’ (0) = 0.
54.Найти общие решения уравнений с линейными коэффициентами:
1)ху" — у ’ = 0;
2)ху" (1 -Ь х) у14- у -- 0;
3) x t f - (\ + х ) у ’ + |
2 (1 - * ) * = 0; |
4) ху" — 2 {ах + b) у ’ + (а3х + 2аЬ) у = 0; |
|
5) |
ху" — у ’ — х/ 2(2 V х ); |
6) ху" — (х + 5) у' + 3у = 0; |
|
7) |
(2х + I) у" (4* — 2) у' — 8у = 0. |
55. Найти частные решения уравнений с линейными коэффициентами:
1) ху" + 2у' — ху = 0;
2) ху" + 2у' + аху = 0; 3) ху" + (2х + 2) у' + {х + 2) у = 0;
4) |
-**/" + |
«/' = |
•*"; |
_ |
5) |
хг/' + |
i/' + |
у = |
Л) (2 Т7^х); |
6) ху" + (х + 3) у' + 2у = 0; |
||||
7) |
ху" + |
(4х + 3) _// + (Зх + 3) у = 0; |
||
8) (х — 3) у" + (4х - - 9) у + (Зх 6) г/ = 0; 9) ху" + (х + 3) у’ + 3у = 0;
10)аху" + (Ьх + За) у' + 36у = 0.
56.Найти частные решения уравнений, полагая у(0)=0:
1) ху" — 2у' + ау = 0; |
|
2) ху" — 2у' + ау = х3; |
_ |
3)ху" — 2у' + ay = J0 (2 К ах );
4)ху" — г/' + ау = 0.
57.Найти периодические решения линейных дифференциальных уравнений, считая функции /(х) периодическими, периода 2ш:
1) 0'+ « » 0 = /( х ) ;
2) у" + 3у' + 2у = /( х ) , где / ( * + «) = — /(■*);
34
