Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

— _

_»

_

g^j

г/ж = Уо ch 7 х — у0 cth 7 — sh 7 * + у! —sh ^~.

(6)

Из условия уп+ 1

=0 определим У(.

Полагая в (6 )

х= Я+ 1,

имеем:

_

_

sh 7 in +

1 )

О = Уо [ch 7 (« +

1) — cth f-sh 7 (я + 1)] + уд

sh 7

Ух — Уо

Г

!

ГГ

•

sh 7 (я +

1)

Или, возвращаясь к старым обозначениям,

Ух — (Р) :

ар sh 7(я — х + 1)

X2sh

7(я +

1)

я2

где ch 7 = 1 -4- Р2

2Х2

Учитывая пример 20, -имеем:

sh 7 (п — х +

1)

sh 7 (п -!- 1)

X

п + 1

«

sin --------— sin

п +

1

/

kn

п + 1

t.

------------- sin

2л sin

k=i

Ы

2 ( я +

1)

sin

I)

2(ri +

Отсюда

2д

Ы

кт.х

(0 —

sin •-----—7-

sin ----- - 7— X

п + 1 2 >1

п + 1

п + 1

X cos I 2\

sin

k%

2 (я +

1)

150. P e ш e н и e.

Перенумеруем массы

числами 0,

1, 2,

k,

п

и обозначим их перемещения соответственно через

x 0(t), *1 (*)>•••>

x k{ t) ......... x n(t),

S k + i (0 и Sa+2(0

натяжение пружин, примыкающих к массе с номером (k + l ).

Уравнение движения массы с номером (k+l)

будет:

m xk+1(t) = S k+2(t) — S k+ i(t).

(1)

S k + i (О = с \х и \ \ (0

-^(ОЬ

(^)

Из уравнений (1) и (2) следует

S k и (0 = — ISk->, 2(0 -

и (t) + 5 А(/)].

(3)

m

Таким образом, задача сводится к нахождению решения уравне­

ния (3) удовлетворяющего

начальным условиям 5*+i(0) = 0,

(0) — О,

краевым

условиям

S0 (t) =

Р 0,

Sn+i(t) = 0.

уравнения

(3)

Применяя

операционный

метод

к

решению

(см. предыдущую задачу), найдем

p 0

tntfe

— (1 — cos kvt),

S k (t) =

i L , sin

и 4- 1

2 (п +

Tl -J- 1

1)

v=l

где

X =

~ c

И

2X sin

071

—

/■ m

2(n +

151.

Р е ш е н и е . В данной

схеме

выделим и

перенумеруем

л+1

замкнутых контуров

а0афф0, а^хфф^

(xncifiA-\bti-\ фп.

Обозначим

через /д (f) и

(/)

входной и выходной токи в 6-ом

четырехполюснике. По

второму

закону Кирхгофа

при 6=2, 3,

п\

t

L J ' h> u )

" ;" ( 7

о

(l)

При k= 1 и 6 = n + 1:

t

JL L

- ^

L

+ —

\

[70 (t) -

/ t (01 dt = £o,

(2)

2

dt

c

J

о

t

/

d l n t-i (Д +

_L

С[/я, 1 (о - /„ (01 dt

,, o.

(3)

2

a?

C

J

'

0

Операторные уравнения,

соответствующие

уравнениям.

(1),

(2) и (3), будут

_

(LCp*-+ 2) Tk (р) -

4 _ 1 (р) - Гй+1 (Р) = 0 ,

(4)

(£Ср2 +

2 )То (р) —• 2 (р ) =

2СЕ0,

(5)

(Z.Cp2 +

2 )/^ +1( p ) - 2 M p j

=

0.

(6)

Введем обозначения:

LC

~

1 + —

р 2= ch f и <р (? ) -> /* _ ! (р ).

Операторное уравнение, соответствующее уравнению (4), будет

9 (<?) (й5? —

ch'7 + 1) =

/ 0(р ) (е2? — 2е^ ch 7) -f I\ (р) eq.

Отсюда

~

__

Г0(р)(еМ — e^ch 7) +

gg [ /1 (/>) — /о(/>) ch 7 ]

?

— 2e<? ch 7 + 1

Возвращаясь от изображения ф(?)

к оригиналу /* _ i (р)

полу­

чим, учитывая решение примеров 133 (п. 11 и 12)

—

[Л (v») sh 7 (fe — 1) — То (/?) sh 7 (fe — 2)]

(7)

sh y

Io(p)

и Ii(p)

определим из системы уравнений (5)

и (6):

| h ( p )

ch 7 (я +

1) — То (/>) ch 7« =

О,

1 — h ( p )

+ 7о^(Р) ch 7 = СЕ0.

Имеем

т

_______СЕ0ch 7Я

-

СЕ0ch 7 (я + 1)

1 ^

sh y sh 7 (я + 1)

0 ^

sh Y-sh y (я + 1)