Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 4
145. 1) Р е ш е н и е . Пусть |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t + 2 |
|
= |
. |
|
УчР + |
••'• + |
yxtx + • ■ • |
|||
t* + |
t + |
1 |
Уо + Уit + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Уо + |
у 4 |
+ УчР + |
• ■• + |
ijxtx |
+ |
• • |
•) (t2 + |
t + 1) = |
t + 2, |
||
откуда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уо + |
t (уо + |
Ui) + |
t2 (у0 + у\ |
+ |
г/2) + t3 (г/! + Уч + |
Уз) + |
|||||
+ |
• • • + |
tx+2(ух + |
ух+ 1 + |
Ух+ч) + . . . = < + |
2. |
||||||
Следовательно, коэффициенты разложения данной дроби в ряд Маклорена определяются из рекуррентного соотношения
|
|
Ух + |
Ух+ 1 + Ух+ч = |
0. |
(1) |
|
причем £/о = 2 и Уо + У\=\. |
|
|
начальными |
|||
|
Решая конечно-разностное уравнение (1) с |
|||||
условиями |
|
— 1, |
|
|||
|
|
(/о = 2 , £/i = |
|
|||
получим: |
4пх |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
ух = 2 co s— — . |
|
|
||
|
Следовательно, искомое разложение будет: |
|
||||
|
t + |
2 |
Анх |
2 2 ^ t cos |
4тin |
|
|
|
2 |
tx c o s --------- = |
------- |
||
|
P + t + 1 |
|
|
n =0 |
|
|
|
|
x=o |
|
|
|
|
2) |
2 ^ |
tn ( | -/3 )”—1cos |
1)- |
|
|
|
|
/2 = 0 |
|
|
|
|
|
3) |
2 ; |
2» ( / 2 ) " 2 |
3nil |
cos |
3~n |
|
s in ---- + |
|
|
||||
|
n -0 |
|
|
|
|
|
241
145. 1) |
Р е ш е н и е . |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
,2 , . |
, , |
= |
Но + |
УJ + У^2 + |
• ■'• + |
Ух1х + • • • |
|
||||||
|
Р + * + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Уо + |
У\1 + |
УзР + |
. . . + |
yxtx + |
• • |
•) (t2 + |
t + |
1) = |
t |
-f 2, |
||||
откуда |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уо + |
t (Уо + yi) |
+ |
t“(i'o + |
У\ + |
Уз) |
+ t3 (yi |
+ |
Уз + |
Уз) |
+ |
||||
|
+ • • • + tx + 2 (Ух + Ух+ 1 + Ух+2) + . . . = < + 2. |
|
||||||||||||
|
Следовательно, коэффициенты разложения данной дроби в |
|||||||||||||
ряд Маклорена определяются из рекуррентного соотношения |
||||||||||||||
|
|
|
|
Ух + УХ^1 + Ух+2 = 0, |
|
|
|
(1) |
||||||
причем i/o= 2 и у0 + у i= L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решая конечно-разностное уравнение (1) с начальными |
|||||||||||||
условиями |
|
|
Уо = |
2, |
yi = — 1, |
|
|
|
|
|||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4itx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ух = |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 cos— — . |
|
|
|
|
|||||
|
Следовательно, искомое разложение будет: |
|
|
|||||||||||
|
t + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
4ш |
||
|
Р + |
t + |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
А-= 0 |
|
Л —0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
2 V |
/" |
~ \ п - 1 |
|
|
’- - ( « + 1) |
|
|
|
|
|
|||
( У з ) |
|
c o s ------- -------- |
|
|
|
|
||||||||
|
л=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
^ |
|
( У 2 )" (2 sin —- — + |
cos |
|
|
|
|
||||||
|
л =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
241
со |
£ з |
sin я (я -I- 1) |
|
4) £ / » |
|||
2 |
|||
и =0 |
3 |
||
|
|
5)^ tn sin an.
п=0
Ук а з а н и е . Задача сводится к решению конечно-разност ного уравнения
Ух4 2— 2 y ^ .t -cos а + ух — 0,
при начальных условиях
(/о = 0, г/а =- sin а.
6) ^ tn (— COS an).
п~0 |
|
У к а з а н и е . |
|
Р — /co s a |
t cos а — 1 |
---------------------- = 1 + |
---------------------------. |
t2 — 2t cos a -f- 1 |
t2 — 2/ cos a -f 1 |
146.Р е ш е н и е . Члены прогрессии обозначим через
(/о> Уи Уч. • • ■> Ух.
и составим таблицу
Ух |
1 |
3 |
8 | |
16 j |
. . . |
Ьух |
| 2 |
5 |
8 |
11 |
|
Ь-Ух |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
242 |
|
|
|
А2ух = 3. С другой стороны
А5Ух — &Ух+1— кух — Ух\з — 2ух-И + Ух-
Следовательно, данная задача сводится к решению уравнения
Ух+з — 2ух+i + ух — 3
с начальными условиями г/о=1, £/i= 3.
Решая это уравнение с помощью дискретного преобразования
Лапласа, получим |
|
2 |
|
З*2 -+- д: + |
|
||
|
— |
. |
|
и 101-й член прогрессии |
15051. |
|
|
Уюо = |
|
|
|
147. Р е ш е н и е . Перенумеруем |
опоры |
числами 0, |
1, 2, ...,я, и |
обозначим через М п (я=0, 1, 2, |
...) искомые опорные |
моменты. Из |
|
вестно, что опорные моменты в трех последовательных опорах, если
между ними |
нет никакой нагрузки, связаны соотношением |
(уравне |
нием трех моментов) |
|
|
|
Мп + 4Мп± 1 -J- уИЯ4 2 = 0 |
(1) |
при этом М0 |
~ — Ра и П тЛ 1п = 0 , |
(2) |
|
«-»- <50 |
|
так как действие конечной нагрузки не может простираться в беско нечность.
Таким образом, данная задача сводится к решению конеч но-разностного уравнения (1) с граничными условиями (2).
Решая это уравнение, получим
Мп = - Р а ( - 1)"(2 - У ? ) " .
148. Р е ш е н и е . Перенумеруем опоры числами 0, 1, 2, ... и обозна чим через Р полную нагрузку на всю балку, а через М & опорные моменты. В этом случае будем иметь следующее уравнение трех моментов
PI (k + |
1) |
M f , + A M k и - f M f r j- 2 = — |
( 1) |
243
при этом MQ= М п = 0. |
|
|
|
(2) |
||
Таким образом, задача свелась к решению конечно-разностного |
||||||
уравнения (1) при условиях (2). |
|
|
|
|||
Решая это уравнение, получим |
|
|
|
|||
|
м к = — |
k_ |
(— 1)"+* |
sh ~[к |
|
|
|
п |
sli •[п |
|
|||
|
|
п |
|
|
||
где |
е7 = 2 + У 3 |
и а = — EL |
|
|
|
|
|
|
|
712 |
|
|
|
149. |
Р е ш е н и е . |
Поперечные колебания |
зависят |
и от времени t |
||
и от |
их местонахождения. |
Перенумеруем |
массы |
числами 1, 2, .... |
||
х, ..., п, и обозначим смещение этих масс через |
|
|||||
|
|
y s ( t ) , . . . , |
yx (t)......... y„(t). |
|||
Будем определять функцию у* (0 . которая описывает смеще |
||||||
ние массы с номером х в момент времени /. |
|
|
||||
|
|
2 |
J |
Х*1 X*? |
|
|
|
|
|
I |
ь |
|
|
Их
Рис. 35.
Сила, действующая на массу с номером (х+1) в поперечном на правлении, равна сумме вертикальных составляющих сил натяжения Т, в частях нити, примыкающих к этой массе слева н справа (см. рис. 35). Поэтому для массы с номером ( х + 1) имеем
tnyx +! (t ) — Т sin а + Т sin р = 0.
Отсюда
|
Ух\ 1 ( 0 |
— № U / X + 2(0 |
2ух .1t (0 |
+ |
yx(t)\, |
( 1) |
где |
т__ |
И 1/1(0) = я, |
Ух (0) 0 |
, |
ух (0) -• |
0 . |
Х2 — |
||||||
|
1пг |
|
|
|
|
|
244
Применим к уравнению (1) относительно t одностороннее преоб разование Лапласа.
Пусть
~Ух (Р) - > Ух (0 (■* = 1, 2, . . . . п + 1)
Будем иметь:
P2*c+iCP) = ^2 \ y x + i ( p ) ~ 2i/x+ i(p ) + Ух(Р)\- |
(2) |
Получили конечно-разностное уравнение второго порядка отно сительно X.
При решении_этого уравнения р рассматривается как параметр, поэтому функции у x+k (р) (й = 0, 1, 2), можно считать функциями одного х. Для краткости письма обозначим
|
Ух+k (.Р) — Ух+k |
(к = 0, |
1, |
2). |
|
В новых обозначениях уравнение (2) примет вид |
|
||||
|
Р2Ух+1 = № (Ух+2 ~ %Ух+1 + Ух)- |
(3) |
|||
Это |
уравнение справедливо |
для масс |
с |
номерами 2, |
3, |
п — \.(х =\, 2, .... п — 2). |
имеем |
|
|
|
|
Для массы с номером 1 (х=0) |
|
|
|
||
|
P2Pi = ^2(Уг — 2yi) + ар, |
|
|
(4) |
|
а для массы с номером п(х=п — 1): |
|
|
|
||
|
Р2Уп = ^ (* i-i — 2г/я) • |
|
|
(5) |
|
Для |
того чтобы.уравнение (3) включало в |
себя уравнения |
(4) |
||
и (5), достаточно положить |
|
|
|
|
|
|
ар |
и Уп +1— О- |
|
|
|
|
Уо |
|
|
|
|
Применим к уравнению (3) дискретное преобразование Лапласа, считая, что
9 (9)-т>Ух-
245
